Обратная матрица

Квадратную матрицу называют невырожденной, или неособенной, если ее определитель отличен от нуля, и вырожденной, или особенной, если ее определитель равен нулю.

Из теоремы 1.23 следует, что произведение нескольких квадратных матриц является невырожденной матрицей тогда и только тогда, когда все сомножители являются невырожденными матрицами. Воспользуемся доказанной теоремой об определителе произведения матриц для более подробного изучения свойств обратной матрицы.

Матрицей, союзной или присоединенной к матрице А, назовем матрицу

где Aij - алгебраическое дополнение элемента данной матрицы А.

Теорема 1.27

Если А - квадратная матрица порядка п, а С - союзная к ней матрица, то АС = С А = Е det А, где Е единичная матрица порядка п.

Доказательство. Обозначим через D произведение АС, т.е.

элемент djj матрицы произведения равен сумме произведений элементов і -ой строки первой матрицы на соответствующие элементы у-го столбца второй матрицы. Распишем, например, первую строчка произведения:

d-n = а.ц ? А_±1 + а₁₂ ? Л₁₂ + — + а_1п ? А_1п

^d12 = ^а11 ' ^А21 + ^а12 ’ ^А22 + "• + «1п ? ^А2п

d_ln = а_г1 • А_п1 + а₁₂ • А_п2 + ••• + а_1п • А_пп

То есть элемент, стоящий на главной диагонали есть сумма произведений соответствующих элементов первой строки матрицы А на их алгебраические дополнения. Такая сумма, в соответствии с доказанным нами 9 свойством определителя, равна значению определителю.

То есть = detA.

Остальные же элементы d₁₂>—,d_ln есть сумма произведений элементов одной строки на алгебраические дополнения элементов другой строки, что в результате дает ноль (свойство 10).

Аналогично рассуждая, получаем что все элементы матрицы -произведения, стоящие на главной диагонали будут равны detA ,тогда как все остальные элементы, равны нулю.

Следовательно,

Таким же образом, можно доказать, что СА = Е detA.

Следовательно, АС=СА= Е detA.

Ч.т.д.

Теорема 1.28

Для того чтобы существовала матрица в, обратная матрице А, необходимо и достаточно, чтобы матрица А была невырожденной.

Доказательство. Необходимость. Пусть для матрицы А существует обратная матрица в. Тогда АВ = Е и, следовательно, det(AB) = det Е.

Но определитель произведения квадратных матриц равен произведению определителей этих матриц. Следовательно,

det A det В = detE.

Так как det Е = 1, то detA Ф 0, и, следовательно, матрица А невырожденная.

Достаточность. Пусть А невырожденная матрица, С - матрица, союзная к Л Исходя из утверждения предыдущей теоремы, имеем

detA detA

Получилось, что произведение матриц как в одном, так и в другом порядке есть единичная матрицы. Что, следуя определению обратной матрицы А • Л^-1 = Л^-1 ? Л = Е, доказывает, что матрица В = очевидно, является обратной матрице Л.

Ч.т.д.