Методы решения СЛУ

Метод Гаусса - метод последовательного исключения не известных.

Алгоритм:

1) Записать расширенную матрицу СЛУ.
2) Посредством допустимых преобразований (только над строками) матрицы преобразовать её к треугольному (трапециевидному) виду.
3) Восстановить уравнения системы, начиная с последней строки и найти значения переменных.

Допустимые преобразования матрицы (допустимыми назовем такие преобразования матрицы, которые приводят систему к эквивалентной ей)

1) Можно переставлять строки местами любым образом.
2) Можно любую строку умножить на любое ненулевое число.
3) Можно любую строку заменить её линейной комбинацией с другой строкой (строками) матрицы.
4) Вычеркивание строки, состоящей из одних нулей.

Нельзя «работать» со столбцами расширенной матрицы, так как такие преобразования соответствуют СЛУ не эквивалентной заданной.

Например, решим систему линейных уравнений

( х + у + z = 1 2х + у - z = 0, . х + 2у = 3 используя метод Гаусса.

Решение. Построим расширенную матрицу системы:

/1 1

А=1 2 1

1 2
1 -1 О
1
0
2/

Теперь, используя элементарные

преобразования приведем матрицу А к

(1 v v А

О 1 v v I, где v - любое число.

О 0 1 у/

И так, первую строку матрицы А оставляем без изменений, вторую

строку складываем с первой, умноженную на (-2), третью строку складываем

с первой, умноженную на (-1).

/11 1 1 /1 А= 2 1 -ЮНО 1 2 0 2/

1 1 1
-1 -3 -2
1 —12/

Далее третью строку складываем с первой:

/1 1 1 1 /1 1 1

А= 2 1 -ЮНО -1 -3

XI 2 0 2/ 1 -1

1 /1 -2 ~ 0
2 /
1 -1 0
1
-3
-4
1 А -2

о /

Для удобства умножаем вторую строку на (-1), а четвёртую строку делим на

(-4):

А=1 2

1
1 -1 0
1 /1 о ~ о 2/
1 1 1 /1 1 -1 -3 -2 Но -1
1 -1 2 / 0
1 1 /1
-3 -2 Н 0
—4 0 /
1 1 1
1 3 2
0 10/

Теперь, начиная с последней строки, восстанавливаем уравнение системы

1) 0% + Оу + lz = 0, z = 0.
2) Ох + 1у + 3z = 2, у = 2 — 3z, у = 2 — 3 • 0, у = 2.
3) lx + ly + lz = 1, х = 1 — у — z, х = 1 — 2 — 0, х = —1.

Таким образом, исходная система совместна и определена.

Ответ: {(—1; 2; 0)}

Рассмотрим еще пример. Решим систему

х + у + z = 1

2х + у - z = 0

Зх + 2у = 1

Решение. Составляем расширенную матрицу системы:

/111

А= 21-1

3 2 О
1
0 Г 1/

Первую строку оставляем без изменений, вторую строку складываем с

первой, умноженную на(-2), третью умноженную на (-3).

/11 1 1 /1

А= 2 1 -ЮНО

3 2 0 1/

строку складываем

1 1 1 -1 -3 -2 -1 -3 —2/

с первой,

Поскольку 2 и 3 строки одинаковы, одну из них вычеркиваем.

/1 1 1 1 /1 1 І І

А= 2 1 -10-0 -1 -3-2 ~( J).

3 2 0 1/ -1 —3—2/

То есть, получилось условий меньше, чем переменных.

Аналогично предыдущему, по последней строке восстанавливаем уравнение

Ох + ly + 3z = 2

у + 3z = 2

Пусть z = с, где с - const, тогда

у = 2 — 3z

у = 2 — Зс

Далее по первой строке имеем:

х + у + z = 1

х = 1 — у — z

х = 1 — (2 - Зс) — с

х = 2с — 1

Таким образом, СЛУ совместна и неопределенна.

Ответ-. {(2с — с; 2 — Зс; с), с — const}.

Рассмотрим еще пример решения СЛУ методом Гаусса. Пусть задана система:

х + у + z = 1

2х + у - z = 0

Зх + 2у = 3

1 1 IX
1 -10
2 0 3/

Решение. Расширенная матрица А=1 2

Первую строку оставляем без изменений, вторую строку складываем с первой, умноженную на (-2), третью строку складываем с первой, умноженную на (-3).

/1 1

А=| 2 1

3 2
1 1 /1 1
-1 ОНО -1

О 3/ О -1

1
-3 -3
1 -2

О /

Умножаем вторую строку на (-1) и складываем с третьей строкой.

А= 2

3
1 1 /1 1 -1 0 ~ 0 -1

О 3/ -1

1 1 /1 1 -3 -2 ~ 0 -1 -3 0 / о
1 -3 о
1 -2
2 /

Последней строчке полученной матрице соответствует уравнение:

Ох + Оу + Oz = 2,

не имеющая решения, поэтому система не имеет решений, то есть

неопределенна.

Ответ', решений нет.

Метод Крамера — метод решения невырожденных систем по формулам Крамера.

Систему, основная матрица которой невырожденная, назовем невырожденной.

Теорема 1.32 (Крамера).

Любая невырожденная система линейных уравнений вида

''сіцХі + а₁₂х₂ Н-----1- а_1пх_п = Ь_х

, «21^1 + а₂₂х₂ + - + а_2пх_п = Ь_{2 (1 69)}

k#nl*l + ^ап2^х2 + "? + ^апп^хп ⁼ Ъ_п

имеет единственное решение'. Xi = —,( і ⁼ 1,2,..., л), где А - определитель матрицы системы, определитель матрицы, полученной на основе матрицы системы путем замены /-того столбца столбцом из свободных членов.

Доказательство. Пусть дана система п линейных уравнений с п неизвестными

( СіцХі + Я12*2 + ••• + а_1п^хп = Ь1

<*21*1 + а₂₂х₂ + ••• + а_2пх_п = Ь₂

a_nl^xi + a_n2x₂ -I-----1- а_ппх_п -

и числовыми коэффициентами.

Обозначим через А Предполагаем, что

определитель матрицы

этой системы.

<*11

Д= ^а21

^ап1

^а12

^а22

^ап2

^ат

^а2п ф о.

<*пп

Сначала допустим, что уравнение имеет решение и, что х₁,х₂, ...,х_псоставляют решение, так что уравнения уже превратились в верные равенства. Обозначим через алгебраические дополнения элементов а^в А.

Умножим первое из равенств системы на А_1±, второе на Л₂₁, п-с на А_п1 и сложим. Получим

(«цЛц + а₂₁Л₂₁ 4-----1- а_піАгі)^хі + (^а12^ 11 + ^а22^21 + + ^ап2^п1)^х2 +

+? • • +(а_1пЛ_п + а_2пА₂₁ 4-----1- а_Пп^Апі)^хп = Ьі^п 4- Ь₂А₂₁ 4-----1- Ь_пА_п1.

Коэффициент при х_х есть определитель А, представленный в разложении по элементам первого столбца. Коэффициенты же при х₂, ...,х_пвсе равны нулю, так как они суть суммы произведений алгебраических дополнений элементов первого столбца на элементы других столбцов. Таким образом, мы пришли к равенству

А ? ^хі = Ь₁А₁₁ 4- Ь₂Л₂₁ 4-----1- Ь_пА_п1.

Аналогично, умножив исходные равенства на алгебраические дополнения второго столбца, получим

А ? ^х2 = ^М12 + Ь₂А₂₂ 4- ••• 4- Ь_пА_п2.

и т.д. Из этих равенств получаем

^Х1 = Д (^1^11 + ^2^21 4-----Ь Ъ_пА_п1),

^х2 ⁼ д (М₁₂ 4- Ь₂А₂₂ 4 h Ь_пЛ_п2),

^хп ~ д (^і^іп 4" ^2^2п 4* "? 4" Ь_пА_пп).

Упростив, имеем, Хі = у( і = 1,2,..., п), если А - определитель матрицы системы, Aj- определитель матрицы, полученной на основе матрицы системы путем замены z-того столбца столбцом из свободных членов.

Тем самым мы показали, что если решение существует, то оно единственно и задается формулами, которые мы установили.

Теперь нужно доказать, что решение существует, т.е. что формулы для x_lf х₂,..., х_п действительно дают решение.

Имеем:

«и^і 4- а₁₂х₂ 4-----h а_1пх_п = Ь₁(^а₁₁А₁₁ 4- а₁₂А₁₂ 4-----h а_1пА_1п) 4-

4-й₂(ацЛ₂і 4- а₁₂А₂₂ 4- ••• 4- а_1пА_2п+... +Ь_п(а₁₁А_п1 4- а₁₂А_п2 4- ••• 4-

^а1п^пп

Здесь коэффициент при равен д в форме разложения по элементам первой строки, коэффициенты же при Ъ₂,..., Ь_п равны нулю как суммы элементов первой строки на алгебраические дополнения других строк.

Аналогичным образом, с использованием тех же свойств определителя, проверяется, что найденные х_1# х₂,..., х_п удовлетворяют и всем остальным уравнениям.

Ч.т.д.

Следствия из теоремы Крамера

1. Если известно, что система п линейных уравнений с п неизвестными не имеет решений, то определитель матрицы системы равен нулю.
2. Если система п линейных уравнений с п неизвестными имеет более чем одно решение, то определитель матрицы из ее коэффициентов равен нулю.
3. Для того чтобы система п линейных однородных уравнений с п неизвестными имела нетривиальные решения, необходимо, чтобы определитель матрицы из ее коэффициентов был равен нулю.

И так, формулы Крамера имеют вид:

x_t = (1.70)

Д - определитель основной матрицы системы,

Ді - определитель матрицы, полученной из основной путём замены і — того столбца столбцом из свободных членов.

Например, решим СЛУ

? X + у + Z = 1 2х + у — z = 0, , х + 2у = 3

используя метод Крамера.

Решение. Составим основную матрицу системы и матрицу-столбец из свободных членов.

/1 ¹ 1 /1

А= 2 1 -1 ; В = I 0 .

XI 2 0 / 3/

Вычислим определитель системы

det А =

1 -1 0

= 0 + 1 + 4-(1 + 0 +2) = 4*0.

Определитель не равен нулю, следовательно, система невырожденная, решение методом Крамера возможно.

И так, Д=4. Находим Д₁₅ Д₂,Д₃:

-1

II +>? >

-1

СО

W II

= 0.

Следовательно,

Ді -4

^Х “ А “ 4 “ ¹

Д₂ 8

^ = Т = 4 = ²

Система совместно определена.

Ответ: {(-!',2;0)}

Матричный метод решения СЛУ

Пусть задана системам линейных уравнений с п неизвестными ( «цХі + а₁₂х₂ + ••• + а_1пх_п = Ь_гa₂i*i + а₂₂х₂ + - + а_2пх_п = Ь₂

(1.71)

Unl*l + ^ап2^х2 + - + Wn = Ь,

Запишем А - квадратную матрицу системы, X - матрицу-столбец,

состоящую из неизвестных и в - матрицу-столбец из п свободных членов:

/а_1Х а₁₂ ••• Ящх (^Х1

А — I ^а21 ^а22 "? ^а2п | х _ I ^[1]2 | _ I Ь₂ |

«nl ^п2 ^пп' х_п/ Ь_п/

Так как матрица А согласована с матрицей X, то можно найти произведение АХ:

(ЦцХ1 + а₁₂х₂ ?!-----Ь ^ат^хп = Ьі

«21^1 + а₂₂х₂ + - + а_2пх_п = Ь₂

а_піХі + а_п2х₂ + ••• + а_ппх_п = Ь_п)

Элементами полученной матрицы-столбца являются левые части уравнений системы (1.71). Таким образом, на основании определения равенства матриц систему (1.71) можно записать в виде матричного

уравнения

АХ = В (1.72)

Эта запись называется матричной.

Следовательно, задача решения системы линейных уравнений (1.71) сводится к решению матричного уравнения (1.72), то есть к нахождению

матрицыХ.	' х + у + z = 2
Например, решим СЛУ	—х + 2у + z = 1 матричным методом.

,2х + Зу — z = —1

	( 1	1	¹А
Решение. Составим матрицу системы В =	-1 2		1 І.Так как
	к 2	3	-1/

определитель не равен нулю, то данная СЛУ-невырожденная. Решение системы матричным способом возможно.

Mil ^21 -^31

Найдем А^-1. Вначале, построим союзную матрицу: I Л₁₂ Л₂₂ А₃₂

М₁₃ Л₂₃ А₃₃

Al = (-1)¹⁺¹ • |з _¹₁| = -2-3 = -5.

Л₂і = (-1)²⁺¹' І* _¹₁| = -(-1-3) = -4.

Лз1 = (~1)³⁺¹' |г || = 1-2 = -1.

А12 = (~1)¹⁺² • I”¹ _¹₁|=-<¹-²) = ¹-

А₂2 = (-1)²⁺² ' І' _| = -1 - 2 = -3.

Лзг = (-1)³⁺² ' |Д _¹₁|=-<^{1 + 1}) = -2.

^13 = (-1)¹⁺³ • 17 з| = —3 — 4 = -7.

Лзз = (-1)²⁺³ ' І2 з| = -(3-2) = -1.

>1зз = (~1)³⁺³ ' |_ 2І = ^{2 + 1} = ³'

/-5 4 -1

Таким образом, союзная матрица имеет вид: С = І 1 —3 —2 I

-7 -1 3 /

Тогда, обратная,

Система совместна и определена

R5 1 18')

—,-->—) с
11’ 11'117J

[1] = А 1 • В, где L - матрица-столбец из свободных членов.