Глава 5 Системы линейных уравнений
Уравнения, все переменные в котором только в первой степени называются линейными. Соответственно, систему уравнений, каждое из которых линейное, назовем системой линейных уравнений (коротко СЛУ).
Решить систему пг-уравнений с n-ой переменной означает найти такую (такие) упорядоченную пару n-чисел, при подстановке которых в заданную систему, каждое уравнение окажется верным тождеством.
' ад + а12х2 + - + Я1А = К а2іХі + а22х2 + - + а2пхп = Ь2
<ат1х1 + ат2х2 + ••• + атпхп = Ьт
Первый индекс у коэффициента означает номер уравнения, второй -номер неизвестного, при котором стоит этот коэффициент. Коэффициенты Ьх,Ь2,...,Ьт называются свободными членами уравнений системы. Если свободные члены равны нулю, система называется однородной, в противном случае - неоднородной. Однородная система всегда совместна, так как имеет по крайней мере нулевое решение Xj =х2 = •••=*,, = 0.
Выражения (формулы), содержащие неизвестные х{,х2,...,хп и некоторый набор произвольных постоянных, из которых при соответствующем выборе значений произвольных постоянных можно получить любое конкретное решение системы, называют общим решением системы, а любое конкретное решение системы - ее частным решением.
Две системы с одними и теми же неизвестными эквивалентны (равносильны), если каждое решение одной из них является решением другой или обе системы несовместны.
Матрицей СЛУ называется матрица, состоящая из коэффициентов при переменных. Если матрица содержит и столбец из свободных членов, она называется расширенной.
Например, для системы
ґ х + у + z = 1
2х + у — z = О
. х 4- 2у = 3
/11 1
А=( 2 1 — 1 1 - матрица системы;
1 2 0 /
/111
А= 21-1
- 1 2 О
- 1
О I - расширенная матрица системы.
3/
Если СЛУ имеет решение, она называется совместной', не имеет -несовместной.
Если совместная матрица имеет единственное решение, она определена', бесконечное множество решений - неопределена (противоречива).
Элементарные преобразования системы'.
- 1) умножение обеих частей какого-либо уравнения на число, отличное от нуля;
- 2) почленное сложение одного уравнения с другим, умноженным на некоторое число;
- 3) перестановка уравнений;
- 4) вычеркивание уравнений вида O-Xj+0х2+...+ 0хи =0, т.е. тождеств 0=0.
