Глава 5. ФАКТОРНЫЙ АНАЛИЗ

• 5.1. Порядок выполнения факторного анализа
• 5.2. Пример применения факторного анализа в области социологии
• 5.3. Значения факторов

Факторный анализ - это процедура, с помощью которой большое число переменных, относящихся к имеющимся наблюдениям, сводят к меньшему количеству независимых влияющих величин, называемых факторами. При этом в один фактор объединяются переменные, сильно коррелирующие между собой. Переменные из разных факторов слабо коррелируют между собой. Таким образом, целью факторного анализа является нахождение таких комплексных факторов, которые как можно более полно объясняют наблюдаемые связи между переменными, имеющимися в наличии.

Факторный анализ может быть 1) разведочным. Он осуществляется при исследовании скрытой факторной структуры без предположения о числе факторов и их нагрузках; 2) конфирма-торным, предназначенным для проверки гипотез о числе факторов и их нагрузках. Практическое выполнение факторного анализа начинается с проверки его условий. В обязательные условия факторного анализа входят [6]:

• - все признаки должны быть количественными.
• - число признаков должно быть в два раза больше числа переменных.
• - выборка должна быть однородна.
• - исходные переменные должны быть распределены симметрично.
• - факторный анализ осуществляется по коррелирующим переменным.

5.1. Порядок выполнения факторного анализа

На первом шаге процедуры факторного анализа происходит стандартизация заданных значений переменных (г-преобразо-вание); затем при помощи стандартизированных значений рассчитывают корреляционные коэффициенты Пирсона между рассматриваемыми переменными.

Исходным элементом для дальнейших расчетов является корреляционная матрица. Для понимания отдельных шагов этих расчетов потребуются хорошие знания, прежде всего, в области операций над матрицами; интересующимся подробностями советуем обратиться к специальной литературе. Для построенной корреляционной матрицы определяются, так называемые, собственные значения и соответствующие им собственные векторы, для определения которых используются оценочные значения диагональных элементов матрицы (так называемые относительные дисперсии простых факторов).

Собственные значения сортируются в порядке убывания, для чего обычно отбирается столько факторов, сколько имеется собственных значений, превосходящих по величине единицу. Собственные векторы, соответствующие этим собственным значениям, образуют факторы; элементы собственных векторов получили название факторной нагрузки. Их можно понимать как коэффициенты корреляции между соответствующими переменными и факторами. Для решения такой задачи определения факторов были разработаны многочисленные методы, наиболее часто употребляемым из которых является метод определения главных факторов (компонент).

Описанные выше шаги расчета еще не дают однозначного решения задачи определения факторов. Основываясь на геометрическом представлении рассматриваемой задачи, поиск однозначного решения называют задачей вращения факторов. Сущностью факторного анализа является процедура вращения факторов, т.е. перераспределения дисперсии по определенному ме тоду. Вращение бывает ортогональным и косоугольным. При первом виде вращения каждый последующий фактор определяется так, чтобы максимизировать изменчивость, оставшуюся от предыдущих, поэтому факторы оказываются независимыми, некоррелированными друг от друга (к этому типу относится МГК). Второй вид - это преобразование, при котором факторы коррелируют друг с другом. Преимущество косоугольного вращения состоит в следующем: когда в результате его выполнения получаются ортогональные факторы, можно быть уверенным, что эта ортогональность действительно им свойственна, а не привнесена искусственно. Однако если цель ортогональных вращений - определение простой структуры факторных нагрузок, то целью большинства косоугольных вращений является определение простой структуры вторичных факторов, т.е. косоугольное вращение следует использовать в частных случаях. Поэтому ортогональное вращение предпочтительнее. Существует около 13 методов вращения в обоих видах, в статистической программе SPSS 10 доступны пять: три ортогональных, один косоугольный и один комбинированный, однако из всех наиболее употребителен ортогональный метод «варимакс». Метод «варимакс» максимизирует разброс квадратов нагрузок для каждого фактора, что приводит к увеличению больших и уменьшению малых значений факторных нагрузок. В результате простая структура получается для каждого фактора в отдельности. Факторные нагрузки повернутой матрицы могут рассматриваться как результат выполнения процедуры факторного анализа. Кроме того на основании значений этих нагрузок необходимо попытаться дать толкование отдельным факторам.

Если факторы найдены и истолкованы, то на последнем шаге факторного анализа, отдельным наблюдениям можно присвоить значения этих факторов, так называемые факторные значения. Таким образом для каждого наблюдения значения большого количества переменных можно перевести в значения небольшого количества факторов.

Главной проблемой факторного анализа является выделение и интерпретация главных факторов. При отборе компонент исследователь обычно сталкивается с существенными трудностями, так как не существует однозначного критерия выделения факторов, и потому здесь неизбежен субъективизм интерпретаций результатов. Существует несколько часто употребляемых критериев определения числа факторов. Некоторые из них являются альтернативными по отношению к другим, а часть этих критериев можно использовать вместе, чтобы один дополнял другой.

Критерий Кайзера или критерий собственных чисел. Этот критерий предложен Кайзером, и является, вероятно, наиболее широко используемым. Отбираются только факторы с собственными значениями, равными или большими 1. Это означает, что если фактор не выделяет дисперсию, эквивалентную, по крайней мере, дисперсии одной переменной, то он опускается.

Критерий каменистой осыпи или критерий отсеивания. Он является графическим методом, впервые предложенным психологом Кэттелом. Собственные значения возможно изобразить в виде простого графика. Кэттел предложил найти такое место на графике, где убывание собственных значений слева направо максимально замедляется. Предполагается, что справа от этой точки находится только «факториальная осыпь» -«осыпь» является геологическим термином, обозначающим обломки горных пород, скапливающиеся в нижней части скалистого склона. Однако этот критерий отличается высокой субъективностью и, в отличие от предыдущего критерия, статистически необоснован. Недостатки обоих критериев заключаются в том, что первый иногда сохраняет слишком много факторов, в то время как второй, напротив, может сохранить слишком мало факторов; однако оба критерия вполне хороши при нормальных условиях, когда имеется относительно небольшое число факторов и много переменных. На практике возникает важный во прос: когда полученное решение может быть содержательно интерпретировано? В этой связи предлагается использовать еще несколько критериев.

Критерий значимости. Он особенно эффективен, когда модель генеральной совокупности известна и отсутствуют второстепенные факторы. Но критерий непригоден для поиска изменений в модели и реализуем только в факторном анализе по методу наименьших квадратов или максимального правдоподобия.

Критерий доли воспроизводимой дисперсии. Факторы ранжируются по доле детерминируемой дисперсии, когда процент дисперсии оказывается несущественным, выделение следует остановить. Желательно, чтобы выделенные факторы объясняли более 80 % разброса. Недостатки критерия: во-первых, субъективность выделения, во-вторых, специфика данных может быть такова, что все главные факторы не смогут совокупно объяснить желательного процента разброса. Поэтому главные факторы должны вместе объяснять не меньше 50,1 % дисперсии.

Критерий интерпретируемости и инвариантности. Данный критерий сочетает статистическую точность с субъективными интересами. Согласно ему, главные факторы можно выделять до тех пор, пока будет возможна их ясная интерпретация. Она, в свою очередь, зависит от величины факторных нагрузок, т.е. если в факторе есть хотя бы одна сильная нагрузка, он может быть интерпретирован. Возможен и обратный вариант -если сильные нагрузки имеются, однако интерпретация затруднительна, от этой компоненты предпочтительно отказаться.

Практика показывает, что если вращение не произвело существенных изменений в структуре факторного пространства, это свидетельствует о его устойчивости и стабильности данных. Возможны еще два варианта: 1) сильное перераспределение дисперсии - результат выявления латентного фактора; 2) очень незначительное изменение (десятые, сотые или тысячные доли нагрузки) или его отсутствие вообще, при этом сильные корреляции может иметь только один фактор, - однофакторное распределение. Последнее возможно, например, когда на предмет наличия определенного свойства проверяются несколько социальных групп, однако искомое свойство есть только у одной из них.

Факторы имеют две характеристики: объем объясняемой дисперсии и нагрузки. Если рассматривать их с точки зрения геометрической аналогии, то касательно первой отметим, что фактор, лежащий вдоль оси ОХ, может максимально объяснять 70 % дисперсии (первый главный фактор), фактор, лежащий вдоль оси OY, способен детерминировать не более 30 % (второй главный фактор). То есть в идеальной ситуации вся дисперсия может быть объяснена двумя главными факторами с указанными долями. В обычной ситуации может наблюдаться два или более главных факторов, а также остается часть неинтерпрети-руемой дисперсии (геометрические искажения), исключаемая из анализа по причине незначимое™. Нагрузки, опять же с точки зрения геометрии, есть проекции от точек на оси ОХ и OY (при трех- и более факторной структуре также на ось OZ). Проекции - это коэффициенты корреляции, точки - наблюдения, таким образом, факторные нагрузки являются мерами связи. Так как сильной считается корреляция с коэффициентом Пирсона R > 0,7, то в нагрузках нужно уделять внимание только сильным связям. Факторные нагрузки могут обладать свойством биполярности - наличием положительных и отрицательных показателей в одном факторе. Если биполярность присутствует, то показатели, входящие в состав фактора, дихотомичны и находятся в противоположных координатах.

5.2. Пример применения факторного анализа в области социологии

Изложенный метод будет проиллюстрирован на примере анкеты, составленной в Институте социологии Университета Марбурга. На основе этой анкеты на двух гессенских металлургических предприятиях было произведено исследование отношения к иностранцам. Опрашиваемым предложили высказать свое отношение к следующим пятнадцати положениям:

• 1. Необходимо улучшить интеграцию иностранцев.
• 2. Необходимо мягче относиться к беженцам.
• 3. Деньги Германии должны быть потрачены на нужды страны.
• 4. Германия - это не служба социальной помощи для всего мира.
• 5. Необходимо стараться налаживать хорошие отношения друг с другом.
• 6. Права беженцев следует ограничить.
• 7. Немцы станут меньшинством.
• 8. Право беженцев необходимо охранять во всей Европе.
• 9. Враждебность к иностранцам наносит вред экономике Германии.
• 10. Сначала необходимо создать нормальные жилищные условия для немцев.
• 11. Мы ведь тоже практически везде являемся иностранцами.
• 12. Мультикультура означает мультикриминал.
• 13. В лодке нет свободных мест.
• 14. Иностранцы вон.
• 15. Интеграция иностранцев - это убийство нации.

Оценки ставились по семибалльной шкале: от полного несогласия (1) до полного согласия (7).

Сначала приводятся первичные статистики (табл. 5.1)

Таблица 5.1

Объясненная суммарная дисперсия (Total Variance Explained)

Extraction Method: Principal Component Analysis (Метод отбора: Анализ главных компонент).

При анализе можно увидеть, что три собственных фактора имеют значения, превосходящие единицу. Следовательно, для анализа отобрано только три фактора. Первый фактор объясняет 34,308 % суммарной дисперсии, второй фактор - 12,97 % и третий фактор 9,433 %. Так как мы запретили вывод неповернутой матрицы факторов, то далее приводится повернутая матрица.

Алгоритм факторного анализа в программе SPSS включает следующие команды:

Extraction Method: Principal Component Analysis (Метод отбора: Анализ главных компонентов).

Rotation Method: Varimax with Kaiser Normalization (Метод вращения: Варимакс с нормализацией Кайзера).

Rotation converged in 8 iterations (Вращение осуществлено за 8 итераций).

Здесь начинается самая интересная часть факторного анализа: Вы должны попытаться объяснить отобранные факторы. Для этого возьмите в руки карандаш и в каждой строке повернутой факторной матрицы отметьте ту факторную нагрузку, которая имеет наибольшее абсолютное значение.

Как уже было сказано, эти факторные нагрузки следует понимать как корреляционные коэффициенты между переменными и факторами. Так переменная ai сильнее всего коррелирует с фактором 2, а именно, величина корреляции составляет 0,628, переменная а₂ также сильнее всего коррелирует с фактором 2 (0,657), переменная же а₃ коррелирует сильнее всего с фактором 3 (0,711) и т.д. В большинстве случаев включение отдельной переменной в один фактор, осуществляемое на основе коэффициентов корреляции, является однозначным. В исключительных случаях, к примеру, как в ситуации с переменной а₇, переменная может относиться к двум факторам одновременно. Могут быть также и переменные, в нашем примере ап, которыми нельзя нагрузить ни один из отобранных факторов.

Если поступить так, как изложено выше, то варианты мнений, указанные вначале рассмотрения примера, можно отнести в следующем порядке к трем факторам:

Фактор 1

Германия - это не служба социальной помощи для всего мира.

Немцы станут меньшинством.

Мультикультура означает мультикриминал.

В лодке нет свободных мест.

Иностранцы вон.

Интеграция иностранцев - это убийство нации.

Фактор 2

Необходимо улучшить интеграцию иностранцев.

Необходимо мягче относиться к беженцам.

Необходимо стараться налаживать хорошие отношения друг с другом.

Права беженцев необходимо охранять во всей Европе.

Враждебность к иностранцам наносит вред экономике Германии.

Мы ведь тоже практически везде являемся иностранцами.

Фактор 3

Деньги Германии должны быть потрачены на нужды страны.

Права беженцев следует ограничить.

Немцы станут меньшинством.

Сначала необходимо создать нормальные жилищные условия для немцев.

Из-за равных по величине нагрузок, как для фактора 3, так и для фактора 1, положение «Немцы станут меньшинством» включено в оба фактора. Теперь мы подошли к последнему и решающему шагу факторного анализа: необходимо обнаружить и описать смысловую связь факторов. В рассматриваемом примере это можно сделать без особых усилий.

Первый фактор собрал все положения, враждебно настроенные по отношению к иностранцам. На основании позитивных корреляционных коэффициентов участвующих переменных с фактором и принимая во внимание полярность значений переменных (большое значение означает полное согласие) большое значение фактора означает высокую враждебность к иностранцам.

Во второй фактор входят те положения, которые указывают на дружелюбное отношение к иностранцам. Большое значение фактора означает здесь доброжелательное отношение к иностранцам.

Во второй фактор вошли точки зрения, соответствующие осторожному отношению к иностранцам; в противоположность к первому фактору это не враждебные точки зрения, а по большей части социальные страхи (деньги, жилье в первую очередь для немцев и т.д.). Большое значение фактора указывает здесь на высокую степень социального сомнения.

В соответствии с порядком изложения эти три фактора можно кратко охарактеризовать при помощи следующих выражений: Враждебная позиция, Доброжелательная позиция и Социальные страхи. Однако столь явно, как в приведенном примере факторы удается объяснить не всегда. Если нет возможности провести вербальное объяснение факторов, то факторный анализ можно считать неудавшимся.

5.3. Значения факторов

Поскольку мы пожелали произвести расчет значений факторов, то в соответствии с тремя отобранными факторам были сгенерированы три новые переменные, названные facl_l, fac2_l и fac3_l, которые содержат вычисленные значения факторов. Если Вы просмотрите текущий файл после поведения факторного анализа, то сможете увидеть имеющие нормализованные значения факторов. По каждому из отобранных фактору для каждого опрошенного было рассчитано специальное факторное значение. Факторное значение, как правило, лежит в пределах от -3 до +3.

Рассмотрим факторную переменную facl_l. Она включает следующие элементарные переменные: а₄, a_i2, а^, «и и «15. В качестве метки для этого фактора мы выбрали выражение: "Враждебная позиция". Большое положительное значение фактора означает одобрение элементарных переменных, т.е. положений, входящих в этот фактор. Одобрение элементарных переменных, относящихся к первому фактору, тождественно ярко выраженным расистским взглядам. Для подтверждения этого факта рассмотрим два примера. Наблюдение 4 характеризуется очень низким факторным значением в переменной facl_l. Оно равно -2,00455. В данном случае можно сделать заключение о том, что здесь не наблюдается расистская направленность или она очень слаба. Соответственно этому ведут себя и отдельные значения элементарных переменных (я₄ = 2, = 1, = 1,

«15 =1)- Наблюдение 17, в отличие от наблюдения 4, характеризуется очень высоким положительным значением фактора, который равен 3,14801. Основываясь на этом значении, мы можем исходить из того, что здесь явно заметна экстремальнорасистская позиция. Соответственно этому ведут себя и отдельные значения элементарных переменных (а₄ = 7, а 13 = 7, «14 = 7,^15 = 7).

Рассмотрим факторную переменную fac2_l. К ней относятся элементарные переменные: а_г, а₂, а₅, а%, а₉ и а_п. В качестве метки для этого фактора мы выбрали выражение: «Доброжелательная позиция». Большое положительное значение фактора означает полное согласие. Полное согласие соответствует дружелюбному отношению к иностранцам. И здесь рассмотрим два выборочных примера. Наблюдение 17 характеризуется очень малым значением фактора, которое составляет -3,32632. Основываясь на значении этого фактора можно сделать вывод, что едва ли в этом случае присутствует доброжелательное отношение к иностранцам. Соответственным образом ведут себя и отдельные значения элементарных переменных («1 = 1, а₂ = 1, а₅ = 1, я₈ = 2, я₉ = 4, ац = 6). В наблюдении 17 и следовало ожи дать низкого значения фактора, так как здесь наблюдается высокое положительное факторное значение для факторной переменной facl_l. В таком случае говорят, что существует отчетливая консистенция. По сравнению с предыдущим наблюдением, наблюдение 6 характеризуется очень высоким положительным значением факторной переменной fac2_l. Оно равно 1,23438. Исходя из значения фактора, можно сделать вывод, что существует сильное дружелюбное отношение к иностранцам. Соответственным образом ведут себя и отдельные значения элементарных переменных (сц = 7, а₂ = 7, а₅ = 7, «₈ = 7, а₉ = 7, «и = 7).

В заключение рассмотрим факторную переменную fac3_l. К ней относятся элементарные переменные «з, а^, а₂ и «₁₀. В качестве метки для этого фактора мы выбрали выражение: «Социальные страхи». Большое положительное значение фактора означает одобрение элементарных переменных. Одобрение элементарных переменных тождественно ярко выраженным социальным страхам. Рассмотрим для доказательства этого факта два примера. Наблюдение 5 характеризуется очень низким значением факторной переменной fac3_l. Оно равно -1,66369. В этом случае наблюдаются очень слабые социальные страхи и едва ли на основании социальных страхов можно наблюдать враждебное отношение к иностранцам. Соответственно этому ведут себя и отдельные значения элементарных переменных («з = 5, «₆ = 2, «₇ = 2, «ю = 1). Наблюдение 43 в отличие от наблюдения 5 характеризуется очень высоким положительным факторным значением. Оно равно 1,93125. В этом случае наблюдаются очень сильные социальные страхи. Соответственным образом ведут себя и отдельные значения элементарных переменных («₃ = 7, «₆ = 7, «₇ = 7, «ю = 7). В файле ausland.sav находятся еще несколько дополнительных переменных, а именно:

Таблица 5.2

Дополнительные переменные факторного анализа

Эти переменные можно использовать для того, чтобы устанавливать связи для факторных значений.

Вопросы для самопроверки

• 1. Каковы основные понятия факторного анализа?
• 2. В какой последовательности осуществляется процедура факторного анализа?
• 3. Каким образом осуществляется интерпретация вклада отдельных факторов в суммарную дисперсию?
• 4. Какую роль играет вращение факторов и каковы правила интерпретации повернутых факторов?
• 5. Каким правилам надо следовать при логическом объяснении результатов факторного анализа?

Автор: Добрина О.А.