Ранг системы векторов линейного пространства

Рассмотрим систему т векторов

Xi = (х_п,х₂₁,...,х_п1), . х₂ = (х₁₂,х₂₂, ...,х_п2),

(1.86)

СХцп> Х_2т, ..., Х_пт)

линейного «-мерного пространства, координаты которых заданы в одном и том же базисе. Системе векторов (6.8) поставим в соответствие матрицу

/Хц

X = ^Х21

^х12

^х22

Хіт

Х₂т

(1.87)

Лп1

Х_П2

Хпт

в к-м столбце которой записаны координаты вектора х_к (к = 1,2, ...,тп).

Матрицу (1.87) называют матрицей системы векторов (1.86)в данном базисе, а ранг этой матрицы - рангом системы векторов х_1л х₂,... , х_т.

Обратно, если дана матрица (1.87), ей можно поставить в соответствие систему (1.86) т векторов линейного «-мерного пространства. Столбцы матрицы (1.87) линейно зависимы, если векторы (1.86) линейно зависимы и обратно.

Приведем без доказательства теорему, которая позволяет судить о линейной независимости векторов, заданных своими координатами.

Теорема 1.40

Для того чтобы т векторов линейного пространства были линейно независимы, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы этой системы был равен т.

Следствие /.Система п векторов «-мерного линейного пространства линейно независима тогда и только тогда, когда матрица этой системы векторов является невырожденной.

Следствие 2. Если ранг матрицы системы т векторов линейного пространства равен г, максимальное число линейно независимых векторов этой системы равно г.

Например, найдем максимальное число линейно независимых векторов в системе ^(1,4,2,7), а₂(—1,-2,—3,-6), а₃(0,5,0,5), а₄(3,0,6,9), а₅(2,3,1,6).

Решение. Матрица данной системы векторов имеет вид

/1 -1 0 3 2

_{А =} | 4 -2 5 0 3 1

• 12 -3 0 6 11
• 7 -6 5 9 6/

Так как ранг этой матрицы равен трем, то максимальное число линейно независимых векторов этой системы равно трем.

Очевидно, можно доказать, что максимальное число линейно независимых строк всякой матрицы равно максимальному числу ее линейно независимых столбцов, т.е. равно рангу этой матрицы.

Матрица перехода от базиса к базису. Преобразование координат вектора

Рассмотрим в линейном пространстве V два базиса:

е₄, е₂,..., е_п; (1.88)

e'i,e'₂.....е'_п (1.89)

Матрицей перехода от базиса (1.88) к базису (1.89) называется матрица системы векторов е, е'₂,..., е'_п в базисе е_1д е₂,..., е_п.

есть матрица перехода от базиса (1.88) к базису (1.89), то '^e'l = tll^el + ^f21^e2 + ... + ^п1^еп> ? ^Є>2 = ^f12^el + ^f22^e2 + ... + tn2^en> ke _n = t_ln6₁ + t_2ne₂ + ... + tnn^en>

Или

• (e, e'₂, ..., e'_n) = (e₁₍ e₂,..., e_n) ? T.
• (1.91)

Из теоремы о линейной независимости векторов следует, что матрица перехода от базиса к базису является невырожденной и всякую невырожденную матрицу порядка п можно рассматривать как матрицу перехода от базиса к базису в п -мерном пространстве.

Очевидно, что матрица Г^-1, обратная матрице (1.90), является матрицей перехода от базиса (1.89) к базису (1.88).

Например, рассмотрим в линейном пространстве М₂ базис i,j, а также базис е₂ (рисунок 18).

е_г = icoscp + jsinxp; е₂ = —isincp + jcos(p.

Следовательно, матрицей перехода от базиса i,j к базису e_lt е₂ является матрица

(cos(p —sin(p

sin

тогда как матрицей перехода от базиса ^1» ^2 ^к базису i,j является матрица

_ / cos(p sin(p

~ —Sin(p COS(p)

Задача преобразования координат заключается в нахождении зависимости между координатами вектора в разных базисах.

Формулы, связывающие координаты вектора в разных базисах, называются формулами преобразования координат.

Теорема 1.41

Если x_lfx₂, ...,х_п - координаты вектора х в базисе е₁,е₂,...,е_п, а г'і.х'г, —>^х'п ? координаты этого же вектора в базисе е,е'₂, ...,е'_п, то имеет место следующее соотношение:

или

X = ТХ',

где

X = (x_ltx₂,...,x_nY

X' = (x'^x'z,...^^);

Т - матрица перехода от базиса е_±, е₂,..., е_п к базису e'_lt е'₂,..., е'_п.

Доказательство. Из условия теоремы следует, что

х = {е₁,е_г,...,е_п)Х-, (1.93)

х = (е,е'_г.....е'_п)Х'; (1.93)'

Учитывая соотношение (1.91), из равенства (1.93)' получаем

х = (е₁,е₂,...,е_п)ТХ' (1.94)

Так как равенства (1.93) и (1.94) есть символическая запись разложения вектора х по базису е_г,е₂,... ,е_п, а для каждого вектора разложение единственно, то

Х = ТХ' (1.95)

Из соотношение (1.95) выразим матрицу jc ', имеем:

ТХ' = X,

Таким образом, матрица х' запишется в виде

X' = Т~^гХ (1.96)

Формулы (1.95) и (1.96) являются формулами преобразования координат.

Например, пусть вектор х в базисе e_lf е₂ имеет координаты (1, —2).

Найдем координаты этого вектора в базисе = е₁, е'₂ = е₁ + е₂.

Решение. Матрица перехода от базиса e_lt е₂ к базису е, е'₂ имеет вид

-G D-

Искомые координаты х,х'₂ находим по формуле (1.96):

Матрица, обратная матрице Т:

—С ?)•

Таким образом,

(х'Л _ /1 -1 / 1 ₌ / 3 х'₂) КО 1 Л-2/ V-2T

Ответ :х = 3, х' ₂ = — 2.