Закон больших чисел

Инструментом выявления устойчивых свойств, повторяющихся явлений, закономерностей, тенденций и еще множества других очень полезных и нужных для социологии как строгой науки вещей служит закон больших чисел.

Закон больших чисел. Если случайные величины п , п₂,...,п_п, ... попарно независимы, то для любого п > 0:

П^т4-?^„=°;

п /“

limpf ^ ⁺ ^+- + ^

.1^0= _П

м^+м%₂+...+м%_п

На самом деле, под названием «закон больших чисел» объединена группа теорем, устанавливающих устойчивость средних результатов большого количества случайных явлений (теоремы Бернулли, Пуассона, Муавра — Лапласа, Ляпунова, Линдеберга, центральная предельная теорема, неравенства Чебышева и Колмогорова, леммы Теплица и Кронекера и др.)^[1].

Простейшей и исторически первой формулировкой закона больших чисел является теорема Бернулли, утверждающая, что если вероятность события одинакова во всех испытаниях, то с увеличением числа испытаний частота события стремится к вероятности события и перестает быть случайной.

Теорема Бернулли. Пусть ц_п — число успехов в п испытаниях Бернулли и р — вероятность успеха в отдельном испытании. Тогда при любом п > 0 справедливо:

limP

-Р

Теорема Пуассона утверждает, что частота события в серии независимых испытаний стремится к среднему арифметическому его вероятностей и перестает быть случайной.

Предельные теоремы теории вероятностей, теоремы Муавра — Лапласа объясняют природу устойчивости частоты появлений события. Природа эта состоит в том, что предельным распределением числа появлений события при неограниченном возрастании числа испытаний (если вероятность события во всех испытаниях одинакова) является нормальное распределение.

Центральная предельная теорема объясняет широкое распространение нормального закона распределения. Теорема утверждает, что всегда, когда случайная величина образуется в результате сложения большого числа независимых случайных величин с конечными дисперсиями, закон распределения этой случайной величины оказывается практически нормальным законом.

Теорема Ляпунова объясняет широкое распространение нормального закона распределения и поясняет механизм его образования. Теорема позволяет утверждать, что всегда, когда случайная величина образуется в результате сложения большого числа независимых случайных величин, дисперсии которых малы по сравнению с дисперсией суммы, закон распределения этой случайной величины оказывается практически нормальным законом.

Неравенство Чебышева определяет верхнюю границу вероятности того, что отклонение значения случайной величины от ее математического ожидания больше некоторого заданного числа.

Содержание закона больших чисел сводится к следующему: в массе индивидуальных явлений общая закономерность проявляется тем полнее и точнее, чем больше их охвачено наблюдением. Закон выражает общий принцип, в силу которого в большом числе явлений при некоторых общих условиях почти устраняется влияние случайных факторов. Он устанавливает одну из важнейших закономерностей, изучаемых теорией вероятностей.

Закон больших чисел получил свое математическое доказательство в теории вероятностей, а также подтверждение в многочисленных экспериментальных проверках. Французский естествоиспытатель А. Бюффон поставил следующий опыт: подбросил монету 4040 раз, при этом орел выпал 2048 раз, а решка — 1992 раза. Отсюда частота выпадения орла составила 2048 / 4040 = 0,507 и отклонилась от вероятности его выпадения в каждом отдельном случае, равной 1/2, лишь на 0,007 (0,507 - 0,500). В этом эксперименте полностью проявилось влияние постоянных причин, а случайные факторы отклонили результаты только на весьма незначительную величину.

Для социологии, особенно количественной, активно практикующей статистические методы, важно именно это: случайные отклонения и ошибки в измерении величин взаимно погашаются в массе явлений. Чем больше респондентов вы опросили, тем ярче проявляет себя этот удивительный закон. Правда, он стимулирует социолога гнаться за все большим числом опрашиваемых, подстраховываясь

401 | от действия случайных факторов. Погоня за числом, большими массами — чуть ли не главный аргумент противников позитивизма и количественной методологии.

Но ведь это действительно объективный факт: чтобы обнаружить статистическую закономерность, надо изучать большие совокупности. И с этим ничего не поделаешь. Сторонники качественной методологии, подобно экологам, озабоченным сохранением уникальной природы планеты, хочется уберечь от массовизации главное — человеческую индивидуальность. В искусстве статистического вывода отдельный случай, равно как и человеческая индивидуальность, рассматривается в статусе случайной величины, т.е. погрешности измерения, от которой надобно избавляться.

Величина отдельного элемента в статистической философии выступает результатом действия какой-то общей закономерности, и в то же время и сама определена действием множества факторов, не зависящих от этой общей закономерности. Поэтому в основе статистического исследования всегда лежит массовое наблюдение фактов.

Однако что не устраивает представителей качественной социологии, весьма по сердцу сторонникам социальной статистики и количественной социологии. Закон, гласящий, что совокупное действие большого числа случайных факторов приводит при некоторых весьма общих условиях к результату, почти не зависящему от случая, очень выгоден им. Он предполагает, что совокупное действие большого числа случайных факторов (причин, условий) приводит к результату, почти не зависящему от случая. А случай — чуть ли не главный враг научного измерения.

Принято считать, что социология — единственная наука, которая точно знает о том, что думает и чего хочет среднестатистический человек. Действительно, при помощи количественных распределений ответов на анкету социология показывает среднетипичное мнение большой группы людей. Как наука она отражает объективную реальность своеобразным, присущим только ей способом. Социология имеет дело с поведением достаточно больших масс людей. Поэтому задача социолога — обнаружить индивидуальные различия людей, носящие систематический характер, обобщить их в закономерности, освободившись от всего случайного, не главного. Тем самым он описывает устойчивые свойства социального явления или процесса.

Закон, что очень важно, служит инструментом выявления устойчивых свойств в социальных явлениях и процессах. Он применяется социологами во всех статистических расчетах, без него немыслима эмпирическая социология. Закон незаменим при анализе процентного распределения ответов респондентов (опрашиваемых). Если социолог выбирает достаточно большое число наблюдений, т.е. спрашивает множество людей, и каждое наблюдение не зависит друг от друга или все они от какой-то общей причины (иными словами, когда респонденты при заполнении анкеты не влияют друг на друга), то он выявляет устойчивые связи, массовый процесс. На законе больших чисел строится процедура выборочного обследования в социологии (его принцип: о многих судить на основании знания о немногих).

Занимательные факты. Маленьких вещей на земле гораздо больше, чем больших. Никто не знает, почему это так, но практичные американцы сумели извлечь из этого необъяснимого факта свою выгоду — они научились, опираясь на эту закономерность, раскрывать финансовые преступления: ведь на деньги и товары закон преобладания малого тоже распространяется...

В свое время академик В.С. Немчинов объявил закон больших чисел основой статистики. Он полагал, что он имеет для статистической науки такое же значение, как и закон всемирного тяготения в небесной механике. По определению Немчинова, закон больших чисел — «это общий принцип, в силу которого совокупное действие большого числа индивидуальных причин и условий, содержащих в себе элементы случайного характера, при некоторых весьма общих условиях приводит к результату, почти не зависящему от случая»¹.

Закон больших чисел имеет гносеологическое и онтологическое применение. В первом случае он используется как инструмент статистического описания эмпирических знаний, позволяющий социологу их правильно интерпретировать. Это обычная область приложения закона.

Гораздо реже его пытаются применить к обществу и социальным явлениям, непосредственно объясняя на его основе структуру и динамику человеческих общностей. В этом случае аппарат математической статистики не используется, а закон больших чисел применяют к объяснению самих явлений, происходящих в обществе, практически так же, как используют дарвиновский закон борьбы за существование. Специалисты, поступающие так, утверждают, что

Немчинов В.С. Статистика как наука // Вопросы экономики. 1952. № 10. С. 105.

в социальном мире, как в джунглях, где царствует закон борьбы за существование, выживает только сильнейшие. Точно так же, он-тологизируя закон больших чисел, они заявляют, что только в современных обществах, насчитывающих сотни тысяч и миллионы людей, господствует вероятностная статистика, которая и управляет миром. В древних, весьма малочисленных обществах его действие не всегда проявлялось либо оказывалось незаметным. Крупные индустриальные и постиндустриальные державы, равно как и древние империи, представляют собой материализацию статистических закономерностей, и для них верен закон больших чисел.

Карнеги Д. Закон, который поставит вне закона значительную часть вашего беспокойства

Самая знаменитая страховая компания в мире «Ллойд» в Лондоне нажила бесчисленные миллионы на склонности людей беспокоиться о том, что случается очень редко. Лондонская компания «Ллойд» держит пари с людьми, которые к ней обращаются, что несчастья, о которых они беспокоятся, никогда не произойдут. Однако фирма не называет это держать пари. Она называет это страхованием. Но на самом деле она действительно держит пари исходя из закона больших чисел.

Эта огромная страховая компания процветает уже двести лет. И если не изменится человеческая натура, компания будет существовать и процветать еще пятьдесят веков, занимаясь страхованием обуви и кораблей от несчастных случаев, которые по закону больших чисел происходят совсем не так часто, как мы воображаем.

Если мы ознакомимся с законом больших чисел, то часто будем поражены фактами, которые обнаружим. Например, если бы я знал, что в течение следующих пяти лет мне придется сражаться в такой же кровавой битве, как битва при Геттисберге, я пришел бы в ужас. Я бы написал завещание и привел бы все свои земные дела в порядок. Я бы подумал: «По всей вероятности, я не переживу эту битву, и поэтому мне следует прожить оставшиеся несколько лет наилучшим образом».

Однако факты говорят, в соответствии с законом больших чисел, что попытаться прожить от возраста пятидесяти лет до пятидесяти пяти в мирное время столь же опасно и столь же чревато роковым исходом, как и сражаться в битве при Геттисберге. Я имею в виду следующее: в мирное время на каждые тысячу человек в возрасте от пятидесяти до пятидесяти пяти лет умирает столько же, сколько было убито на тысячу среди 163 000 солдат, сражавшихся при Геттисберге.

«По закону больших чисел этого не случится» — эта фраза устранила девяносто процентов моего беспокойства и дала мне возможность прожить последние двадцать лет спокойно и счастливо сверх моих самых радужных ожиданий.

Когда я оглядываюсь на прошедшие десятилетия, я понимаю, что большая часть моего беспокойства создавалась воображением. Джим Грант рассказал мне, что он тоже пережил это. Он является владельцем фирмы «Джеймс А. Грант» в Нью-Йорке. Его фирма занимается оптовой продажей апельсинов и грейпфрутов из Флориды. Джим Грант организует отправку из Флориды сразу от десяти до пятнадцати вагонов с фруктами. Он сказал мне, что раньше обычно терзал себя такими мыслями: «А вдруг произойдет крушение поезда? А что, если все мои фрукты разбросаны? А что, если рухнет мост, когда мои вагоны будут переезжать через него?».

Конечно, фрукты были застрахованы. Но он беспокоился, что если они не будут вовремя доставлены, то он потеряет свой рынок сбыта. Он так беспокоился, что стал подозревать у себя язву желудка и обратился к врачу. Врач не нашел у него никаких болезней, за исключением расшатанных нервов. «Вдруг меня осенило, — рассказывал он, — и я стал задавать себе вопросы. Я сказал себе: «Послушай, Джим Грант, сколько вагонов с фруктами ты доставил за все эти годы?». Ответ был: «Около двадцати пяти тысяч».

Затем я задал себе вопрос: «Сколько вагонов пострадало от крушений?». Ответ был: «Возможно, пять». Тогда я сказал сам себе: «Только пять из двадцати пяти тысяч? Ты знаешь, что это значит? Отношение: пять тысяч к одному! Другими словами, по закону больших чисел, основанному на опыте, шансы, что один из твоих вагонов пострадает, составляют пять тысяч к одному. Так о чем же тебе беспокоиться?».

Затем я сказал себе: «Но ведь мост может рухнуть!». Тогда я спросил себя: «В самом деле, сколько вагонов ты потерял из-за того, что рухнул мост?». Ответ был: «Ни одного». Тогда я сказал себе: «Неужели тебе не стыдно доводить себя до язвы желудка беспокойством из-за моста, который никогда не обрушивался. А что касается железнодорожной катастрофы, то шансы составляют пять тысяч против одного!».

Посмотрев на все это подобным образом, я понял, как глупо я себя вел. В тот же момент я решил прекратить беспокоиться и всегда применять закон больших чисел. С тех пор я забыл про свою язву желудка».

Когда Эл Смит был губернатором штата Нью-Йорк, я слышал, как он отражал нападки своих политических противников, повторяя снова и снова: «Давайте изучим факты... давайте изучим факты». Затем он начинал приводить факты. В следующий раз, если вы или я будем беспокоиться о том, что может случиться, послушаемся мудрого старого Эла Смита: давайте изучим факты и решим, есть ли повод, если он вообще есть, для нашего мучительного беспокойства. Именно так поступал Фредерик Дж. Мал-стедт, когда испугался, что уже лежит в могиле. Вот что он рассказал мне в период занятий на моих курсах для обучения взрослых в Нью-Йорке:

«В начале июня 1944 года я находился в одиночном окопе вблизи Омаха-Бич. Я служил в 999 роте связи, и мы только что «окопались» в Нормандии. Когда я посмотрел на этот одиночный окоп (он выглядел как яма прямоугольной формы в земле), я сказал себе: «Похоже на могилу». Когда я лег в него и попытался заснуть, мне показалось, что я действительно в могиле. Я невольно подумал: «Наверное, это и в самом деле моя могила».

В 11 часов утра начались налеты немецких бомбардировщиков, и на нас посыпались бомбы. Я одеревенел от страха. В первые две или три ночи я совсем не мог спать. К четвертой или пятой ночи я был почти в состоянии нервного шока. Я понял, что необходимо что-то сделать, иначе я сойду с ума. Тогда я напомнил себе, что прошло пять ночей, а я все еще жив, и все были живы в нашем подразделении. Только двое были ранены, да и то не немецкими бомбами, а осколками снарядов наших собственных зенитных орудий. Я решил прекратить беспокоиться и заняться чем-либо конструктивным.

Я сделал толстое деревянное покрытие над своим окопом, которое защищало меня от осколков зенитных снарядов. Я подумал о том, что наше подразделение занимает очень большой участок. Я сказал себе, что в этом глубоком, узком одиночном окопе можно погибнуть лишь от прямого попадания; и я прикинул, что шанс прямого попадания бомбы составлял даже меньше, чем один к десяти тысячам. Размышляя таким образом две ночи, я успокоился и спал даже во время бомбежек!».

Командование военно-морских сил США использовало статистические данные закона больших чисел для подъема духа моряков. Один бывший моряк рассказал мне, что, когда он и его товарищи были направлены на танкер, перевозивший высокооктановое горючее, они были очень испуганы. Они все были уверены, что если торпеда попадет в танкер с высокооктановым бензином, то он взорвется, и все тут же попадут на тот свет.

Но командование военно-морскими силами США располагало другими данными; были приведены точные цифры, согласно которым из каждых ста танкеров, в которые попадали торпеды, шестьдесят оставались на плаву; из сорока затонувших танкеров только пять погрузились под воду меньше чем за десять минут. Это означало, что у экипажа было время покинуть корабль, а также то, что потери были чрезвычайно незначительными. Помогло ли это укреплению боевого духа? «Знание закона больших чисел избавило меня от нервного потрясения, — сказал Клайд

У. Маас, человек, который рассказал мне эту историю. — Вся команда почувствовала себя лучше.

Мы знали, что у нас есть шанс и что по закону больших чисел мы, вероятно, не будем убиты».

Чтобы одолеть привычку беспокоиться, прежде чем она одолеет вас, выполняйте правило третье.

Изучите факты. Спросите себя: «Каковы шансы по закону больших чисел, что событие, из-за которого я беспокоюсь, когда-либо произойдет?».

Источник. Карнет Д. Как завоевать друзей и оказывать влияние на людей : пер. с англ. М., 1989. С. 566-572.

Те, кто онтологизирует закон больших чисел, утверждают, что чем меньше будет человеческая популяция, тем хуже будет выполняться в ней закон больших чисел и менее предсказуемым станет поведение ее членов. И наоборот. Поступки отдельных людей могут варьироваться, но популяция в целом будет вести себя вполне предсказуемо. На языке математической теории вероятностей это означает, что статистическое различие между маленькой человеческой популяцией и крупной (10 000 человек и больше) состоит в том, что поведение маленькой популяции не предсказуемо точно, а поведение крупной фактически подчиняется динамическим закономерностям и может быть предсказано практически однозначно^[2].

Таким образом, в гносеологическом смысле закон больших чисел применяют к поведению цифр, а в онтологическом — к поведению людей. Сторонники его онтологизации заявляют: в социумах, достигших численности населения выше критической величины (обычно порог устанавливается выше 10 тыс. человек), начинает действовать статистический закон больших чисел. В таком понимании этот закон приложим не только к обществам, но и к социальным группам внутри них. Так, моряков сотни тысяч, а космонавтов десятки. Следовательно, к первым закон применим, а ко вторым нет.

Онтологическую интерпретацию закона больших чисел можно назвать еще реификацией, т.е. овеществлением идеальных сущностей. На основе такого подхода некоторые авторы утверждают, что роль личности в истории пренебрежимо мала.

Автор: Кравченко А.И.

• [1] Закон больших чисел. URL : http://www.exponenta.ru/educat/class/courses/tv/ themeO/lO.asp
• [2] Клягин Н.В. Происхождение цивилизации (социально-философский аспект). М„ 1996