Глава 9 Квадратичные формы

Квадратичные формы. Основные понятия и определения

Квадратичной формой действительных переменных х₁,х₂,...,х_п называется многочлен второй степени относительно этих переменных, не содержащий свободного члена и членов первой степени.

Квадратичная форма называется действительной или комплексной в зависимости от того, являются ли ее коэффициенты соответственно действительными или комплексными числами.

Обозначим коэффициент при х? через а.ц, а коэффициент при произведении x^xj для/ =# j - через 2а^. Заметим, что при этом a₇j = 2а^ и член ZdijXjXj можно записать, таким образом, в виде

2dijXiXj ClijXiXj + CL[jXjXi,

а всю квадратичную форму/ - в виде суммы всевозможных членов ОуХ^,

где/ и j уже независимо друг от друга принимают значения от 1 до п.

Введя такие обозначения, квадратичная форма переменных Х[ (і = 1, п) примет вид: и п / = 2^a_ijx_ix_j; i=l j=l

(1.133)

Например, при п = 3, получаем квадратичную форму вида

/(хі,х₂,*з) = ^ап*1 + ^а22^2 + ^азз^з + 2а₁₂Х!Х₂ + 2а₁₃х_гх₃ + 2а₁₃х₂х₃

Матрица, составленная из коэффициентов квадратичной формы S;=i ^aijXiXj называется матрицей квадратичной формы, а соответствующий определитель - определителем этой квадратичной формы.

Так, квадратичная форма (1.133) имеет матрицу:

(1.134)

Поскольку, для квадратичной формы а_7І = а^, то в матрице А элементы, симметричные относительно главной диагонали, равны между собой, то есть матрица квадратичной формы - симметрическая.

Очевидно, квадратичной форме (1.133) п переменных х₁,х₂,...,х_п соответствует единственная симметрическая матрица (1.134).

Обратно, всякой симметрической матрице (1.134) соответствует единственная квадратичная форма с точностью до обозначения переменных.

Рангом квадратичной формы называется ранг ее матрицы. Квадратичная форма п переменных называется невырожденной, если ее матрица - невырожденная, т.е. г = и, и вырожденной, если г < п.

Например, запишем матрицу квадратичной формы

f(x₁,x₂,x₃) = — 6%-|Х2 ^— 8х_гх₃ + + 4х₂*з ^— 5х₃

и найдем ее ранг.

Решение. В данном случае а_1± = 1, а₁₂ = а₂₁ = —3, а₁₃ = а₃₁ = —4, а₂₂ = 7, а₂₃ = а₃₂ = 2, а₃₃ = —5, поэтому

Вычислим определитель этой матрицы:

detA = -3 7 2 =-35 + 24 + 24-112 + 45-4 =-58.

-4 2 -5

Так как det А Ф 0, то ранг матрицы равен трем, т.е. г = 3, соответственно, заданная квадратичная форма будет невырожденной.