Кольцо

МножествоК называют кольцом, если в нем определены ассоциативные операции сложения и умножения, связанные законом дистрибутивности, причем операция сложения коммутативная и обладает обратной операцией - вычитанием.

То есть множество К кольцо, если оно является коммутативной группой по сложению со второй операцией — умножением, обладающей следующими свойствами'.

1) Х/а Є K,b Є К => ab = Ьа Є К,
2) Х/а Є К, b Є К, с Є К => a(bc) = (ab)c,
3) х/а Є К, b Є К, с Є К => а(Ь + с) = ab + ас.

Кольцо называют коммутативным, если в нем операция умножения коммутативная, и некоммутативным - в противном случае. Заметим, что любое кольцо является абелевой группой по сложению.

Кольцо называется кольцом с единицей, если в нем есть единица по умножению.

Например, множество целых чисел является кольцом с единицей.

Поле

Множество ^называется полем, если оно является кольцом с единицей, умножение в нем коммутативно и для любого ненулевого элемента ПОЛЯ существует обратный элемент по умножению:

Х/а Є Р {0} За^-1 Є Р: а ? а^-1 = 1.

Согласно определению запишем аксиомы поля:

1° Закон ассоциативности относительно сложения:

Х/х, у, z Е Кх + (у + z) = (х + у) + z.

2° Существование нулевого элемента:

З 0 Є К: Х/х Є К.

3° Существование противоположного элемента:

V х Е К 3(—х) Е К.

4° Закон коммутативности относительно сложения:

X/ х, у ЕКх + у = у + х

5° Закон ассоциативности относительно умножения:

x(yz) = (xy)z

6° Существование единичного элемента:
31 Є К,1 Ф 0 : Х/х Е К
7° Существование обратного элемента:

Х/х Е К,х Ф 0 Зх^-1 Е К: х ? х^-1 — х^-1 ? х = 1

8° Закон коммутативности относительно умножения:

ху = ух

9° Закон дистрибутивности умножения относительно сложения:
- (х + y)z = xz + yzn х(у + z) = ху + xz.

Примерами полей являются:

1) Множество всех чисел вида а + Ьу/2, где а и b - рациональные числа, с операциями сложения и умножения.
2) Множество, состоящее из двух элементов 0 и 1, с операциями сложения и умножения, заданными равенствами 0 + 0 = 0, 0+1 = 1+ 0=1, 1+1=0, и 00 = 0, 01 = 10 = 0, 11 = 1.

В любом поле множество всех элементов является абелевой группой с операцией сложения, а множество всех ненулевых элементов - абелевой группой с операцией умножения. Отсюда следует, что операции сложения и умножения имеют обратные операции - вычитание и деление. Для этих операций используют те же обозначения, что и для одноименных числовых операций. Кроме того, для четырех операций (сложение, умножение, вычитание, деление) сохраняются обычные правила преобразования выражений, а именно:

а с ас -а а

b d bd’ b b'