Предисловие

Курс алгебры и теории чисел призван заложить основы математической подготовки будущих специалистов, дающие возможность успешного освоения следующих дисциплин: Теория вероятностей и математическая статистика. Компьютерная графика, Элементы математической логики, Математические методы и др.

Математическое образование будущего специалиста основывается на фундаментальных понятиях математики. Фундаментальность подготовки в области математики включает в себя достаточную общность математических понятий и конструкций, обеспечивающую широкий спектр их применимости, точность формулировки математических свойств изучаемых объектов, логическую строгость изложения математики, опирающуюся на адекватный современный математический аппарат.

Курс алгебры и теории чисел представляет собой математическую теорию, охватывающую первоначальные сведения об основных алгебраических структурах, теорию матриц, определителей и систем линейных уравнений, теорию линейных и евклидовых пространств, теорию линейных операторов и квадратичных форм, теорию делимости целых чисел, теорию сравнений, а так же приложение теории чисел к криптографии.

В результате изучения курса студент приобретает знания основных понятий дисциплины, понимание и умение доказательства теории, навыки решения математических задач методами линейной алгебры и теории чисел с доведением решения до практически приемлемого результата, на базе чего развивается логическое и алгоритмическое мышление, навыки математического исследования прикладных вопросов. Изучение теории чисел к тому же способствует пониманию, и умению применять современный математический аппарат в области информационных технологий.

Автор пособия благодарна студентам групп 16-ФИИТ, 16-МКН, 17-ФИИТ, 17- ИМ, за помощь в работе над его созданием.

Введение

Алгебра (от араб. j»J*, «аль-джабр» — восполнение) — раздел математики, который можно, с большой степенью осторожности, охарактеризовать как обобщение и расширение арифметики. Слово «алгебра» также употребляется в названиях различных алгебраических систем. В более широком смысле под алгеброй понимают раздел математики, посвященный изучению операций над элементами множества произвольной природы, обобщающий обычные операции сложения и умножения чисел.

Истоки алгебры уходят к временам глубокой древности.

Еще 4000 лет назад вавилонские ученые могли решать квадратные уравнения. Они имели дело только с положительными коэффициентами и корнями уравнения, так как не знали отрицательных чисел. Тогда никаких обозначений не было, и уравнения записывались в словесной форме.

Первые обозначения появились в Древней Греции благодаря Диофанту. Неизвестное число он назвал «артимос», вторую степень неизвестного — «дюнамис», третью «кюбос», четвертую — «дюнамодюнамис», пятую — «дюнамокюбос», шестую — «кюбоккюбос». Все эти величины он обозначал сокращениями (ар, дю, кю, ддю, дкю, ккю). Ни вавилоняне, ни греки не знали и не признавали отрицательные числа.

За 2000 лет до нашего времени китайские ученые решали уравнения первой степени и их системы, а также квадратные уравнения. Они уже знали отрицательные и иррациональные числа. Поскольку в китайском языке каждый символ обозначает понятие, то сокращений не было. В 13 веке китайцы открыли закон образования биномиальных коэффициентов, ныне известный как «треугольник Паскаля». В Европе он был открыт лишь 250 лет спустя.

Как наука, алгебра стала существовать благодаря среднеазиатскому ученому ал-Хорезми. Впервые термин «алгебра» встретился в 825 году в сочинении ал-Хорезми «Краткая книга об исчислении аль-джабра и аль-мукабалы». Слово «аль-джабр» при этом означало операцию переноса вычитаемых из одной части уравнения в другую.

В 12 веке "Алгебра" аль-Хорезми стала известна в Европе и была переведена на латинский язык. С этого самого времени начинается развитие алгебры в европейских странах. Появляются сокращенные обозначения неизвестных, решается ряд новых задач, связанных с потребностями торговли. Но существенного сдвига не было до 16 века.

В первой трети 16 века итальянцы дель-Ферро и Тарталья нашли правила для решения кубических уравнений вида x³=px+q; х³+px=q; x³+q=px, а Кардано в 1545 году показал, что всякое кубическое уравнение сводится к одному из этих трех; в это же время Феррари, ученик Кардано, нашел решение уравнения четвертой степени. В конце 16 века французский математик Виета ввел буквенные обозначения, и притом не только для неизвестных, но и для известных величин. Были введены сокращенные обозначения действий; у разных авторов они имели разный вид. В середине 17 века алгебраическая символика благодаря французскому ученому Декарту (1596-1650) приобретает вид очень близкий к нынешней.

В 1824 году норвежский математик Нильс Абель доказал, что уравнения выше 4-й степени в общем случае в радикалах не разрешимы. В 1830 году французский математик в рамках созданной им вывел общий критерий разрешимости алгебраического уравнения в радикалах.

К середине XIX в. понятие исчисления было расширено. Различного вида операции начали производить не только над числами, но и над векторами, кватернионами, матрицами, логическими высказываниями и так далее. Правила этих действий отличались от привычных правил действий над числами. Изучение таких исчислений привело к необходимости исследовать общие свойства алгебраических операций в произвольных множествах.

Изучение различных операций сочеталось с изучением таких алгебраических структур, как группы и кольца, а позднее — поля, решетки и т. д. Эти структуры первоначально возникли из конкретных задач алгебры и геометрии. Например, понятие группы было введено в 30-х годах XIX в. Э. Галуа в связи с задачей о разрешимости уравнений в радикалах.

Алгебра как общая теория произвольных алгебраических операций стала восприниматься с начала 20 века с появлением работ Давида Гильберта, Э. Штейница, Э. Артина, Эмми Нетер. Это понимание было закреплено в вышедшей в 1930 году монографии Б. Л. ван дер Вардена «Современная алгебра», остающейся до настоящего времени востребованным учебником по алгебре.

В дальнейшем предметом алгебры становится изучение разного рода алгебраических структур, порождаемых в множествах введением различных операций. Этим значительно расширилось поле приложения алгебраических методов. Одна и та же алгебраическая теория (например, теория групп, теория коммутативных групп, теория колец, теория полей и т. д.), описывающая определенный род алгебраических структур, может применяться к любой структуре этого рода, в какой бы предметной области она ни встретилась.

Во второй половине XX века началось бурное развитие ряда новых отраслей техники. Появились электронно-вычислительные машины, устройства для хранения, переработки и передачи информации, системы наблюдения типа радара. Проектирование новых видов техники и их использование немыслимо без применения современной алгебры. Так, электронно-вычислительные машины устроены по принципу конечных автоматов. Для проектирования электронно-вычислительных машин и электронных схем используются методы булевой алгебры. Современные языки программирования для ЭВМ основаны на принципах теории алгоритмов. Теория множеств используется в системах компьютерного поиска и хранения информации. Кодирование и декодирование информации производится методами теории групп. Теория рекуррентных последовательностей используется в работе радаров. Экономические расчеты невозможны без использования теории графов. Математическое моделирование широко использует все разделы алгебры.

Нельзя не отметить особую роль алгебры в науке, так математик Игорь Шафаревич в своей книге «Алгебра — 1» вслед за математиком и философом Германом Вейлем видит роль алгебры в математике в том, что она «.. .занимается координатизацией математических объектов».

Вся наука «алгебра» условно делится на, взаимопроникающие между собою, подразделы. Перечислим основные, и коротко охарактеризуем круг проблем, решаемых каждым из них.

Элементарная алгебра, изучает свойства операций с действительными числами, где символами обозначаются постоянные и переменные, а также правила преобразования математических выражений и уравнений с использованием этих символов.

Абстрактная алгебра, изучает и аксиоматизирует алгебраические структуры, такие как группы, кольца и поля.

Линейная алгебра, изучает свойства векторных пространств (включая матрицы).

Универсальная алгебра, изучает свойства, общие для всех алгебраических структур.

Алгебраическая теория чисел изучает свойства чисел в различных алгебраических системах. Теория чисел была создана путем расширения и обобщения алгебры.

Алгебраическая геометрия применяет достижения алгебры для решения проблем геометрии.

Алгебраическая комбинаторика, использует методы абстрактной алгебры для изучения вопросов комбинаторики.

Основное внимание в 1 части настоящего пособия уделяется линейной алгебре. Основные идеи и методы линейной алгебры являются общими для многих разделов математики и ее приложений: математического и функционального анализа, линейных неравенств математической экономики, теории кодирования (над конечными полями), полилинейной и общей алгебры).

В заключении этого небольшого введения в алгебру предлагаем читателю литературу, изучив которую Вы сможете полно и обстоятельно узнать о развитии алгебры как науки:

• • Березкина Э. Математика Древнего Китая. - М., Наука, 1980. - 312 с.
• • Виноградов И. М. Алгебра// Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия, 1977.Виноградов И. М. Универсальная алгебра // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия, 1977.
• • Выгодский М.Я. Арифметика и алгебра в древнем мире. - М., Наука, Гл.ред. ФИЗМАТЛИТ, 1967. - 368 с.

• • Депман И.Я. Рассказы о старой и новой алгебре. - Л., Детская литература, 1967.- 144 с.
• • История математики: в 3 т. / под редакцией А. П. Юшкевича —М.: Наука, 1970. — Т. I: С древнейших времен до начала Нового времени.
• • Фосс А. Сущность математики. Физико-математическое наследие: математика (философия математики) - М.: «Либроком», 2009, 120с.

Раздел математики, занимающийся изучением целых чисел и их свойств, называется теорий чисел.

Понятие целого числа, а также арифметических операций над числами известно с древних времен и является одной из первых математических абстракций.

Особое место среди целых чисел, то есть чисел -3, -2, -1,0, 1,2, 3, ..., занимают натуральные числа - числа, используемые при счете, целые положительные числа 1, 2, 3,.... Натуральные числа подразделяются на два класса. К первому классу относятся числа, имеющие ровно два натуральных делителя - единицу и самого себя. Такие числа назвали простыми. Ко второму классу - классу составных чисел - относятся все остальные натуральные.

Свойства простых чисел и их связь со всеми натуральными числами изучались еще Евклидом (3 в. до н.э.). Если выписать простые числа подряд, то нетрудно заметить, что относительная плотность их убывает. Так, на первый десяток приходится 4 простых числа, то есть 40%. На первую сотню натуральных приходится уже 25 простых, что, соответственно, составляет 25%, на первую же тысячу всего 168 (17%), на миллион - 78 498 (8%). Но уже Евклидом было доказано, что простых чисел бесконечно много.

Пару простых чисел, разность между которыми равна двум, назвали простыми близнецами. До сих пор нет ответа на вопрос о количестве простых близнецов.

Евклид считал очевидным, что с помощью умножения только простых чисел можно получить все натуральные числа. И каждое натуральное число представимо в виде произведения простых чисел единственным образом (с точностью до порядка множителей). Первыми задачами о простых числах были задачи на расстояние между простыми числами. Изучение распределения простых чисел привело к созданию алгоритма, позволяющего получать таблицы простых чисел. Таким алгоритмом является Эратосфена решето (3 в. до н. э.).

Евклид в "Началах" указал способ нахождения общего наибольшего делителя двух чисел (алгоритм Евклида), следствием которого является теорема об однозначном разложении натуральных чисел на простые сомножители.

К теории чисел также относится вопрос о целочисленных решениях различных видов уравнений. Такие уравнения называют диофантовыми в честь древнегреческого математика Диофанта (около 250 года нашей эры).

Простейшим диофантовым уравнением является уравнение вида ах 4- by = с, где а,Ь,с — целые числа, х и у— неизвестные числа.

Другим целочисленным уравнением является уравнение Пифагора х² + у² = z². Вавилонским математикам было известно, что оно имеет бесконечное множество решений, Диофант же описал способ нахождения всех решений данного уравнения. Диофантом в книге «Арифметика» дано систематическое изложение теории известных к тому времени уравнений в целых числах.

Следующий этап в развитии теории чисел связан с именем Пьера Ферма (1601-1665), которому принадлежит ряд выдающихся открытий в теории диофантовых уравнений и в теории, связанной с делимостью целых чисел. Им было сформулировано утверждение о «невозможности» — Великая теорема Ферма, доказана Малая теорема Ферма, которая в дальнейшем была обобщена Л. Эйлером.

В 18 веке Л. Эйлер (1707-1783) первым из математиков стал создавать общие методы и применять другие разделы математики к решению задач теории чисел. Применение методов математического анализа положили начало аналитической теории чисел, в которой важное место занимают методы тригонометрических сумм, позволяющие оценивать число решений уравнений или систем уравнений в целых числах. В аналитической теории чисел так же применяется комплексный анализ для доказательства теоремы о распределении простых чисел.

Аналитические методы широко применяются и в аддитивной теории чисел, в которой изучается разложение натуральных чисел на слагаемые определенного вида: представление числа в виде суммы простых чисел, суммы двух квадратов и т.д., представление в виде четырех квадратов, девяти кубов и т.д. Так же к этому разделу теории чисел относится проблема В аринга представления числа N в виде суммы к слагаемых, каждое из которых есть п степень натурального числа, то есть N = а™,а?, где к зависит только от п.

Алгебраическая теория чисел расширяет понятие числа. Здесь рассматриваются алгебраические целые числа, корни многочленов с рациональными коэффициентами и старшим членом равным единице.

Элементарная теория чисел изучает целые числа без использования методов других разделов математики. Здесь рассматриваются такие вопросы как делимость целых чисел, числа Фибоначчи, построение магических квадратов, алгоритм нахождения наименьшего общего делителя и наибольшего общего кратного, малая теорема Ферма.

За всю историю развития человечества теория чисел достигла больших результатов. На сегодняшний момент открыты и доказаны многие неординарные утверждения. Так великая теорема Ферма, сформулированная в 1637 году, оставалась без доказательства более 3 столетий и была доказана Уалсом в 1995 году.

Над решением проблем теории чисел работали величайшие умы античности и современности. Эйлер и Гаусс, Диофант и Евклид, Сунь Цзы и Ариабхата, Дирихле и Лиувилль в разные годы внесли огромный вклад в развитие этой теории. Не стоит забывать, что и русская школа теории чисел не осталась в стороне. Пожалуй, одними из самых известных и значимых, остаются работы Чебышева, Гельфонда, Шафаревича.

Многие вопросы теории чисел легко сформулировать, но трудно доказать, а ряд вопросов остаются открытыми, например, еще не найдена формула, по которой выводятся все простые числа. Несмотря на гигантскую проделанную работу ученых, некоторые гипотезы до сих пор не подтверждены путем строгого математического доказательства, как, впрочем, и не опровергнуты. Тем более интригующей и привлекательной выглядит современная теория чисел.

В заключении небольшого введения в теорию чисел предлагаем читателю более подробно ознакомиться с историей развития теории чисел как науки из следующих источников:

• • Ван дер Варден Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции. - М., ГИФМЛ, 1959. - 492 с.
• • Матвиевская, Г.П. Учение о числе на средневековом Ближнем и Среднем Востоке. - Изд.: Фан, 1967, 341 с.
• • Матвиевская, Г.П. Учение о числе в Европе до XVII века - Изд.: Фан, 1971,231 с.
• • Меннингер, К. История цифр. Числа, символы, слова / Пер. с англ. Е.В. Ломановой. - М.: ЗАО Центрполиггаф, 2011.- 543 с.