Размерность и базис линейного пространства

Если в линейном пространстве V имеется п линейно независимых векторов, но любые п + 1 векторов этого пространства линейно зависимы, то пространство V называют //-мерным. Размерность линейного пространства V обозначается dimV (ох французского слова dimension - размерность). Если пространство состоит из одного нулевого элемента, его размерность считают равной нулю. Пространство, в котором можно найти сколь угодно много линейно независимых векторов, называется бесконечномерным. То есть, если V - бесконечномерное пространство, то d(v) = оо.

Введенное понятие размерности согласуется с наглядным представлением о ней; так, пространство V₃ всех свободных векторов является трехмерным (dimV = 3)), пространство V₂ - двумерным, пространство V₁ - одномерным.

Базисом //-мерного линейного пространства V_n называется любая упорядоченная система п линейно независимых векторов этого пространства.

Приведем примеры базисов некоторых линейных пространств.

• 1) Базис пространства V₃ образует любая тройка некомпланарных векторов, так как эти векторы линейно независимы.
• 2) Базис пространства V₂ образуют два любых неколлинеарных вектора, поскольку они линейно независимы и любой вектор плоскости, определяемый этими двумя векторами, можно разложить по ним.
• 3) Базисом линейного пространства является любой ненулевой вектор, коллинеарный данной прямой.
• 4) Многочлены р₀(х) = 1» Pi(*) — ^х> Рг(^х) = х² образуют базис в пространстве Р₂. Действительно, эти многочлены линейно независимы, и любой многочлен р(х) = а + Ьх + сх² из Р₂ можно представить в виде линейной комбинации многочленов p_Q(x}, рДх), р₂{х).

Каждый вектор линейного «-мерного пространства может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации векторов базиса.

Те есть, если е₂,..., е_п - базис «-мерного линейного пространства V, то любой вектор х Є V может быть единственным образом представлен в виде

х = х₁е₁+х₂е₂ +... + х_пе_п. (1.82)

Таким образом, вектор х в базисе e_lte₂,...,e_n определяется единственным образом с помощью чисел x_ltx₂,... ,х_п.

Эти числа называют координатами вектора в данном базисе.

Если введен базис, то действия над элементами линейного пространства (сложение элементов и умножение элементов на число) сводятся к таким же действиям над числами - координатами элементов.

Например, пусть в некотором базисе даны векторы х(1, —2,3, —1,0),у(2,1, —3, —1,4). Найдем координаты вектора 4х — Зу.

Поскольку 4х = (4, —8,12, —4,0) и —Зу(—6, —3,9,3, —12), то вектор 4х — Зу = 4х + (—Зу) имеет координаты (—2, —11,21, —1, —12).

Очевидно следующее утверждение:

Если dimR = п > 1, то в пространстве/? существует базис из « элементов. В качестве базиса можно взять любые « линейно независимых элементов.

Теорема 1.39

Пусть линейное пространство V_n обладает базисом е₁,е₂,... ,е_п. Тогда любой вектор х из 14г единственным образом представляется в виде

х = ^xi^ei + ^х2^2 + ... + х_пе_п- (1.83)

Доказательство. В силу определения базиса линейного пространства V любой вектор х EV имеет хотя бы одно представление вида (1.83). Предположим, что наряду с разложением (1.83) есть и другое разложение

х = х'іЄі 4- х'₂е₂ 4- ... 4- х'_пе_п вектора х. Тогда будет выполняться равенство

X = Х-^е-у + Х₂е₂ + ... + Х_пе_п = х'^ 4- х'₂е₂ 4- ... + х'_пе_п, которое приводит к равенству

(Х1 - x't^t + (х₂ - х'₂)е₂ + ... + (х_п - х'п)е_п = 0.

Последнее равенство в силу линейной независимости системы векторов е₁, е₂,..., е_п возможно лишь в том случае, когда

(Xi - х) = 0, (х₂ - х'₂) = 0,..., (х_п - х'_п) = 0, т.е. при х_г = x'_lfx₂ = х'₂, ...,х_п = х'_п - разложение вектора по базису единственно.

Ч.т.д.

Линейное выражение (1.83) вектора х через векторы базиса, единственное в силу сформулированной теоремы, называют разложением вектора х по базисуe_lt е₂,..., е_п.

Это разложение удобно записывать в матричной форме

• (ХА
• 2 I = е • [х],(1.84)
• *п/

где е = (e_lt е₂,..., Єп) - заданный базис, записанный в виде матрицы-строки, а [х] - столбец коэффициентов разложения вектора х по базису, называемых координатами вектора х в базисе е.

Например, определим координаты вектора Р = —4х² + х — 3 в базисной системе

Р_г = х + 2;

Р₂ = 3;

Р₃ = х² - 2х + 1

То, что Р±,Р2>Рз ~ базис - очевидно, так как векторы - линейнонезависимы.

Пусть Р = аР_г + ЬР₂ + сР₃, то есть Р(р₁₍р₂,р₃) = {я, Ь, с).

—4х² + х — 3 = а(х + 2) + ЗЬ + с(х² — 2х + 1)

Поскольку два многочлена равны между собой тогда и только тогда, когда равные коэффициенты при одинаковых степенях переменных, сравним коэффициенты при х²,хиприх°:

х² -4 = с

х 1 = а — 2с

х° -3 = 2а + ЗЬ + с

Решим, полученную систему трех уравнений с тремя переменными. Первое уравнение дает с = —4.

Из второго уравнения 1 = а — 2с, получаем, 1 = а + 8, а = — 7.

Далее, третье уравнение — 3 = 2а + ЗЬ + с, —3 = 2(—7) + ЗЬ — 4.

-3 = —14 + ЗЬ - 4, ЗЬ = 15. Ь = 5.

Таким образом, имеем Р = —7Р_г -I- 5Р₂ ^— 4Р₃.

Или, Р(p_lfp_2>p₃) — {—7,5, —4}.

Проверка: — 4х — 3 = — 7(х + 2) + 6 • 3 — 4(х² — 2х 4-1)

• —4х² + х - 3 = -7х - 14 4-15 - 4х² 4- 8х - 4
• —4х² 4- х - 3 = —4х² + х - 3

Ответ: Р(_Р1,р₂,р₃) = {-7,5, -4}.

Векторы линейного пространства V полностью определяются своими координатами в данном базисе. При этом операции над векторами сводятся к аналогичным операциям над их координатами.

Так, для векторов

X = X^t 4- х₂е₂ + ... + Х_пе_п

у = у₁е₁+у₂е₂ + ... + у_пе_п

условие их равенства, х = у, равносильно условиям:

*1 = У1>х₂ = у₂>... >х_п = у_п.

А равенства:

х + у = (х = х^ + х₂е₂ + ... + х_пе_п) 4- (у = УіЄі + у₂е₂ + ... + у_пе_п) =

= (*1 О1>1 + (х₂+У2 >2 + ...+(х_п+у_п)е_п (1.85)

Лх = Л(х = Xt4- х₂е₂ 4-... + х_пе_п) = (Лх₁)е₁ 4- (Лх₂)е₂ 4-... 4- (Лх_п)е_п

показывают, что при сложении векторов их соответствующие координаты складываются, при умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число.