Умножение матрицы на число. Сумма матриц

Умножить число а на матрицу А или матрицу А на число а, означает умножить на число «все элементы матрицы А.

Если рассматриваются матрицы над коммутативным кольцом К, то для любой матрицы А и любого а Є К справедливо равенство а А = Аа. В случае некоммутативного кольца К может оказаться, что а А Ф Аа.

Для каждой матрицы А над К и каждых а, (3 Е К имеют место соотношения-.

1. 1-А =А -1 = А.
2. 0 • А = А • 0 = О, а • О = О ? а = О (0- нулевой элемент, О - нуль-матрица).
3. а(/?4) = (а/?)Л;(Ла)/? = Л(а/?).

Сумма матриц

Складывать можно матрицы только одинаковой размерности. При этом необходимо найти сумму соответственных элементов слагаемых матриц. Очевидно, что полученная матрица будет той же размерности, что и слагаемые матрицы.

Например,

/3 0 2 /0 2 —2 ₌ /3 2 0

VI -3 57 V8 3 —4/ V9 0 V'

Основные свойства сложения матриц одного порядка

1. А 4- (В + С) = (Л + В) + С.
2. А + В = В +А.
3. (а + /?)Л = аА + (ЗА-,. А(а + /З') = Аа + А(3.
4. а(Л + В) = аА + аВ;(А + В)а = Аа + Ва.
5. А + О = О+А = А.

Под разностью матриц А и В будем понимать^ + (—В) и, соответственно записывать: А + В

Произведение матриц

Умножение возможно лишь для согласованных между собою матриц.

Упорядоченную пару матрицЛ и В назовем согласованной, в случае если количество столбцов первой из них (матрицы Л) совпадает с количеством строк второй (матрицы В).

Например, пара матриц

/ 2

. /2 1 2 1 _D _ 1 ]

^а2х4-^₀ _₁₀₇;^и*4хі-і _о I

-з/

согласованна, между тем как пара

/ ^[1]

D -11] л -(² 1 2 1

^4x1-1 ₀ I и Я_2Х4 - _₁₀ J

-з/
- несогласованна.

Произведением согласованных матриц А и в

	/ ^а11	^а12	?? ^а1к	/ь_1г	^12	ь_1к
А ⁼ 1	[ ^а21	^а22 ?	^а2к ]	В = ^Ь21	^22 ?	- ^b2k 1 (1.42)
	^ml	^ат2	^amkJ	ь_п1	Ь_П2 ?	?? b_nJ

называется матрица С, элемент с^, і-ой строки и / -го столбец столбца, которой равен сумме произведений элементов і-ой строки матрицы А на элементы j -го столбца матрицы В.

То есть

^cij ^{= a}il + ^ai2^2j + + ^aik^kj ^{= a}ia^aj (1-43)

а=1

В результате произведения согласованных матриц получится матрица, число строк которой будет таким же, как у первой из перемножаемых матриц, а число столбцов - как у второй, т.е.

А(тхр) ' В(рхк) ⁼ С(тхк)

Например, выполним произведение матриц.

/ ²

12 1 ( 1
-10 77 І о I
-3/ 0 -1 /2 1
1 0 - 3 1
2 -3/ 2

=(Л)

1 /2—1 2
0 )=І7 3 2
-1/ 8 -3 4.

Умножение матриц в общем случае не коммутативно, т.е.

АВ Ф ВА

Матрицы А и В, для которых АВ = В А, называются коммутирующими или перестановочными.

_и „ /1 2 _D /О 4

Например, матрицы Л = І I и В = I ) коммутируют, т.к. 4/ 6 о/

— (24 з!

Основные свойства умножения матриц

1. а(АВ} = (аЛ)В; Л(аВ) = (Ла)?;(Л5)а = А(Ва).
2. (Л + В) С = АС + ВС.
3. С(Л + Я) = СА + СВ.
4. А(ВС) = (АВ)С.

Очевидно, совокупность всех квадратных матриц данного порядка п над произвольным ассоциативным кольцом К является снова ассоциативным кольцом относительно матричных операций сложения и умножения.

Непосредственным вычислением для любой квадратной матрицы А получим равенство АЕ = ЕА = А, выражающее основное свойство матрицы Е. Таким образом, единичная матрица при умножении матриц играет роль единицы.

Теорема 1.23

диагональных матриц также являются

Сумма и произведение

диагональными матрицами.

Ч.т.д.

[1] ^2Х4 ? #4x1 — /1 2 Сзхз ' ^зхз = I 2 1