Глава 7 Евклидово пространство
Евклидово пространство. Основные понятия и определения
Линейное пространство R называется евклидовым, если имеется правило, которое позволяет для каждых двух векторов х и у из R построить действительное число, называемое скалярным произведением векторов х и у и обозначаемое (х, у), причем это правило удовлетворяет следующим аксиомам'.
- 1°(х,у) = (у,х);
- 2°(х + y,z) = (x,z) + (y,z);
- 3°(Лх,у) = Л(х,у)для любого действительного числаХ;
- 4°(х,х) > 0для всех х Ф 0.
Из аксиом 1° - 4° следует, что:
- а) (у + z,х) = (у,х) + (z,х);
- б) (х,Лу) = Л(х,у);
- в) (0, х) = 0 для любого вектора х.
Скалярное произведение (х,х) вектора х на себя называется скалярным квадратом этого вектора и обозначается х2, т.е.
(х,х) = X2.
Если п- мерное линейное пространство является евклидовым, будем называть его евклидовым п -мерным пространством, а базис этого линейного пространства - базисом евклидова пространства.
Примеры евклидовых пространств.
- 1) Пусть М3 - пространство свободных векторов. Для свободных векторов определена операция скалярного умножения, которая удовлетворяет аксиомам 1° - 4°. Следовательно, пространство Л/3 с введенной операцией скалярного умножения векторов является евклидовым.
- 2) Пусть 7?п - арифметическое пространство. Каждой паре элементов
X = (х1;х2; ...Хп), Y = (yt;y2; -Уп)> этого пространства поставим в соответствие число
XY = О1У1 + хгУг + - + *пУп> <*)
Легко убедиться в том, что аксиомы 1° - 4°выполняются, т.е. выражение (*) является скалярным произведением. Следовательно, пространство Яп с введенной операцией (*) скалярного умножения есть евклидово пространство.
Рассмотрим пример линейного пространства матриц#2, определенном над полем к,зададим скалярное произведение формулой
(А, В) = (aia2 — ЬгЬ2 + с±с2 —
где
л = (О1 В = (“2 *2).
Ci d-jj с2 d2J
Определим, является ли при этом Н2 евклидовым пространством.
Решение. Для того, чтобы доказать, что линейное пространство является евклидовым, необходимо подтвердить выполнимость всех четырех аксиом скалярного произведения. Соответственно, для того, чтобы доказать, что пространство не является евклидовым достаточно указать невыполнимость хотя бы одной из аксиом.
Замечаем, что не выполняется аксиома 4° скалярного произведения, например, для матрицы
Действительно, имеем (Л, Л) = 1 — 1 = 0, хотяЛ Ф 6.
Таким образом, рассматриваемое линейное пространство не является евклидовым.
Из 2° и 3°аксиом вытекает следующая формула для скалярного произведения линейных комбинаций систем векторов:
(п і п і
fitbj j = 22(1>97) i=i j=i / i=i;=i
Теорема 1.44
При любом n в n -мерном линейном пространстве Vn можно определить скалярное умножение, при котором пространство Vn будет евклидовым.
Доказательство. Возьмем в пространстве Vn любой базис е1г е2, ...,еп Если п п
i=l i=l
то положим, например, что п
- (а,Ь) = ?а(Д (1.98)
- 1=1
Легко проверяется, что условия 1° - 4° будут выполнены, т.е. равенство (1.98) определяет в пространстве Vn скалярное умножение, а значит Vn евклидово.
Ч.т.д.
В «-мерном линейном пространстве скалярное умножение можно задать, вообще говоря, многими различными способами.
Например, докажем, что в евклидовом пространстве Р2 многочленов с действительными коэффициентами степени, не превосходящей 2, скалярное произведение может быть задано следующим образом:
(Л 5) = /(-D^(-i) + /(0)^(0) + /(1)^(1).
Решение. Для того что бы доказать, что скалярное произведение может быть задано заданной указанной формулой докажем выполнимость всех четырех аксиом скалярного произведения.
- 1) Первая аксиома (f, g) = (g, f},очевидно, справедлива в силу коммутативности умножения чисел.
- 2) Теперь проверим, выполнимость второй аксиомы:
- (/ + <Р^) = (/^) + (фл<9)
Имеем:
(/ + <р>д) = [Д-1) + ф(-1)]^(-1) + [/(0) + <р(0)]#(0) +
+ [Д1) + <р(1)Ь(1) = [/(-1)0(-1) + /С0)^(0) + /(1)^(1) + +[ф(-1)0(-1) + <^(0)^(0) + ф(1)^(1)] = (f>g) + (<рд).
Таким образом, выполнимость второй аксиомы доказана.
- 3) Далее, проверяем третью аксиому, то есть
- - число).
Имеем:
(af.g) = а/(—1)#(—1) + а/(0)^(0) + а/(1)^(1) = = а[/(-1)5(-1) + /(0)^(0) +/(1Ж1)] = а(/,дУ
То есть третья аксиома выполнена.
4) И, наконец, четвертая аксиома.
Для любого многочлена /(х)действительно справедливо неравенство: (Л/)=/2(-1) + /2(о) + /2(1)>о
Покажем, что если (/,/) = 0, то/ = 0.
Пусть (/,/) = 0, т.е.
f2(-D + /2(O) + /2(l) = O
Отсюда получаем,
/(—1) =/(0) =/(1) = 0.
Так как степень многочлена /(х) не превосходит 2, то число корней этого многочлена не может быть более чем 2. Следовательно, /(0) = 0, то есть /(х) - нулевой элемент пространства Р2.
Таким образом, все четыре аксиомы выполнены, а, значит, по указанной формуле можно ввести скалярное произведение в пространстве Р2 и тогда пространство становится евклидовым.
