Деление многочленов

Разделить многочлен /(х)на многочлен д(х), степени меньшей степени многочлена/(х), означает указать такую пару многочленов q(x) и г(х), что

/(%) = ^(x)q(x) + г(х), (1.23)

При этом многочлен/(х), как и при делении чисел, называется делимым, многочлен д(х) - делителем, q(x) - частным, а г(х), соответственно, остатком. Причем степень остатка г(х) меньше степени делителя д(х).

Теорема 1.9

Для любых двух многочленов/(х), д(х) Є Р[х], можно найти такие многочлены 6?(х) и г(х) Є Р[х],что

f(x) = g(x)q(x) + r(x), (1.24)

причем степень г(х)меньше степени^(х)или жег(х) = 0.

Многочлены q(x) иг(х), удовлетворяющие условию (1-24), определяются однозначно.

Доказательство. Допустим, существуют еще многочленыд(х) и г(х) также удовлетворяющие равенству (1.24), т.е.

/(х) = ^(x)q(x) + f(x), (1.25)

причем степень г(х) меньше степени д(х). Тогда, приравняв друг другу правые части равенств (1.24) и (1.25), получаем:

д(x)(q(х) - q(x)) = г(х) - г(х).

Степень правой части этого равенства меньше степени д(х), степень же левой части была бы при q(x) — q(x) Ф 0 больше или равна степени _<д(х).Что возможно лишь при условии:

а значит, г(х) = г(х).

Обратно, пусть многочлены /(х) и у(х)имеют соответственно степени п и s.

Если п < s, то можно положить q(x) = 0, г(х) = /(%). Если же п > s, то воспользуемся тем же методом, каким производится деление многочленов с действительными коэффициентами, расположенными по убывающим степеням неизвестного. Пусть

/(%) = а_ох^п + а₁х^п~¹+... +а_п_₁х + а_п, а₀ Ф О, д(х) = b_ox^s + b₁x^s~¹+... +b_s_₁x + b_s, b₀ Ф 0.

Полагая /(x) — — xⁿ~^sg(x) = ^(х), (1-26)

^b0

мы получим многочлен, степень которого меньше п. Обозначим эту степень через п_1? а старший коэффициент многочлена f^(x) - через а₁₀.

Положим, далее, если все еще п_г > s, fi(x) - ~^х^П1~⁵д(х) = f₂(x), (1.26)!

^Do обозначим через n₂ - степень, а через a₂,o ^_ старший коэффициент многочлена f₂(x), положим затем

/2 W - ^"^(х) = /₃(х), (1.26)₂

°0

и так дальше.

Так как степени многочленов fi(x), f₂(x),... убывают, п > п_г > п₂ >..., то мы дойдем после конечного числа шагов до такого многочлена f_k(x), fk-iW - = f.M (1.26K,

°0 степень которого n_k меньше s, после чего наш процесс останавливается.

Складывая теперь равенства (1.26), (1.26)1, (1-26)ы, получаем:

f(x) — + —^х^П1~⁵+...+ ^к, x^nk~¹~^s> д(х) = f_n(x),

о₀ Ь_о '

т.е. получили, что многочлены ^а0 _n__s , ^а1,0 _п,_с , , ^ак-1,0 _п. ,__s

q(x) = —х^п +——х^{П1 s}+...4--;--х^-^{1 s},

ь₀ ь₀ ь₀

г(х) = f_k(x)

удовлетворяют равенству (1.26), причем степень г(х) меньше степени д(х). Ч.т.д.

На практике используется метод деления многочленов, аналогично делению чисел, «уголком».

Например, произведем деление многочлена f(x) = 2 — х³ + 2х⁵на многочлену(х) = 1 + х² — х³.

Поскольку степень делимого не выше степени делителя, деление многочленов возможно.

Вначале, перепишем оба многочлена строго по убывающем степеням переменного, то есть представим каждый из многочленов в каноническом 43

виде. Причем, если очередная степень «отсутствует», то запишем это слагаемое с нулевым коэффициентом. В результате получим следующую запись заданных многочленов:

/(х) = 2х⁵ + Ох⁴ — х³ + Ох² + Ох + 2

д(х) = —х³ + х² + Ох + 1

При делении, подыскивая частное, ориентируемся только на первые слагаемые многочленов, то есть на одночлены со старшими степенями переменных. Найдя соответствующий одночлен частного, умножаем его на д(х), результат записываем под многочленом /(х). Далее, производим вычитание многочлена /(х)и многочлена, записанного под ним. После чего, полученный многочлен аналогично делим на д(х). Процесс заканчивается, когда степень делимого многочлена станет меньше степени многочлена-делителя. Оставшийся многочлен - остаток.

Подробно запишем процесс деления:

• 2х⁵ + Ох⁴ — х³ + Ох² + Ох + 2 -х³ + х² + Ох + 1
• 2х⁵ — 2х⁴ + Ох³ — 2х² —2х² — 2х + 32х⁴ — х³ + 2х² + Ох
• 2х⁴ + 2х³ + Ох² — 2х
• —Зх³ + 2х² + 2х + 2
• —Зх³ + Зх² + Ох + 3
• —Зх² + 2х — 1.

Таким образом,

2х⁵ — х³ + 2 = (—X³ + х² + 1)(—2х² — 2х + 3) + (—Зх² + 2х — 1).

Заметим, что если многочлены /(х) и д(х) с целыми коэффициентами и старший коэффициент многочлена д(х) равен единице, то многочлены q(x) и г(х) будут иметь только целые коэффициенты. При делении столбиком придется умножать многочлен д(х) лишь на целые кратные степеней переменной X.

Отметим также, что при делении на многочлен первой степени остаток является константой.