Корни многочлена. Теорема Безу

Значением многочлена

f(x) = а_ох^п + я₁х^п-1+... +а_п

(1.30)

прих = с называется результат вычисления а_ос^п 4- а₁с^п~¹+... +а_п.

Очевидно, что если

<р(х) = /(х) + #(х), i/(x) = /(х)^(х),

то

<р(с) = /(с) + gfc), = f(c) • #(с).

Корнем многочлена /(х) называется такое х = с, при котором значение многочлена равно нулю.

Важную роль в процессе нахождения корней многочлена играет теорема Безу и ее следствия.

Теорема 1.11 (Безу)

Число х₀ тогда и только тогда является корнем многочлена/(х), когда существует такой многочлену (х), что /(х) = (х — х₀)у(х).

Доказательство. Если имеет место такое представление для /(х), то, подставляя в него х = х₀, получим: /(х₀) = 0.

Обратно, пусть х₀ - корень многочлена /(х). Разделим многочлен /(х) на многочлен х —х₀: /(х) = у(х)(х — х₀) 4-г. Здесь г - действительное число. Оно равно нулю. В самом деле, подставим в это равенство х = х₀:

0 = /(х₀) = t?(x₀)(x₀ - х₀) + г => г = 0.

Ч.т.д.

Теорема 1.12

Если многочлен Р_п(х) = а_пх^п 4- а_п_₁х^п-1+... +а_гх + а_ос целыми коэффициентами имеет рациональные корни, то их следует искать среди m I -

чисел —, где т - целый делитель а₀, а к - натуральный делитель а_п.

Следствия теоремы Безу:

• 1. Остаток от деления многочлена/(х) на двучлен (х — с)равен значению многочлена при х = с, то есть г = f(c).
• 2. При делении многочлена/(х)на двучлен видаях 4- ^получается

„ ь

остаток, равный значению этого многочлена при х = —

3.

причем

4.

причем

я^2п-1;

5.

Многочлен х^п — а^п делиться нах — а при любом натуральном п, -—— = х^п-1 4- х^п~²а 4- х^п~³а²+... +х²а^п~³ 4- ха^п~² 4- я^п-1;

х-а

Многочлен х^2п — а^2п делиться на х 4- а при любом натуральном?!, у2П__я2П ^{х а} _v2n-l у.2п—2_п і _v2n-3„2 і __v2 „2п-3 ? _v„2n-2 _ •/> Л/ (Аг І СТ I ? • ? -Л* (Л- I Л, ІЛ,

х+а

Многочлен x²ⁿ⁺¹ 4- a²ⁿ⁺¹ делиться нах 4- а при любом

натуральном?!,причем _v2n+l . „2п+1 ^{х +а} — у2п _ у2п-1_п і у2п-2_п2_ 1у2_п2п-2 _ _vn2n-l ? _П2п

уС СТ І sc СТ ? ? ? Тyv СТ л. СТ I СТ •

х+а

Приведем небольшие примеры применения теоремы Безу и ее следствий.

• 1) МногочленР₄(х) = х⁴ 4- 4х³ 4- 5х 4- 8 делится нацело на двучленх 4- 1, так как Р₄(—1) = 0, но не делится на х 4- 2,так как Р₄(—2) =# 0.
• 2) Найдем остаток от деления многочлена Р₃(х) = 2х³ — х² 4- 4х — 1 на двучлен 2х — 1:

Согласно второму следствию, имеем

Таким образом, остаток от деления многочлена Р₃(х) = 2х³ — х² + +4х — 1 на двучлен 2% — 1 равен единице.

3) Разделим многочлен Р₅(х) = х⁵ — 32 на х — 2 воспользовавшись следствием 3.:

Так как Р₅(%) = х⁵ — 2⁵, то

• -—— = х⁴ + х³ • 2¹ + х² ? 2² + х • 2³ + 2⁴ = х⁴ + 2х³ + 4%² + 8х + 16. х—2
• 4) Найдем корни многочлена /(х) — 2.x³ + 5х² + х — 2.

Решение. Поскольку заданный многочлен приведенным не является, то согласно теореме 1.12 рациональные корни многочлена будем искать среди чисел р где т - целый делитель свободного члена, а/с - натуральный делитель старшего коэффициента. Имеем т: ±1, ±2, к: 1,2.

Составляем всевозможные дроби —

т 1 -1 2 -2 1 -1 2 -2

ТГ Ї’ Т^:2' ~Т' 2’ ~2'

Итак, получим шесть различных значений

т 1—1

—: 1; —1; 2; —2; —; — к 2 2

Среди, которых находим корни многочлена.

/(1)*0, /(-!) = О, /(2)* о,

/(-2) = 0, Г(1) = О, /(-|)* О-

Таким образом, заключаем, что заданный многочлен имеет три действительных корня: -2,-1,-.