Нормальный вид квадратичной формы

Каноническая квадратичная форма называется нормальной (или имеет нормальный вид), если |cqj = l(i = 1, 2, ..., г), т.е. отличные от нуля коэффициенты при квадратах переменных равны +1 или —1.

Например, квадратичная форма /(x_t, х₂, х₃, х₄) = 6х² + 4х₃ — Зх₄, для которой а_п = 6, а₂₂ = 0, а₃₃ = 4, а₄₄ = — 3, имеет канонический вид; квадратичная форма /(х_1# х₂, х₃, х₄) = х² — х₃ + х₄ является нормальной, так как cx_n = 1, а₂₂ = 0, а₃₃ = —1, а₄₄ = 1.

Теорема 1.67

Любую действительную квадратичную форму линейным невырожденным оператором можно привести к нормальному виду.

Доказательство. Мы уже знаем, что любую квадратичную форму /(%!, х₂, ? ?х_п) можно привести к каноническому виду. Представим этот канонический вид следующим образом:

• ->Уп) <Р(УпУ2>= СіУі + c₂yf + ••• + c_kyl - с_к+1у%₊₁-----с_гу?
• (0 < к < г),где все числа сДі = 1, 2, ..., к, к + 1, ..г) положительны.

Применяя невырожденный линейный оператор

Zi = у/с[Уі(і = t 2, r),Zj =_yj(j = г + 1, и),

получаем квадратичную форму

z₂, .. ., z_n) = zl + z²+. .. +z? - z_k+1—... -z²

в нормальном виде. Очевидно, что число входящих сюда квадратов равно рангу формы.

Ч.т.д.

Канонический вид, к которому приводится квадратичная форма, не является для нее однозначно определенным, так как любая квадратичная форма может быть приведена к этому виду различными способами.

Однако, несмотря на то, что к нормальному виду квадратичная форма также может быть приведена различными преобразованиями, оказывается, нормальный вид может быть только один.

Теорема 1.68 (закон инерции квадратичных форм)

Число положительных и число отрицательных квадратов в нормальном виде, к которому приводится данная действительная квадратичная форма невырожденным действительным линейным оператором, не зависит от выбора оператора.

Доказательство. Предположим, что квадратичная форма

х₂, х_п) ранга г двумя способами приведена к нормальному виду

Уі + Уг+- ??+Ук~ Ук+1~- • • ~Ут = ^zi + ^z2²+- • • +^zi ~ zf₊₁~... -zf. (1.149)

Поскольку переход от переменных x_lt х₂, х_п к переменным У1> У2> Уп осуществлен действительным линейным невырожденным оператором, то и обратный оператор п

Уі = '^₅х₅(і = 1,2,...,

(1.150) также является действительным невырожденным.

Точно так же будет действительным невырожденным и линейный оператор

Zj =Тц=1СрХ1^ = 1,2, ...,п) (1.151)

Предположим, что к < I, и напишем систему равенств У1 = о, у₂ = О, ..у_к = О, ^zi+i = 0, ...» z_r = 0, ..z_n = 0.

(1.152)

Если левые части этих равенств заменить соответственно их выражениями (1.150) и (1.151), получим систему п — I + к линейных однородных уравнений с п неизвестными х₂, х_п.

Поскольку п — I + к < п (т.к к < /), т.е. число уравнений однородной системы меньше числа неизвестных, система имеет ненулевое действительное решение a_t, a₂, ..., a_n.

В равенство (1.149) вместо уi, Zj подставим соответственно их выражения (1.150) и (1.151), а вместо неизвестных х_1г х₂, х_п - числа а_1л а₂, ...» а_п.

Принимая во внимание (1.152), получаем

-Ук+і(«)-----Уг(а) = z?(a)+...+zf(a). (1.153)

Поскольку все коэффициенты линейных операторов (1.150) и(1.151)-действительные числа, то все квадраты в равенстве (1.153) - неотрицательны, что означает

Zi(a) = 0, z₂(a) = 0, ..., z_t(a) = 0. (1.154)

С другой стороны, по самому выбору чисел а_1л а₂, ..., а_п

z_l+1(a) = 0,...,z_n(a) = 0. (1.155)

Следовательно, система п линейных уравнений Z[(x) = 0 (і = 1, 2, .. гі) с п неизвестными x_lt х₂, х_п имеет ненулевое решение а_1л а₂, ..., а_п.

Определитель такой системы должен быть равен нулю.

Это противоречит тому, что преобразование (1.151) является невырожденным.

Предположение, что I < к, приводит к такому же противоречию. Отсюда следует равенство к = I.

Ч.т.д.

Число положительных квадратов в нормальной форме, к которой приводится данная действительная квадратичная форма, называют положительным индексом инерции этой формы.

Число отрицательных квадратов - отрицательным индексом инерции.

Разность между положительным и отрицательным индексами инерции называется сигнатурой формы /.

Очевидно, если известен ранг формы, то задание любого из трех указанных выше чисел определяет два других.

Теорема 1.69

Две действительные квадратичные формы от п переменных тогда и только тогда конгруэнтны, когда они имеют одинаковые ранги и одинаковые сигнатуры.

Доказательство. Пусть форма f переводится в форму (р невырожденным линейным действительным оператором. При этом, как известно, ранг не меняется. Этот оператор не меняет и сигнатуры, поскольку в противном случае формы fucp приводились бы к различным нормальным видам, а тогда форма f приводилась бы к обоим этим нормальным видам, что противоречит закону инерции квадратичных форм.

Обратно, если квадратичные формы имеют одинаковые ранги и одинаковые сигнатуры, они приводятся к одному и тому же нормальному виду и поэтому могут быть переведены одна в другую.

Если дана квадратичная форма д в каноническом виде,

9 = ЬіУЇ + Ь₂У2+---+Ь_ГУ?, (1.156)

с не равными нулю действительными коэффициентами, то ранг этой формы равен, очевидно, г.

Легко видеть, далее, употребляя уже применявшийся выше способ приведения такой формы к нормальному виду, что положительный индекс инерции формы д равен числу положительных коэффициентов в правой части равенства (1.156).

Следствие

Квадратичная форма /тогда и только тогда будет иметь форму (1.156) своим каноническим видом, если ранг формы / равен г, а положительный индекс инерции этой формы совпадает с числом положительных коэффициентов в (1.156).