Ортогональные векторы. Система ортогональных векторов

Пусть дано произвольное п -мерное евклидово пространство Е_п. Векторы аи ^называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю:

(а, Ь) = 0

Очевидно, что нулевой вектор ортогонален любому вектору, так как

(0, а) = (0, Ь) = 0

Система векторов называется ортогональной системой, если все векторы этой системы попарно ортогональны между собой.

Теорема 1.45

Всякая ортогональная система ненулевых векторов линейнонезависима.

Доказательство. Пусть ъЕ_п дана система векторов a_lf а₂>..., а[ Ф 0, і = 1,2,...Л, причем все векторы этой системы ортогональны между собой:

{cLj, aj) = 0 приі =# j (1-99)

Пусть выполнено условие

6Z1CL1 + 6Ї2^2^”' ? • — O’ (*)

Скалярно умножая обе части этого равенства на вектор сц, 1<і<к, ввиду 1°, 2°и 4° аксиом, получаем:

О = (0,a_f) = («і«і + а₂а₂ Н-----h a_ka_k,CLi) =

= a₁(_<a₁,a_i) + a₂(a_2>a_i)+...+ + a_k(a_k,a_i) = а^а^.

Отсюда, так как (a_f, a_f) > Опо четвертой, нулю может быть равен только коэффициент cij = 0, i = l,2,...,k. Следовательно, условие (*) выполняется при ai = 0.

Таким образом, доказано, система векторов а₁,а₂,...,а_к - линейно независима.

Очевидно, верно утверждение'.

Всякое евклидово пространство обладает ортогональными базисами, причем любой ненулевой вектор этого пространства входит в состав некоторого ортогонального базиса.

Норма вектора евклидова пространства

Нормой вектора евклидова пространства называется арифметическое значение корня из скалярного квадрата этого вектора. Норму вектора х обозначим ||%||, тогда по определению

11x11 = (1.Ю0)

Норма вектора обладает следующими свойствами'.

• 1. ||х|| = 0 тогда и только тогда, когда х = 0;
• 2. ||ах|| = а| • ||х||, где а - действительное число;
• 3. |(х,у)| < ||х|| • ||у || -неравенство Коши-Буняковского;
• 4. ||х + у|| < ||х|| + ||у||- неравенствотреугольника.

В евклидовом пространстве Е_п со скалярным произведением норма элементах = (x_lfx₂, ...,х_п) определяется формулой

IMI = A²+X₂²+...+x2. (1-101)

Тогда неравенство Коши-Буняковского и неравенство треугольника, соответственно, принимают вид:

ЬіУі + х₂у₂+.? • +х_пу_п VxJ + xj+...+x² • 7уі +У₂²+---+Уп’

V(x_t + _У1)² + (х₂ + у₂)² + ’" + (х_п + у_п)²

< Jx² + Х²+... +Х² + /у2 + у₂²+... +у²

Например, найдем нормы элементов /(%) = 1 — х + х² и д(х} = 1 + х евклидова пространства Р₂ многочленов с действительными коэффициентами степени, не превосходящей 2.

Решение. В предыдущем примере мы доказали, что скалярное произведение в рассматриваемом евклидовом пространстве можно задать формулой

(Л д) = К-Ъд(-Ъ + /(0)^(0) + /(1)^(1).

Так как/(-1) = 3, /(0) = 1, /(1) = 1, #(-1) = 0, ^(0) = 1, ^(1) = 2, то

(/,/) = З² + I² + I² = 11, І9,9Ї = О² + I² + 2² = 5.

Теперь, находим нормы элементов f нд:

И/ll = Л77) = -ЛТ, ||^|| = V5.