Ортогональная матрица

Квадратная матрица А называется ортогональной, если

АА^Т=А^ТА = Е, (1.59)

т.е. А - ортогональна, если ее транспонированная матрица является обратной исходной. Таким образом, каждая ортогональная матрица обратима.

Так как (/1^Г) = Д, то из (1.59) вытекает, что обращение ортогональной матрицы есть ортогональная матрица.

Примеры ортогональных матриц:

/ cos a sin сп / 0,8 — 0,6 /1 0

V-sina cos а/ 0,6 -0,8/’ 17

Отметим, что единичная матрица любого порядка является ортогональной.

Справедливы следующие утверждения

1. Произведение ортогональных матриц есть ортогональная матрица. Действительно, пусть матрицы А Ортогональны, тогда

А^т = А'¹, В^т = В~' и, значит,

(АВУ = В^ТА^Т = В-¹ А-¹ = {АВ}-¹ (1.60)

Формулы (1.60) доказывают утверждение.

2. Произведение двух ортогональных матриц есть ортогональная матрица.

Докажем, пусть А иВ - ортогональные матрицы одного порядка. Так как (АВ)^Т =В^ТА^Т, то (АВ)^г(АВ) = В^гА^гАВ = В^т(а'А}В = В^гЕВ = В^тВ = Е, т.е. (АВ) ^т (АВ) = Е. Следовательно, АВ - ортогональная матрица.

Равенство Д⁷ - А¹ выражает необходимое и достаточное условие ортогональности матрицы А.

В самом деле, если А - ортогональная матрица, то Д^ГД = Е. С другой стороны, А^-1 А = Е. Из этих двух равенств следует, что А^т = А ¹.

Обратно, пусть А^т - А¹, тогда отсюда и из равенства А¹ А = Е следует A^r А = Е, т.е. А - ортогональная матрица.

3. Матрица, полученная транспонированием ортогональной матрицы -ортогональна.

Действительно, если А - ортогональная матрица, то (и^г) А^т = АА^Т = АА^-1 = Е, или (а^г^А^т =Е. Но это означает, что А^т -ортогональная матрица.

4. Матрица, обратная ортогональной матрице, - ортогональна.

В самом деле, если А - ортогональная матрица, то А^т = А’, A^JA-E. Далее, (д”⁷) А~¹=АА~¹=Е, или (д”⁷) А~^]=Е, что означает, А~^] -ортогональная матрица.

Определитель матрицы

Определитель - числовая характеристика квадратной матрицы. Для того, что бы обусловить естественную природу такой числовой характеристики, чуть- чуть забежим вперед, и решим в общем виде систему двух уравнений с двумя переменными, известным нам еще со школы, методом исключения неизвестных.

И так, пусть задана система:

(а_г1х + а₁₂у = Ь_г

{а₂₁х + а₂₂у = Ь₂

Исключим переменную у. Для этого умножим первое уравнение на а₂₂, второе на (—а₁₂):

Г а.ц(і₂₂х 4- сі^₂а.₂₂у — Ь_га₂₂

(—а₂₁а₁₂х — сі₂₂а₁₂у ⁼ ~^2^аі2

Теперь сложим уравнения:

(^а11^а22^_а21^а12)^х = ^1^а22 ^— ^2^а12

И выразим переменную х:

^1«22 ^2 «12

«11«22^—«21«12

Далее, в точности так же, исключим переменную у. Первое уравнение умножаем на (~а₁₂), второе на а_1г. И дальше опять складываем уравнения.

С—а₁₁а₂₁х — а₁₂а₂₁у — —Ь_±а₂₁ I а_1±а₂₁х + аца₂₂у = Ь₂а_г1

у(^а11^а22~^а12^а21) — ^2^а11 - ^1«21 ^2 «11 ~ ^1^а21 ^а11^а22~^а12^а21

Проанализируем, что получилось. Знаменатели дробей (для х и у) одинаковы. Если построить матрицу из коэффициентов системы:

Л ₌ /«11 «12

К«21 «22/

то знаменатель есть произведение элементов матрицы, стоящих на главной диагонали минус произведение элементов, стоящих на побочной диагонали. Вот эту структуру и назвали определителем (detriminant).

Обозначение:

detA^¹¹ а²

1«21 «221

Таким образом, имеем

|«11 «121

1«21 «22 I “ ^61116122 “ «21«12-

Далее, проанализируем числители для х и для у. И тут такая же структура, т.е. определители. Для переменной х, обозначим его как Д_ь для у- как Д₂.

Тогда л ^1 «12 , ,

^1^_ h л ~ ^1^а22 “ ^2«12 «2 «22

Л «11 ^1 К. I

^2— _л к — «11^2 “ «21^1 «21 «2

И так, мы вышли на понятие определителя и вдобавок вывели формулы Крамера (об этом подробнее позже).

Определителем (детерминантом) квадратной матрицы второго порядка (или - определителем второго порядка) называется число, равное разности произведений элементов, стоящих на главной диагонали матрицы и произведений элементов побочной диагонали:

Рисунок 16

Для определителя матрицы А употребляются следующие обозначения:|Л|, A, detA, det(a_ij').

Аналогично, рассмотрев уже систему трех уравнений с тремя переменными, приходим к определителю третьего порядка (попробуйте самостоятельно):

Рисунок 17

Правило вычисления определителя по этой схеме называют правилом Сюрроса.

Для того чтобы определиться со знаками слагаемых при вычислении определителя произвольного, п — го порядка нам необходимо познакомиться с элементарными сведениями теории перестановок.

Перестановкой из п натуральных чисел 1, 2, 3, ..., п называется любое их расположение, взятое в определенном порядке.

Произвольную перестановку из п чисел будем записывать в виде (а_1Ла₂, где каждое - одно из чисел 1,2, ..., п и cq Ф о, при і ф j.

Две перестановки (а_х, а₂>..., а_п) и (fii>P₂,называются равными, если «і і при/= 1, и. В противном случае перестановки называют неравными (различными).

Число различных перестановок из чисел 1, 2, 3, ..., п, равно произведению 1 ? 2 • 3 • ... • (n—1) -п, которое обозначается п! («эн факториал»).

Говорят, что два числа образуют инверсию в перестановке, если бо'лыпее число стоит левее ме'ныпего.

Обозначение: k(a_lt а₂,..., а_п) - число инверсий в перестановке (ai,a₂,...,a_n).

Например, рассмотрим перестановку (3,4,1,2,7,10). Перечислим пары чисел, образующих инверсию: (3,1), (3,2), (4,1), (4,2).

То есть, к (3,4,1,2,7,10) = 4.

Способ вычисления числа инверсий основан на утверждении. к(а₁,а₂, ...,а_п) = к_± + к₂+... +/с_п-і,^гД^е fc/(i = l, л-1) - число чисел, стоящих перед числом «j в перестановке, полученной из данной зачеркиванием чисел, меныпихар

Например, найдем используя это утверждение, количество инверсий в перестановке

(5,1,3,2,4,6)

Перед числом 1 стоит одно число, следовательно, к_г = 1.

Зачеркивая единицу, получаем

(5,4-,3,2,4,6)

Дальше перед числом 2 стоит два числа, значит к₂ = 2. И зачеркиваем двойку:

(5,4,3,2,4,6)

Перед числом 3, одно число, то есть к₃ = 1, и зачеркиваем 3.

(5,4,3,2,4,6)

Перед числом 4 стоит одно число, значит к₄ = 1, и зачеркиваем четверку.

(5,4,3,2,4,6)

Дальше перед пятеркой нет чисел к₅ = 0:

(5,4,3,2,4,6)

И к₆ = 0.

Таким образом,

fc(5,l,3,2,4,6) = к₁ + к₂ + к₃ + к₄ + к₅ + к₆ = 142 + 1 + 1 + 0 + 0 = 5.

Очевидно, если числа в перестановке записаны в порядке возрастания, то число инверсий равно нулю.

Если число инверсий в перестановке четное, то она называется четной, в противном случае - нечетной.

Считают, две перестановки имеют разный характер четности, если одна из них - четная, а другая - нечетная.

Очевидны следующие утверждения:

• 1. Пусть в некоторой перестановке сделана транспозиция. Она равна произведению нечетного числа транспозиций соседних элементов.
• 2. При транспозиции соседних элементов число инверсий в перестановке меняется на одну единицу.
• 3. Если в перестановке сделать транспозицию соседних элементов, то четность перестановки изменится на противоположную.
• 4. Любая транспозиция изменяет четность перестановки на противоположную.
• 5. Число четных перестановок п элементов равно числу нечетных перестановок.
• 6. Любая перестановка может быть получена из любой другой посредством нескольких транспозиций.

Определитель п-го порядка

Определителем квадратной матрицы называется алгебраическая сумма всевозможных произведений элементов этой матрицы, взятых по одному из каждой строки и по одному из каждого столбца. Сомножители в каждом слагаемом записываются в порядке следования строк, номера же столбцов образуют перестановки; слагаемые, соответствующие четным перестановкам, берутся со знаком «плюс», соответствующие нечетным - со знаком «минус».

где (a_lt а₂, ...,а_п) пробегает все перестановки чисел 1, 2,..., п.

Далее, множитель (—l)^fc(^ai-^a2. ".«п) равен +1, если (a_lt а₂,а_п) четная перестановка, и равен - 1, если нечетная.

Понятие определителя имеет смысл для матриц с элементами из любого ассоциативного коммутативного кольца и, в частности, из любого поля.

Вычислить определитель высокого порядка, пользуясь определением, задача не из легких. Поэтому на практике вначале преобразуют определитель на основании свойств, затем пользуются теоремой Лапласа или одним из методов, предлагаемых вашему вниманию далее.

Теорема Лапласа

Введем несколько понятий.

(Цц а₁₂ ... а_1п

^^{21 а}.?.² J ? квадратная матрица порядка п.

^ап1 ^ап2 ••• ^апп/

Минором порядка к для этой матрицы называется определитель матрицы, составленной из элементов, находящихся на пересечении некоторых выбранных к строк и к столбцов:

^аа_гр_г ^аа_гр_к

^а«к01 ?" ^аЯк0к

Минором, дополнительным к данному минору порядка к, называется минор порядка п — к, матрица которого получается из исходной посредством вычеркивания строк и столбцов, содержащих данный минор порядка к.

Алгебраическим дополнением к данному минору называется дополнительный минор С множителем (—l)^ai⁺ "^+ak⁺/^?i⁺ - +/^?fc.

Теорема 1.25 (Лапласа)

Пусть в матрице определителя выбраны к строк. Определитель равен сумме произведений всех миноров порядка к, составленных из этих строк, на их алгебраические дополнения.

Например, вычислим определитель

теорему Лапласа

четвёртого порядка, используя

Д=

• 1 -1
• 2
• 2
• 2
• 2 О
• 1
• 3
• 1 -1
• 1

О

• 1
• 3 -1

Выберем любое, например, две строки. Пусть это будут первая и вторая строка.

Тогда

Ж -1І-ІЛ И ДНА И 71-

И ДГІ2 71-1? ?1-1? ?1=

= (2 + 2)-(1 — 3) — (И-3)-(0 — 3) + (1 — 0)-(0 + 1) — (2 — 6)-(-2 - 6) + (2 - 0) ? (2 + 2) - (3 - 0) • (2 - 0) = 4 ? (-2) - 4 ? (-3) +11- (-4) ? (-8) + 2 ? 4 — 3 ? 2 = —8 + 12 + 1 — —32 + 8 — 6 = 7.

Частный случай теоремы Лапласа

Рассмотрим ступенчатую матрицу А:

теорему

Например, вычислим определитель 7-го порядка.

На основании теоремы Лапласа можно утверждать, что поскольку любой определитель и-го порядка сводится к вычислению определителей, например, второго или третьего порядков, то все свойства для определителей второго и третьего порядков справедливы и для определителя любого порядка.

Введем еще понятия.

Минором элементна^ заданного определителя называется определитель, полученный из данного вычеркиванием той строки и того столбца, которым принадлежит данный элемент. Минор элемента a_ik обозначается M_ik.

Например, минором элемента а₂1 определителя

«и

«21

«31

«12 «13

(1-61)

«22 «23

«32 «33

является определитель второго порядка а,-, М_гї = ^{12 13}

«32 «33

Алгебраическим дополнением злементаа_ік заданного определителя называется его минор, взятый со знаком (—l)^i+k и обозначается т.е.

Так, алгебраическим дополнением элемента а₂₁ определителя (1.61) является определитель М_2/, взятый со знаком минус, т.е.

«12 «13

Л₇=(-1)²⁺¹М₂₇=-

«32 «33

Далее, мы рассмотрим свойства определителей. Доказательство некоторых из них предлагаем читателю произвести самостоятельно, используя для этого определители третьего порядка. Для чего вам необходимо будет только лишь в соответствии с условием, записать определитель, раскрыть его, используя правило Сюрроса, и сравнить с исходным (неизмененным определителем.)