Канонический вид квадратичной формы

Назовем квадратичную форму канонической, если все коэффициенты при произведениях различных неизвестных это формы, равны нулю.

Рассмотрим вопрос о приведении произвольной квадратичной формы некоторым невырожденным линейным оператором к каноническому виду.

Предположим сначала, что квадратичная форма f от п неизвестных x_lt х₂, х_п уже приведена невырожденным линейным оператором к каноническому виду

f = КУі + Ь₂у₂² + - + Ъ_пу², (1.139)

где У1, у2, у_п - новые неизвестные. Причем, некоторые из

коэффициентов^, Ь₂, .... Ь_п могут быть нулями.

Теорема 1.61

Число отличных от нуля коэффициентов в (1.139) равно рангу г формы /.

Доказательство. Так как мы пришли к (1.139) при помощи невырожденного оператора, то квадратичная форма, стоящая в правой части равенства (1.139), также должна быть ранга г. Однако матрица этой квадратичной формы имеет диагональный вид

Но, требование, чтобы эта матрица имела ранг г, равносильно предположению, что на ее главной диагонали стоит ровно г отличных от нуля элементов.

Ч.т.д.

Теорема 1.62 (основная теорема о квадратичных формах)

Любая квадратичная форма некоторым невырожденным линейным оператором может быть приведена к каноническому виду.

Доказательство проведем индукцией по числу переменных. При и = 1 теорема верна, так как в этом случае квадратичная форма /(%і) = a_nxj имеет канонический вид. Докажем теорему для квадратичных форм от и переменных, считая ее уже доказанной для форм с меньшим числом переменных. Предположим, что среди коэффициентов ац(і = 1, 2, ..., п) данной квадратичной формы п п

/?(%!, х₂,... ,х_п) = a^Xj i=l /=1

имеются отличные от нуля. Пусть а_1г Ф 0, тогда выражение аГі(ацХі + а₁₂х₂+... +а_1пх_п)²,

являющееся квадратичной формой, содержит такие же члены с переменной х₁₅ что и форма /, поэтому разность

У - «Йі¹ + а₁₂х₂+... +я_1пх_п)² = Ун

будет квадратичной формой, не зависящей от х₁₅ а только от х₂, х₃, х_п, то есть

fi= fdx₂, х₃, Хп), откуда У = аГі(ацХі + я₁₂х₂+... +а_1пх_п)² + Д.

Перейдя к новым переменным y_lt у₂, у_п по формулам Уі = а₁₁х₁ +a₁₂x₂+...+a_lnx_n, y_t = x_t (і = 2,3, ..., ті), (1.140)

получим квадратичную форму

У = ^аГіУ²і+Л»

причем

A = f₂(y₂, Уз> ???> Уп)- (1-141)

Так как квадратичная форма f₂ зависит от меньшего числа переменных, по предположению ее можно привести к каноническому виду.

Следовательно, квадратичная форма f также приведена к каноническому виду (1.141). Отметим, что линейный оператор (1.140) является невырожденным, так как его определитель равен а_п ?= 0.

Оператор, обратный оператору (1.140), также будет невырожденным, он приводит исходную формуУк виду (1.141).

Случай, когда все коэффициенты ац = 0 (і = 1, 2, ..., ті), но, например, а₁₂ Ф 0, с помощью оператора

Xi = Zi — z₂, х₂ = Zj 4- z₂, Xf = Zi(i = 3, 4, ..., n) сводится к предыдущему.

Действительно, этот оператор является невырожденным, так как его определитель отличен от нуля:

В результате действия этого оператора член 2а₁₂х_±х₂, принимает вид

2dx₂XxX₂ = 2a₁₂(zx - z₂)(zi + z₂) = 2a₁₂Zj - 2a₁₂z₂;

в конгруэнтной квадратичной форме 1; z₂, ...» z_n) будут отличными от нуля коэффициенты при квадратах переменных z_t и z₂.

Таким образом, квадратичная форма действием нескольких невырожденных операторов, которые можно заменить одним невырожденным оператором - их произведением, приводится к каноническому виду.

Ч.т.д.