Глава 8 Линейный оператор
Оператор. Основные понятия и определения
Оператор — это способ отображения одного пространства (в нашем случае линейного или евклидового) на элементы другого пространства.
Если даны два линейного пространства!^ и Wn, то будем говорить, что задано отображение f : Vn -> Wn , если любому вектору х из Vn поставлен в соответствие единственный элемент у пространства Wn.
Запись: у = /(х).
(возможны и другие обозначения: у=Ах, у=Кх, хКу)
Вектор у назовем образом вектора х, а х - прообразом вектора у.
Из определения следует, что каждый вектор х Є Vn имеет единственный образ, но не каждыиу Є V/ может иметь прообраз, а если и имеет, то может быть и не единственный.
Оператор назовем взаимно однозначным, если каждый вектор у имеет прообраз, и притом единственный.
Два оператора / : V -> W и g : V W называются равными, если f(x) = g(x), Vx Є V.
Примеры отображений:
- 1) у =/(х): R’->R’
- 2) z — f(x,y): R2—>Rr
Координатное представление векторов: Xn—>Rn, что означает любому* из множества Хпв базисе ег.....еп становится в соответствие единственный
упорядоченный набор чисел (dt,... dn).
То есть этим оператором от рассмотрения абстрактного линейного пространства Хп переходим к пространству Rn, элементами которого являются упорядоченные наборы чисел.
Может оказаться так, что, располагая значением у, можем найти значение х следующим образом:
х = /-1(у)-
Если такое возможно, то оператор f называется обратимым, а оператор /-1 есть обратный оператор.
Введем понятие нормы оператора.
Оператор называется ограниченным, если выполняются условия 11/(х)Н<С||х||.
То есть норма результата воздействия нах не больше С||х|| (С - const).
Тогда самое маленькое из чисел С есть норма оператора f.
То есть
11/11 = Стіп.
Предметом нашего исследования является линейный оператор, наиболее востребованный во всех предметных учебниках.
Линейный оператор
Оператор называется линейным, если выполнены две аксиомы:
- 1° /(%7 + %7) = /(х7) + /(х2) (аддитивность);
- 2°/(А • %7) = АДхі) (однородность).
Если пространство V совпадает с W, то оператор /: V V назовём оператором (преобразованием) пространства V.
В дальнейшем будем рассматривать только операторы-преобразования пространства.
Рассмотрим примеры операторов-преобразования пространства в себя, и ответим на вопрос об их линейности.
1) Оператор подобия.
К:Х -> X,Yx Є X -» у = kx, где к- коэффициент подобия.
Проверяем выполнимость аксиомы аддитивности и аксиомы однородности. Имеем:
К(х^ + х?) = /с(%7 + х^) = кх[ + кх^К^х^ + К(х2)
К(Лх)= Аг(Лх) = Л.(кх) = ЛК(х)
Таким образом, оператор К- линейный.
2) Преобразование растяжения.
Пусть L-двумерное векторное пространство, то есть множество векторов плоскости. Пусть А(х) = 2х.
Это преобразование действует так: каждый вектор оно переводит в вектор такого же направления, но в два раза больше длины. Если считать, что все векторы имеют начало в начале координат, то преобразование А можно представить, как растяжение плоскости в два раза.
Рисунок 19
Тогда (jq + Хг) = 2 (х + х^) = 2 jq + 2х^ = А(х) + А(х^)~ аксиома аддитивности выполнена.
И, далее, А (ах) = 2 (ах) = а(2х) = аА(х) - аксиома однородности выполнена.
3) Оператор поворота.
Пусть L2 - двумерное векторное пространство и А - поворот вектора по часовой стрелке на угол (р.
Если параллелограмм повернуть как единое целое, то его стороны станут векторами /(ЛЇ)и/(х^), а его диагональ, полученного параллелограмма, соответственно, f(x^) + f(x?).
С другой стороны, диагональ первого параллелограмма есть + х2.
Повернув ее на угол <р, имеем f(xt 4- х2).
Следовательно,
/(К + х|) = (%ї)_+/(%!).
Из рисунка 21, очевидно, что f(ax) = af(x).
О
Рисунок 21
Таким образом, обе аксиомы линейного оператора выполнены, поэтому заключаем, оператор поворота - линейный.
4) Оператор дифференцирования D, действующий в пространстве дифференцируемых функций: D(/(x)) = /'(х).
Проверим оператор D на линейность.
Аксиома аддитивности:
0(/(х) + 0(х)) = (Ах) + 9(х)У = f(x} + 9 м' = ^(/(х)) + ^(^(х))-Аксиома однородности:
D(kf(x» = (kfCx))' = kf'(x) = kDfJ^.
Исходим из свойств производной: производная от алгебраической суммы нескольких функций равна алгебраической сумме производных; постоянный множитель можно выносить за знак производной.
Следовательно, D- линейный оператор.
5) Оператор интегрирования.
Рассмотрим оператор интегрирования, действующий в пространстве непрерывных функций С[а, Ь], определенных на отрезке [а, Ь], заданных следующим образом:
X
AfW) = I f(t)dt
а
/(t)- функция, непрерывная на[а, b],
t Є [а,х],х Є [a, b],a, b Є R.
Поскольку
X
J /(t)dt а
- интеграл с переменным верхним пределом есть функция от верхнего предела F(x), а < х < Ь, следовательно, можно утверждать, что
X
Af(t) = I а
- оператор.
Проверим оператор А на линейность:
Аксиома аддитивности: A(f + д') = Л(/) + А(д).
X XX
ACf + g) = f (f(t) + g(t))dt = J f(t) dt + J g(t) dt = A(/) + A(g)
a a a
Аксиома однородности: A(kf) = kA(f):
X X
AW) = I kf(t) dt = КI /(t) dt = kA(f) a a
Следовательно, оператор A - линейный.
6) Рассмотрим оператор f в линейном пространстве R определенный равенством /(%) = х + х0, где х0 Є R - фиксированный ненулевой вектор. Определим, является ли оператор f линейным.
Решение. Из равенств
f(x) = X + х0, /(у) = у + х0,
f(x + у) = X + у + х0, f(x + у) = f(x) + f(y) заключаем, что
х + у + х0 == (х + х0) + (У + *о)-
Отсюда следует, что х0 = 0, но это противоречит условию.
Следовательно, оператор f не является линейным.
Очевидно следующее утверждение.
Образ любого вектора можно выразить через образы базисных векторов.
Действительно, пусть f- линейный оператор переводящий базис Єі ... еп этого пространства в векторы е1... еп, то есть
/(ві) = e[,f{e2) = е'2 ....f{en) = е;
Рассмотрим вектор х = а-^ + а2 е2 + .... апеп и его образ:
/(%) = /(«їв! + а2е2 + ....anen) = аі/(еі)+а2/(е2) + -?«n/'On) Следовательно,
/СО = аЯе/) + а2(е2') + ....«n(en')
Ч.т.д.
И так, линейный оператор вполне определен, если заданы образы базисных векторов.
