Методы вычисления определителей п-го порядка

Разложение определителя по элементам строки или столбца

Теорема о разложении определителя по элементам строки или столбца (формула 1.63) позволяет свести вычисление определителя п — го порядка (п > 1) к вычислению п определителей порядка п -1.

Используя свойства определителей, можно преобразовать определитель п — го порядка так, чтобы все элементы некоторой строки или столбца, кроме, может быть, одного, равнялись нулю.

Таким образом, вычисление определителя п — го порядка, если он отличен от нуля, сводится к вычислению одного определителя (n-l)-ro порядка. И так процесс продолжается дальше, т.е. сводим вычисление определителя (n-l)-ro порядка к вычислению определителя (п-2) порядка, и так далее до тех пор, пока не дойдем до определителя третьего порядка, который мы можем вычислить используя правило Сюрроса.

Например, вычислим определитель пятого порядка

10 2 -13
2 10 0 2
3 1-1 2 1
0 0-1 2 1
3 0 2 -1 0

Решение. Сначала нужно выбрать какую-нибудь строку либо столбец, в которых больше нулей. Самый «лучший» в этом смысле второй столбец (три нуля). Оставляем один из ненулевых элементов второго столбца неизменным. Пусть это будет элемент 1, стоящий на пересечении второго столбца и второй строки. Теперь, с помощью второй строки, назовём её рабочей, обнулим элемент а₃₂.

1	0	2	-1	3		1	0	2	-1	3
2	1	0	0	2		2	1	0	0	2
3	1	-1	2	1	=	1	0	-1	2	-1
0	0	-1	2	1		0	0	-1	2	1
3	0	2	-1	0		3	0	2	-1	0

Далее, разлагаем получившийся определитель по элементам второго столбца. Имеем,

Д= 1 • (-1)²⁺²

1 2
1 -1
0 -1
3 2

Теперь, изменять будем, например,

-1 3
2 -1
2 1
-1 0

третью строку, а «рабочим»

выберем, например, второй столбец. Имеем:

12-13 1

_д= 1 -1 2 -1 ₌ 1

^а О -1 2 1 О

3 2-10 3

Разлагаем по элементам третьей строки.

2
-1
-1
2
3 5
0 -2
0 0
3 2
3

= 1-(-1)²⁺¹-з

Вынесем 3 из первого столбца

Д= (-1)-(-1)³⁺²-

5 -2
2

Д= -З І? „І = -3 ? (1 ? 8 - 1 ? 7) = -3 • (8 - 7) = -3 ? 1 = -3

11 О I

Итак, Д= —3.

Приведение определителя к треугольному виду

Определителем треугольного вида называется определитель треугольной матрицы, т.е. определитель, имеющий один из следующих видов:

«11	«12	«13 •	•• «1л
0	«22	«гз .	" «2л
0	0	«зз •	" «Зл
0	0	0 .	” «л л

или

		«и	0	0 .	.. 0
		«21	«22	0 .	.. 0
д₂	=	«31	«32	«зз •	.. 0
		«л1	«„2	«лЗ •	•• «„„

Теорема 1.26

Определитель треугольного вида равен произведению элементов его главной диагонали:

Лі = Д₂ = а, _Ya₂₂a₃₃.. а_пп (1.64)

Доказательство. Разложим определитель Д, по элементам первого столбца

а₂₂ а₂₃ ... а_2п

О а₃₃ ... а_3п

О О ... а_пп

Полученный определитель снова разложим по элементам первого столбца:

А, — «ц«22

«зз

«34

«ЛЛ

«3„

«4л

«„„

И так далее. В конце концов, у нас, очевидно, получится:

Лі — а_хха₂₂а₃₃..а_пп

Аналогично, можно показать, что и Д₂ = а_хха₂₂а₃₃..а_пп.

Например, вычислим определитель приведения его к треугольному виду.

пятого

порядка методом

Имеем:

Д=

1
1 о о
2

-1
-1
2
-1

2
2
-1
3
2
1
1

2
-4
-7
-1
-4
-1
2
5
2
2
3
-4
-8
1
9
1 О о о о
1 о о о о

2
-4
-3
-1
-4
2
-4
-1

-1
2
3
2
2 -1
2
2 -3 -6
3 -4 -4 :
1 -9
3
4
1 -7 -13
1

О О о о

О о о о

О 1 О О о

о 1 о о о

2
-4
-1
-3
-4

) 2

-4
-1

О О

-1
2
2
3
2 -1
2
2
-3

3
4
1 =
-4
-9
3
4
1
-7
1

= -!•!• (-1) ? (-3) ? 1 = -3

Ответ: &= -3.

Метод опорного элемента

Рассмотрим определитель третьего порядка. Пусть элемент .........

Подготовим этот определитель для разложения его по элементам первого столбца. Для этого умножим вначале вторую строку на......., а третью на.....

Имеем:

	«11	«12	«13	^— 2	«11	«12	«13
Л =	«21	«22	«23		«11«21	«11«22	«11«23
				«11
	«31	«32	«33		«11«31	«11«32	«11«33

Далее, умножим первую (рабочую) строку на -а₂₁ и сложим ее со 9

второй строкой. И затем умножим первую (рабочую) строку на -«₃₁, и сложим ее с третьей строкой. Получим:

^д=—

«и

«11

«11«21 ^— «11«21

^11^31 ^11^31

«12

«11«22 ^-«12«21

«11«32 “ «12«31

«13

^а11^а23 ~^а13^а21

^а11^а33 ~^а13^а31

^а11 ^а12 ^а13

О «11«22 «12«21 tZj |tZo₃ «13«21

О «11«32 ^— «12«31 «11«33^-«13«31

второй и третьей строк есть

^ап

^а21

^а31

«12 «13

«22 «23

«32 «33

«11 «12 «11 «13

«21 «22 «21 «23

«11

«11 «12 «И «13

«31 «32 «31 «33

(1.65)

Заметим, что ненулевые элементы

определители второго порядка:

	«11 «12		«11 «21
«11«22 «12«21 ^—		; «11«23 - «13«21 -
	«21 «22		«13 «23
	«И «12		«И «13
«11«32 ^— «12«31 ⁼		^іі^ЗЗ ^13^31 ~
	«31 «32		«31 «33

И так, разложив определитель по элементам первого столбца, получили формулу для вычисления определителя третьего порядка.

Метод вычисления определителя по формуле (1.65) носит название метода опорного элемента. Опорным элементом является ненулевой элемент а_1г . Если же в заданном определителе элемент а_г1. нулевой, то прежде необходимо преобразовать определитель на основании свойств так, что бы элемент, стоящий в левом верхнем углу, был ненулевым.

Аналогично предыдущему, доказывается справедливость формулы метода опорного элемента для определителя п- го порядка:

					«11	«12	«11	«13
«и	^а12	^а13 •	?? ^ап		«21	«22	«21	«23
«21	^а22	«23 •	.. а₂„	1	«11	«12	«11	«13
«31	^а32	«зз •	?? ^а3п	” п-2 «11	«31	«32	«31	«33
^ап1	^ап2	^апЗ •	" ^апп		«11 ^ап1	«12 «и2	«11 «л!	«13 «пЗ

«11	^а1п
«21	^а2п
«11	^ап
«31	^а3п
«11	^а1п
«_Л1	а_пп

Например, методом опорного элемента вычислим определитель

А=

3
0 2-1
10 0
1-12 0-12
0 2-1
3
2
1
1 0

Решение. Элемент, стоящий в левом верхнем углу ненулевой, поэтому сразу приступим к преобразованиям в соответствии с формулой(.Имеем:

= -1(-33 + 42) = -1-9 = -3

Ответ: Ь= —3.