Критерий совместности системы линейных уравнений
Теорема 1.33 (Кронекера-Капелли)
Для совместности системы линейных уравнений необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был равен рангу ее расширенной матрицы.
Доказательство. Пусть дана система т линейных уравнений с п неизвестными
ЦцХі 4“ й-[2'^2 3” *** 3“ ~
а21хг 4- а22х2 4-----h а2пхп = Ь2
"I" ^т2^2 4" 4" ^тп^п
Запишем исходную систему в виде
Необходимость. Пусть система совместна.
Докажем, что ранг матрицы (а11 а12 а1п
а21 а22 а2п
O-ml ^т2 ^тп
равен рангу расширенной матрицы
(а11 а12 ”? «1и ^1
а21 а22 а2п ^2 j
ат1 ат2 "? атп Ьт/
Т.Є. ЧТО ГА = ГА.
Так как система совместна, то имеется совокупность чисел^^г, такая, что
т.е. последний столбец матрицы А является линейной комбинацией остальных ее столбцов. Вычитая из последнего столбца матрицы А указанную линейную комбинацию остальных столбцов, получаем матрицу
а11 а12 "? а1П О
а21 а22 а2п О
О-т! ^m2 О-тп О
Что и доказывает, что ранг матрицы Аг равен рангу матрицы А и рангу матрицы А.
Достаточность. Пусть гА = гА = г. Докажем, что система совместна. Так как гА = гА, то существует минор м , являющийся базисным минором как матрицы А, так и матрицы А. На основании теоремы о базисном миноре последний столбец матрицы А является линейной комбинацией базисных столбцов, а, следовательно, и всех столбцов матрицы А. Это значит, что существуют числам, а2,..., ап, такие, что
(bi /aii /а12 /ат
Ь2 I I а21 | . / а22 | , , / а2п I
: =| : «і +[ : Я2+--+ : ]ап-
Ът/ ^т1/ ^т2/ flmn/
Сравнивая последнее равенство с равенством (1.74), заключаем, что
(а-p а2, ...; ап) является решением системы (1.73). Таким образом, система (1.73) совместна.
Ч.т.д.
Следствия теоремы Кронекера-Капелли
- 1. Если ранг матрицы совместной системы равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение.
- 2. Если ранг матрицы совместной системы меньше числа неизвестных, то множество решений системы бесконечно.
- 3. Если система имеет единственное решение, то ранг матрицы системы равен числу неизвестных.
- 4. Если множество решений системы бесконечно, то ранг матрицы системы меньше числа неизвестных.
