Часть

в координатной плоскости Оху;

• • мнимые продолжения (равнобочные гиперболы) k^J_M вращением вокруг своих направлений п* «выводятся» в трехмерное пространство;
• • в итоге окружность к моделируется однополостным равнобочным гиперболоидом вращения: его горловая окружность моделирует ее точки с действительными координатами, а все остальные точки — ее мнимое продолжение.

Такое моделирование окружности к достаточно просто обобщается на моделирование всех кривых второго порядка [3; 4; 7].

Конечно, графическое определение порядков кривых второго и третьего порядков затруднений не вызывает, так как нетрудно провести прямую, пересекающую их соответственно в двух и трех действительных точках. Трудности появляются, начиная с кривых четвертого порядка. Например, кривые Персея (сечения тора плоскостями, параллельными его оси), будучи кривыми четвертого порядка, должны пересекаться с прямой в четырех точках. Однако сечения тора плоскостями, расположенными близко к его периферии, являются выпуклыми овалами. Поэтому они пересекаются с прямой линией в лучшем случае в двух действительных точках. Таким образом, достоверный ответ можно получить лишь аналитически путем вывода уравнения кривой.

Аналогичная ситуация возникает и при графическом определении класса плоской алгебраической кривой. Как известно [8], класс кривой равен степени ее уравнения, записанного в тангенциальных координатах. Графически он определяется числом касательных, проведенных к кривой из какой-либо точки, расположенной в ее плоскости.

На рис. 2 показано построение касательных, проведенных к окружности к из точек А, В и С:

• точка А расположена вне окружности; имеем две

действительные касательные t'_A = А1_а, = А2_а,

где 1а, 2а — точки пересечения поляры а точки А с окружностью к [ 14];

• точка В принадлежит окружности к; имеем две

совпавшие касательные ибо поляра b точ

ки В касается здесь окружности к;

• точка С расположена внутри окружности к; ее поляра с пересекает окружность к в двух мнимых точках 1_с, 2_с, поэтому касательные С1_с, С2_с являются мнимыми.

Отметим, что, в отличие от кривых второго порядка, которые являются и кривыми второго класса, кривые высших порядков имеют несколько классов. Например, кривые третьего порядка к³ могут быть 3-го, 4-го и 6-го классов [11]. Это зависит от количества простых (однократных) пересечений первой поляры а^[1] некоторой точки А с исследуемой кривой к³. Эти 3, 4 и 6 точек могут быть попарно мнимосопряженными, поэтому касательные, инцидентные этим точкам, также будут мнимыми.

Рис. 2

Отсюда следует У1,2=^±1Х- То есть окружность выродилась в две мнимые прямые, проходящие через действительную точку (начало координат). Такие прямые, как известно, называются изотропными.

Непонимание этого факта дало автору учебника [13] основание утверждать, что конические и цилиндрические поверхности являются частными случаями торсовых поверхностей в случае «вырождения» ребра возврата (пространственной кривой) последних в точку.

По этой же причине плоскость, проходящая через вершину конической поверхности второго порядка вне ее телесного угла, якобы пересекает ее в точке. Очевидно, что для исключения возможности появления таких ошибочных утверждений необходимо сопровождать (проверять) графические построения аналитическими выкладками. Тогда будет понятно, что:

• • две поверхности трехмерного пространства всегда пересекаются по линии, так как система двух уравнений от трех неизвестных определяет кривую;
• • точка(и) является(ются) пересечением трех поверхностей (поверхности и линии, которая сама является пересечением двух поверхностей), так как решением системы трех уравнений с тремя неизвестными будет точка, если уравнения — линейные, и точки, если уравнения — нелинейные. Касание представляет собой частный случай пересечения. Если две поверхности касаются в регулярной точке, то она на их линии пересечения будет двойной:
  • а) узловой, когда в ней пересекаются две действительные ветви с различными касательными;
  • б) возврата, когда эти ветви здесь касаются и, следовательно, имеют две совпавшие касательные;
  • в) изолированной, когда здесь пересекаются две мнимые ветви с мнимыми касательными.

Эти утверждения иллюстрирует следующий пример. Дана поверхность вращения ф (/, I) осью i и главным меридианом I (рис. 3). На меридиане / взяты три точки:

А — на ее выпуклой части,

В — точки перегиба, С — на вогнутой части.

В этих точках построены касательные плоскости р э В, у э С. Они, касаясь поверхности ф в указанных

точках, пересекают ее соответственно по линиям а ? а, р, сз у. На дополнительных плоскостях проекций а'||а, Р'||0, у'||у показано поведение (примерные проекции) этих кривых а',Ь', с' в окрестности их двойных точек.

Конкретизируя изложенное выше к построению касательных плоскостей к поверхностям второго порядка, отмечаем:

• 1) касательная плоскость, проведенная к линейчатой поверхности второго порядка, пересекает ее по двум действительным различным образующим (точка касания является узловой);
• 2) касательная плоскость к цилиндрической и коническим поверхностям пересекает их по двум совпавшим действительным прямым;
• 3) касательные плоскости, проведенные к овальным поверхностям второго порядка, пересекают их по двум мнимым прямым, пересекающимся в действительной точке касания.

Отсюда следует известный факт, что все поверхности второго порядка являются линейчатыми и содержат два семейства прямолинейных образующих:

• • действительных в случае линейчатых поверхностей;
• • совпавших в случае конических и цилиндрических поверхностей;
• • мнимых в случае овальных поверхностей.

Введение мнимых элементов также делает понятным утверждение, что две кривые второго порядка, принадлежащие одной поверхности второго порядка, всегда пересекаются в двух точках:

• • действительных различных, если прямая пересечения плоскостей этих кривых пересекает поверхность в действительных точках;
• • совпавших, если эта прямая касается поверхности;
• • мнимых, если она пересекает поверхность в мнимых точках.

Такое толкование существенно упрощает формулировки теорем, относящихся к частным случаям пересечения поверхностей второго порядка (теорема Монжа, теорема о двух точках соприкосновения и др.). Оно также полезно при объяснении алгоритмов и результатов решения задач.

Приведем характерный, по нашему мнению, пример. Требуется построить линию пересечения сферы и конической поверхности, содержащей семейство окружностей в горизонтальных плоскостях уровня (рис. 4). Пусть для простоты поверхности имеют общую фронтальную плоскость симметрии у и вершина S конической поверхности принадлежит фронтальному меридиану / сферы.

Условие задачи дано в двух вариантах положения точки S на / (см. рис. 4, а, б). Есть ли отличие в характере линии пересечения этих поверхностей? Если есть, то в чем оно заключается и как влияет на графический алгоритм ее построения?

Для ответа на поставленные вопросы сначала проведем посредник (горизонтальную плоскость уровня) а через вершину S конической поверхности. В варианте а плоскость а пересекает обе поверхности по изотропным прямым к', к" (по окружностям нулевого радиуса). Следовательно, линия пересечения данных поверхностей (пространственная кривая четвертого порядка) распадается на эти прямые к', к" и окружность к. Ее фронтальная проекция к₂ определяется точками А₂, В₂ пересечения очерковых линий данных поверхностей на П₂. Таким образом, окружности а и к принадлежат двум разным семействам круговых сечений поверхности конуса.

Рис. 4

Во втором случае плоскость а сечет поверхность конуса по изотропным прямым п', п", сферу — по окружности т. Следовательно, их общая действительная точка 5 будет изолированной точкой линии к пересечения данных поверхностей. Ее действительная ветвь представляет собой замкнутую пространственную кривую четвертого порядка и строится общеизвестным способом плоскостей уровня а'.

3. И, наконец, с позиций темы настоящей статьи истолкуем известную теорему о проекции линии пересечения двух поверхностей второго порядка, имеющих общую плоскость симметрии, на эту плоскость в виде кривой (а не дуги!) второго порядка.

На практике (рис. 5) строят только проекцию дуги /₂ ее действительной ветви. Е.А. Глазунов в своей статье [2] совершенно справедливо утверждает: «Если известно, что линия пересечения двух поверхностей проектируется на какую-то плоскость проекций кривой второго порядка, то для упрощения и уточнения построений этой проекции кривой желательно знать ее вид и найти ее параметры».

Объяснить тот факт, что проекцией линии пересечения является не дуга, а «целая» кривая второго порядка, можно следующим образом. Как общеизвестно, две кривые второго порядка пересекаются в четырех точках (рис. 6). Эти четыре точки определяют пучок (оо¹) кривых второго порядка. Среди них есть три кривые с, d, е, распавшиеся на две прямые. По аналогии, две поверхности второго порядка пересекаются по пространственной кривой четвертого порядка, которая определяет пучок поверхностей второго порядка. Среди поверхностей этого пучка есть три конические поверхности. Если исходные две поверхности второго порядка имеют общую плоскость симметрии, то одна из этих конических поверхностей будет цилиндрической.

Образующие этой цилиндрической поверхности пересекают обе данные поверхности:

Рис. 5

• • в двух различных действительных точках в пределах реально существующей линии их пересечения (образующие расположены внутри контуров данных поверхностей);
• • в двух совпавших точках пересечения А, В, С, D их очерковых линий (в этих точках образующие касаются данных поверхностей);
• • в двух мнимосопряженных точках (образующие расположены вне контуров данных поверхностей). В последнем случае проекции этих точек на второй плоскости проекций можно изобразить при желании в виде «пунктированных» окружностей, как это было показано на рис. 1.

В заключение отметим, что приведенные примеры не являются единственными и исключительными, в которых появляются мнимые решения. Поэтому сочетание графических и аналитических способов решения геометрических задач должно способствовать получению правильных, математически обоснованных ответов.

Литература

• 1. Гирш А.Г. Наглядная мнимая геометрия. — М.: ООО «ИПЦ «Маска», 2008.
• 2. Глазунов ЕА. О проекции линии пересечения двух поверхностей второго порядка, имеющих общую плоскость симметрии. // Труды московского семинара по начертательной геометрии и инженерной графике. М.: изд-во «Советская наука», 1958. С. 35-69.
• 3. Графский О А. Теоретико-конструктивные проблемы моделирования мнимых элементов в начертательной геометрии и ее приложениях: автореф. дис. доктора техн. наук. М., 2004.
• 4. Иванов ГС. Теоретические и конструктивно-прикладные вопросы квадратичных кремоновых инволюций: автореф. дис. канд. техн, наук, М., 1968.
• 5. Иванов Г.С. Перспективы начертательной геометрии как учебной дисциплины // Геометрия и графика. Т. 1. № 1. С. 26-27. DOI: 10.12737/467.
• 6. Иванов ГС. Компетентностный подход к содержанию курса начертательной геометрии // Геометрия и графика. 2013. Т. 1. № 2. С. 3-5. DOI: 10.12737/775.
• 7. Пеклич ВА. Мнимая начертательная геометрия. М.: изд-во Ассоциации строительных вузов, 2007.
• 8. Савелов А А. Плоские кривые. М.: Физматгиз, 1960.
• 9. Савельев ЮА. Графика мнимых чисел // Геометрия и графика. 2013. Т. 1. № 1. С. 22-23. DOI: 10.12737/2079.
• 10. Серегин В.И., Иванов ГС, Дмитриева И.М., Муравьев КА. Междисциплинарные связи начертательной геометрии и смежных разделов высшей математики // Геометрия и графика. 2013. Т. l.№3-4. С. 8-12. DOI: 10.12737/2124.
• 11. Смогаржевский А.С., Столова Е.С. Справочник по теории плоских кривых третьего порядка. М.: Физматгиз, 1961.
• 12. Умбетов И.С. Конструирование эквипотенциальной поверхности // Геометрия и графика. 2013. Т. 1. № 1. С. 11-14. DOI: 10.12737/2075.
• 13. Фролов С.А. Начертательная геометрия. М.: Машиностроение, 1978.
• 14. Четверухин Н.Ф. Проективная геометрия. М.: Просвещение, 1969.
• 15. Чинарева Л.Д. Определение геометрических параметров проекций линии пересечения поверхностей второго порядка на общие плоскости симметрии. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011.

References

• 1. Girsh A.G. Nagljadnaja mnimaja geometrija [Visual imaginary geometry], Moscow, ООО «1РС «Maska» PubL, 2008.
• 2. Glazunov E.A. О proekcii linii peresechenija dvuh poverh-nostej vtorogo porjadka, imejushhih obshhuju ploskost' simmetrii [About the projection of the line of intersection of two surfaces of the second order having a common plane of symmetry]. Trudy moskovskogo seminara po nachertatel'noj geometrii i inzhenernoj grafike [Труды московского семинара по начертательной геометрии и инженерной графике]. Moscow, «Sovetskaja nauka» Publ., 1958, pp. 35—69. (in Russian).
• 3. Grafskij O.A. Teoretiko-konstruktivnye problemy modeliro-vanija mnimyh jelementov v nachertatel'noj geometrii i ее prilozhenijah. Dokt. Diss. [Theoretical and constructive problems modeling the imaginary elements of descriptive geometry and its applications. Doct. Diss.]. Moscow, 2004. (in Russian).
• 4. Ivanov G.S. Teoreticheskie i konstruktivno-prikladnye voprosy kvadratichnyh kremonovyh involjucij. Kand. Diss. [Theoretical and constructive -applied questions quadratic kremon of involutions. Cand. Diss.]. Moscow, 1968. (in Russian).
• 5. Ivanov G.S. Perspektivy nachertatel'noj geometrii kak ucheb-noj discipliny [Descriptive geometry prospects as educational subject]. Geometrija igrafika [Geometry and graphics]. 2013, v. 1, i. 1, pp. 26-27. DOI: 10.12737/467. (in Russian).
• 6. Ivanov G.S. Kompetentnostnyj podhod k soderzhaniju kursa nachertatel'noj geometrii [Competence approach to descriptive geometry syllabus]. Geometrija igrafika [Geometry and graphics], 2013, v. 1, i. 2, pp. 3-5. DOI: 10.12737/775. (in Russian).
• 7. Peklich V.A. Mnimaja nachertatel'naja geometrija [Imaginary descriptive geometry]. Moscow, Associaciya stroitel'nyh vuzov Publ., 2007. (in Russian).
• 8. Savelov A.A. Ploskiekrivye [Flat curves]. Moscow, Fizmatgiz Publ., 1960. (in Russian).
• 9. Savel'ev Ju.A. Grafika mnimyh chisel. Geometrija i grafika [Geometry and Graphics]. 2013, v. 1, i. 1, pp. 22-23. DOI: 10.12737/2079. (in Russian).
• 10. Seregin VI., Ivanov G.S., Dmitrieva I.M., Murav'ev K.A. Mezhdisciplinamye svjazi nachertatel'noj geometrii i smezhnyh razdelov vysshej matematiki []. Geometrija igrafika [Geometry and Graphics], 2013, v. 1, i. 3-4, pp. 8-12. DOI: 10.12737/2124. (in Russian).
• 11. Smogarzhevskij A.S., Stolova E.S. Spravochnik po teorii ploskih krivyh tret'ego porjadka [A Handbook on the theory of plane curves of the third order]. Moscow, Fizmatgiz Publ., 1961. (in Russian).
• 12. Umbetov N.S. Konstruirovanie jekvipotencial'noj poverh-nosti []. Geometrija igrafika [Geometry and Graphics]. 2013, v. 1, i. 1, pp. 11-14. DOI: 10.12737/2075. (in Russian).
• 13. Frolov S.A. Nachertatel'naja geometrija [Descriptive geometry]. Moscow, Mashinostroenie Publ., 1978. (in Russian).
• 14. Chetveruhin N.F. Proektivnajageometrija [Projective geometry]. M.: Prosveshhenie, 1969. (in Russian).
• 15. Chinareva L.D. Opredelenie geometricheskih parametrov proekcij linii peresechenija poverhnostej vtorogo porjadka na obshhie ploskosti simmetrii [The definition of the geometric parameters of the projections of the line of intersection of surfaces of second order on a common plane of symmetry]. Moscow, Izd-vo MGTU im. N.Je. Baumana Publ., 2011. (in Russian).

УДК 519.853.32:514.18 DOI: 10.12737/12164

Н.А. Сальков

Канд. техн, наук, профессор,

Московский государственный академический художественный институт им. В.И. Сурикова, Россия, 109004, г. Москва, Товарищеский переулок, д. 30 Свойства циклид Дюпена и их применение. Часть 2

Аннотация. В первой части предлагаемой работы рассматривался вопрос об основных свойствах циклид Дюпена, а также приводились некоторые примеры их применения: три способа решения задачи Аполлония исключительно при помощи циркуля и линейки, используя выявленные свойства циклиды, т.е. давалось классическое решение задачи.

Во второй части работы продолжено рассмотрение свойств циклид Дюпена. Предложена и доказана возможность задания циклиды Дюпена произвольным эллипсом в качестве линии центров множества образующих сфер и сферой с центром, принадлежащим этому эллипсу. Доказана достаточность этих сведений для построения циклиды Дюпена. Геометрически доказано, что фокальные линии циклид представляют собой не что иное, как кривые второго порядка. Дано графоаналитическое представление фокальных линий циклид. Показано поликоническое соответствие фокальных линий циклид Дюпена, которое рассмотрено во всех четырех случаях.

Предложено формирование гиперболической поверхности четвертого порядка с использованием одной или двух первичных кривых второго порядка, в данном случае — эллипсов. Применяются софокусные данному эллипсу гиперболы. При этом первичный эллипс, лежащий в плоскости хОу, с центром, совпадающим с началом координат, находится в неподвижном состоянии, а система координат вращается вокруг оси z- Тогда точки пересечения вращающихся координат х и у с неподвижным эллипсом задают новые значения большой и малой оси эллипса с вытекающими изменениями в форме софокусной гиперболы. Хотя такое моделирование напрямую и не связано с циклидой Дюпена, но однозначно вытекает из свойств ее фокальных кривых — кривых второго порядка. Выведены уравнения поверхности и ее горла.

Ключевые слова: начертательная геометрия, циклические поверхности, каналовые поверхности, циклида Дюпена, задача Аполлония, задача Ферма.

N.A. Salkov

Ph.D. of Engineering, Professor,

Surikov Moscow State Academic Art Institute,

30, Tovarischesky per., Moscow, 109004, Russia

Properties of Cyclide Dyupen and Their Application. Part 2

Abstract. In the first part of this paper has discussed about the basic properties of cyclide Dupin, and has gave some examples of their applications: three ways of solving the problem of Apollonius exclusively by means of compass and ruler, using identified properties cyclide Dupin, that is, given a classical solution of the problem.

In the second of part of the work continued consideration of the properties of cyclide Dupin. Proposed and proved the possibility ask cyclide Dupin arbitrary ellipse as the center line of the forming a plurality of spheres and a sphere with the center belonging to the ellipse. Proved the adequacy of this information is used to build the cyclide Dupin. Geometrically proved that the focal line of cychlid are not that other, as curves of the second order. Given the graphical representation of the focal lines of cychlid. Shown polyconic compliance focal lines of cichlid of Dupin, which is considered in all four cases.

The proposed formation of the hyperbolic surfaces of the fourth order with one or two primary curves of the second order, in this case ellipses. Apply sofocus this ellipse the hyperbola. Although the primary focus of the ellipse lying in the plane of the hoe, with the center coinciding with the origin of coordinates, is stationary, and the coordinate system rotates around the z axis. Then the points of intersection of the rotating coordinates x and у with a fixed ellipse specify new values for the major and minor axis of the ellipse with resultant changes in the form defocuses of the hyperbola. Although this modeling is not directly connected with Cychlidae Dupin, but clearly follows from the properties of its focal curves — curves of the second order. Withdrawn Equations of the surface and its throat.

Keywords: descriptive geometry, circular surface, Kanaloa surface, a Dupin cyclide, the problem of Apollonius, the task Farm.

В первой части предлагаемой работы [20] рассматривался вопрос об основных свойствах циклиды Дюпена [5; 6; 8; 10—12; 23], а также приводились некоторые примеры их применения: три способа решения задачи Аполлония |9J исключительно при помощи циркуля и линейки, используя выявленные свойства циклиды, т.е. показывалось классическое решение задачи. Во второй части работы продолжено рассмотрение свойств циклиды Дюпена. При исследовании были применены методы аналитической [3], проективной [21] и элементарной [1; 2] геометрий. Методам аналитической геометрии в статьях придается особое значении [5; 6; 8; 10—18; 23], поскольку они позволяют получить математически точное решение.

1. Графоаналитическое представление фокальных линий

Рассмотрим, что собой представляют линии центров множества касательных к циклиде Дюпена сфер.

На рис. 1 показана одна из проекций циклиды Дюпена на плоскость, которая является плоскостью ее симметрии. Имеем два очерка в виде окружностей: О', R_} и О R_r

Построим произвольную сферу с центром О', касательную к циклиде Дюпена; в представленном на рис. 1 примере — к очеркам циклиды в точках К и L. Будем рассматривать задачу как плоскую, только в системе хОу. Соединим центры окружностей О' с О^} и О². Рассмотрим отрезки О'О² и О/D' и попробуем избавиться от ОL, поскольку эта величина переменная.

Рис. 1

О'О² = R₂- О'К: ОЮ' = R_} + 0'1.

О'О² = R₂ + О'К; OⁱO' =R_X + O'L,

Или, так как О‘К = O‘L:

О‘О² = R₂- О'К;

О'О' = R_{ + О‘К.

Видно, что от величины О'К можно избавиться в результате сложения этих уравнений, поэтому после сложения получаем:

О* О² + О‘О' = R₂ + R_{ = const.

Таким образом, сумма расстояний от произвольной точки О' кривой е до точек О¹ и О² является постоянной. Полученная закономерность является геометрическим местом точек эллипса, у которого центры очерковых окружностей О¹ и О² являются его фокусами.

(1)

В системе координат, у которой оси проходят через центр О¹ (см. рис. 1), уравнение эллипса имеет следующий вид: где с — расстояние от центра эллипса до одного из его фокусов: с = О'О²/7. (см. рис. 1).

Линия центров в виде эллипса, проходящая внутри поверхности циклиды, присуща циклидам Дюпена, изображенным на рис. 2—4 в [20].

Теперь рассмотрим другую проекцию (рис. 2).

Если предыдущий пример относился к касательным к циклиде Дюпена сферам, расположенным внутри поверхности циклиды, то на рис. 2 рассмотрим касательные к циклиде Дюпена сферы, расположенные снаружи поверхности.

Рис. 2

Построим произвольную сферу с центром О', касательную к очеркам циклиды в точках KvtL. Соединим центры окружностей О' с О¹ и О². Рассмотрим отрезки О'О' и О'О². Эти отрезки пройдут через точки L и К соответственно.

Как и в предыдущем примере, постараемся избавиться от переменной величины О'К = O'L. Так как то в результате вычитания из первого уравнения второго имеем:

О'О² — О'О¹ = Т?₂ — 7?! = const.

Полученное выражение является закономерностью для точек гиперболы.

Таким образом, геометрически доказано, что линия центров внешних касательных окружностей является гиперболой, а точки О¹ и О² являются ее фокусами.

При этом, поскольку эллипс и гипербола имеют одни и те же точки О¹ и О² в качестве радиусов и расположены в перпендикулярных плоскостях, они являются софокусными.

Рассмотрим случай задания циклиды Дюпена, представленный на рис. 5 и 6 в [20]. Здесь мы имеем дело с контуром циклиды Дюпена в виде прямой линии q и окружности О', R_{ (рис. 3).

Рис. 3

Построим произвольную сферу радиуса R. с центром 0‘, касательную к очеркам циклиды в точках К и L. Соединим центр окружности О' с О', при этом О'О' пройдет через точку L, а точка К является основанием перпендикуляра О'К, опущенного из точки 0‘ на прямую q, так как эту прямую можно представить окружностью с бесконечно большим радиусом и центром О², удаленным в бесконечность.

Из рис. 3 видно, что треугольники OKL и O'LS подобны. Поскольку O'L = O'S= R_v то и OⁱK= O'L.

Если на оси х отрезок О В разделить пополам точкой А, то ее (точку Л) можно принять за центр окружности, касающуюся прямой q и окружности О', R_t в точках О и В соответственно.

Если от точки О отложить отрезок OG = R_} и через полученную точку G провести прямую р, параллельную оси у, то полученная конфигурация линий даст нам схему получения точек параболы. Действительно, расстояние O'G можно принять за параметр параболы р. Точка Л, находящаяся посередине этого отрезка и лежащая на строящейся кривой, является ее вершиной, прямая р принимается в качестве директрисы, точка О' — в качестве фокуса параболы, а условие

NK+ КО'= O'L + O'L

ИЛИ

R + R = R + R = const. / I

является закономерностью для точек параболы.

Следовательно, линией центров касательных к циклиде Дюпена сфер в данном случае является парабола.

2. Задание циклиды Дюпена с помощью кривой второго порядка и сферы

Итак, известно, что положение циклиды Дюпена в пространстве определяется ее уравнением [8; 23], заданием трех сфер (см. рис. 7, 8, 10—12 [20]), заданием двух очерковых окружностей (см. рис. 9, 12 [20]).

Рассмотрим возможность задания циклиды Дюпена произвольным эллипсом в качестве линии центров множества образующих сфер и сферой с центром, принадлежащим этому эллипсу (рис. 4). Докажем достаточность указанных сведений для построения циклиды Дюпена.

С центром О² построим сферу радиуса R, равного величине b — половине малой оси эллипса, и два касательных к ней цилиндра вращения, пересекающихся по данному эллипсу. Образующие этих цилиндров направлены к двум бесконечно удаленным точкам, которые являются центрами двух касающихся циклиды Дюпена по окружности предельных сфер — касательных плоскостей. Отметим, что к этим центрам направлены по две образующие каждого конуса, заданного вершиной — центром одной из множества образующих сфер и окружностью касания этой сферы с циклидой Дюпена. Об этих конусах речь шла выше (свойство 5).

Известными нам являются величины следующих параметров: большая 2а и малая 2Ь оси эллипса, радиус R₃ данной сферы и координаты Х₃ или Y₃ ее центра.

Предельные сферы строим как две фронтально проецирующие плоскости, перпендикулярные образующим ранее построенных цилиндров и касательные к сфере с центром О³ (рис. 4, 5).

Эти плоскости пересекают очерковые образующие цилиндров. В результате получаем отрезки ОМ₂ и

— радиусы А, наименьшей и R₂ наибольшей образующих сфер циклиды Дюпена.

Определим их значения (см. рис. 4).

Из подобия прямоугольных треугольников (?2 Р₂О₂ и (?2^2^2 ^имеем:

о²₂р₂о²₂е₂

О²Л O³₂N₂’

где О₂ О₂ =а; O²D₂ =b; O₂D₂ = с- yja² -Ь² иО₂Е₂= R₃

После подстановки их значений получим:

а7?₃

(2)

Рис. 4

Так как O²N₂ = О²О₂ + О₂О³₂ + O³N₂, где О₂О³ = Х_у то после подстановки значений получаем:

О₂³ЛГ,=а+Х₃ + ,^аДз . О)

4^

Так как 0^{₂N₂ = O₂N₂ -О₂О₂, где О₂О₂ = 2а , то

О' N₂ = а + Х_ъ + . ^аКз -2а yla²-b²

или

ON₂=-a+X,₊-^=. (4)

yja²-b²

Из подобия прямоугольных треугольников С>2^2^2 и O₂E₂N₂ имеем:

Olh OjEj

O]N₂ o₂n₂’

После подстановки значений из (2) и (3) получаем:

*₂ _ *з откуда определяем величину радиуса наибольшей образующей сферы циклида Дюпена.

(5)

Из подобия прямоугольных треугольников О² D₂O₂ и O₂M₂N₂ имеем:

О$Р₂ О¹₂М₂

о²₂о₂ ’ o'n₂ ?

а

После подстановки значений из (3) и (4) получаем: откуда определяем величину радиуса наименьшей образующей сферы циклиды Дюпена.

(6)

Определяем радиусы R_x и R₂ очерковых окружностей циклиды Дюпена, расположенных в плоскости П,, касательных образующих сфер.

Из чертежа (см. рис. 4) видно, что

п0 2а - 7?₂ ~ .

• 1 2
• 0 _{2а + R2 + Rx ~---------}

После подстановки значений из (5) и (6) и выполненных преобразований в окончательном виде имеем:

(7> а

R%=a + R₃+^yla²-b². (8)

Определим координаты X® и Х₂ центров очерковых окружностей циклиды Дюпена. Из чертежа видно, что

Xj⁰ = a-R_x-К?;

X₂=a + R_x-R₂.

После подстановки значений из (6), (7), (8) и выполненных преобразований в окончательном виде имеем:

XjMa²-*²; <9>

X»=-7a²-i². (Ю)

Сравнивая (9) и (10) с теоретическими сведениями об эллипсе [22], приходим к выводу, что центрами очерковых окружностей циклиды Дюпена являются фокусы Г и F эллипса. Заметим, что через эти два фокуса эллипса проходят две образующие каждого конуса, заданного вершиной — центром любой из множества образующих сфер и окружностью касания этой сферы с циклидой Дюпена.

Остается выяснить, является ли данная сфера одной из образующих сфер циклиды Дюпена, которая в свою очередь характеризуется двумя построенными ранее ее очерковыми окружностями.

Для этого рассмотрим вопрос о возможности касания очерковых окружностей (7, 9) (8, 10) с данной сферой О³, R₃. При заданной координате Х₃ центра О³ находим из уравнения эллипса его вторую координату Г₃. _х2 2

Уравнение эллипса — + ^— = 1. Отсюда:

а² Ь²

Y₃ = ±^^xi. (11)

Допустим, что очерковая окружность (7, 9) и сфера О³, R₃ касаются в точке К². Тогда расстояние между их центрами будет равно

F_XO_X = F/к} + К}О² = Л® + R₃.

Подставляя значение R_x из (22), получим

F_{¹О³_Х = а - R₃ - y]a²-b² + R₃

а

или

F_XO_X =а-^-1а² -Ь². (12)

Допустим, что очерковая окружность (23, 25) и сфера (9³, R₃ касаются в точке К². Тогда расстояние между их центрами будет равно

F_x²О? = F²K² - К²О_Х = - R₃.

Подставляя значение R₂ из (23), получим

Е²О? = a + R₃ +—y/a²-b² - R₃ a

или

772_О3_{=а +} ^_а2__А2. ₀₃₎

a

С другой стороны, межцентровое расстояние /j’Oj³ можно определить как гипотенузу прямоугольного треугольника О³_ХР_ХО_Х , катеты которого равны о²/;¹ =0,2)'-о,о² и™ о²/;¹=х₁°-х₃ и о²о²=г₃.

Тогда

W=_а/(х,⁰-л-,)²+Гз².

После подстановки в полученное выражение значений Х_х и Y₃ из (9) и (11) имеем:

F'_Of=a-^-yl^F

a

Межцентровое расстояние /]^[2]О можно определить как гипотенузу прямоугольного треугольника F¹O_XO² , катеты которого равны F¹O_X = O_tO_x - 0_{F¹ или F¹O²_X = Х₃ - Х₃ и O²_XO² = Y₃. Тогда

Подставляя в полученное выражение значения Х₃ и У₃ из (25) и (26), имеем:

или

Рис. 5

В другой формулировке.

Любая из кривых второго порядка, полученная при пересечении двух цилиндров вращения, имеющих двойное касание, и сфера с центром, принадлежащим этой линии пересечения, определяют в пространстве положение двух циклид Дюпена.

Следует отметить, что каждая пара пересекающихся образующих двух цилиндров, отмеченных в последнем предложении, одновременно является двумя образующими одного из множества конусов, нормальных к поверхности циклиды Дюпена и пересекающихся с последней по окружностям, а оси вращения этих цилиндров являются асимптотами гиперболы — второй линии центров множества сфер, касательных к поверхности циклиды.

На каждой образующей любого из двух пересекающихся цилиндров расположены в действительности две характерные точки, которые являются одновременно как вершинами двух конусов, нормальных к поверхности циклиды Дюпена и пересекающих ее по двум окружностям, так и центрами двух образующих сфер, касающихся поверхности циклиды Дюпена по тем же окружностям.

Обе вершины — центры двух образующих сфер — относятся к двум множествам точек, образующих две кривые второго порядка, одна из которых является линией центров множества сфер, огибаемых циклидой Дюпена и имеющих с ней внутреннее касание по одному множеству окружностей, а вторая — линией центров другого множества сфер, огибающих цикли-ду Дюпена и имеющих с ней внешнее касание по второму множеству окружностей.

Каждый из множества конусов, вершины которых принадлежат линии центров образующих сфер, расположенной в одной плоскости симметрии циклиды Дюпена, пересекают вторую плоскость симметрии

по кривой второго порядка — второй линии центров образующих сфер. Следовательно, каждое из двух множеств нормальных к циклиде Дюпена конусов характеризуется тем, что имеет свою, общую для всего множества, линию взаимного пересечения их поверхностей.

Каждый из рассматриваемых конусов имеет ось вращения, представляющую собой касательную к соответствующей кривой второго порядка, касательную к одной из линий центров сфер, образующих циклиду Дюпена.

В заключение приводится еще один из вариантов задания циклиды Дюпена.

Положение циклиды Дюпена в пространстве будет определено, если заданы вершины трех нормальных к ее поверхности конусов, для двух из них указаны направления осей вращения и для одного из них — величина диаметра основания или длина отрезка образующей.

Действительно, трех точек (вершин) и двух касательных (осей вращения) достаточно [10; 21] для построения кривой второго порядка, линии центров образующих сфер, а длине отрезка образующей конуса соответствует величина радиуса одной из образующих сфер циклиды Дюпена.

3. Поликоническое соответствие кривых второго порядка

Опираясь на предыдущие рассуждения, докажем, что для любой кривой второго порядка имеется единственное множество конусов вращения, поверхностям которых она принадлежит, а вершины этого множества конусов образуют другую кривую второго порядка. Эти две кривые находятся в соответствии, которое обеспечивается двумя множествами конусов вращения, а плоскости, в которых они расположены, перпендикулярны.

Рассмотрим получение уравнений, в которых одна кривая выражена через параметры другой кривой.

Если взять множество конусов вращения, обладающих общими свойствами, суть которых заключена в том, что вершины конусов принадлежат данной кривой второго порядка, плоскость данной кривой является общей плоскостью симметрии для всего множества конусов вращения, две образующие каждого конуса проходят через фокусы данной кривой, ось вращения каждого конуса является касательной к данной кривой, то это множество конусов вращения пересечет плоскость, перпендикулярную плоскости данной кривой и проходящую через ее действительную ось по другой единственной кривой второго порядка (рис. 6, 7).

Если теперь с соблюдением аналогичных закономерностей построить другое множество конусов вращения, вершины которых принадлежат построенной кривой второго порядка, то общей линией взаимного пересечения этого множества поверхностей конусов вращения вновь станет первая данная кривая.

Отметим, что поверхности любой пары конусов вращения, принадлежащих к одному из рассматриваемых множеств, в действительности пересекаются по двум плоским кривым второго порядка и, следовательно, имеют двойное касание. Одна из кривых является общей для всего множества конусов.

Рис. 6

Рис. 7

Таким образом, в пространстве с помощью одного из множеств конусов вращения, обладающих перечисленными свойствами, может быть установлено взаимно однозначное особое поликоническое соответствие между двумя кривыми второго порядка, расположенными в двух взаимно перпендикулярных плоскостях. Характерной особенностью таких кривых является прохождение первой кривой через фокусы второй и прохождение второй кривой через фокусы первой, что вытекает из свойства множества конусов вращения — две образующие каждого конуса проходят через фокусы кривой второго порядка.

При поликоническом соответствии, как уже отмечалось, данной кривой второго порядка соответствует другая и единственная кривая второго порядка. Поэтому интерес представляет установление взаимной связи между этими кривыми. С этой целью выведем канонические уравнения вторых кривых, выраженные через параметры первых.

Возьмем следующие сочетания двух кривых второго порядка, находящихся в поликоническом соответствии: эллипс-гипербола, окружность-«гипербола», гипербола-эллипс, парабола-парабола.

3.1. Первый случай

В плоскости хОу дан эллипс (рис. 8, 9), каноническое уравнение которого

<4 ⁺ t>3

(16)

Ему при поликоническом соответствии в плоскости xOz соответствует софокусная гипербола

Выразим в уравнении (17) параметры гиперболы через параметры эллипса (16). Определяем (рис. 8):

^=^=^=74^1

или

^аг

(18)

На рис. 9 имеем проекцию F_riOF_r2 эллипса, расположенного в проецирующей плоскости при условии, что его большая ось параллельна плоскости проекций. Построим сферу радиуса R = Ь_эс центром О. Пусть данный эллипс принадлежит поверхности цилиндра вращения, касательного к построенной сфере. Тогда F_nD — очерковая образующая конуса вращения. Она параллельна асимптоте гиперболы, на основании чего имеем равенство следующих отношений:

F_nT F_r,D DT OD

—-— = —— и ------.

/YiD F_riO F_nD F_nO

Подставляя в полученные выражения значения F_nO, OD и F_riD из (20) и решая их относительно F_n Т и DT, получим:

2 А²

= (21)

^аэ

₌ (22)

«э

Подставляя значения а_г (42), F_nT (45) и DT (46) в (43) и решая последнее относительно Ь_г, получаем:

Ь_г = Ь_э. (23)

Подставляя значение а_г и Ь_г из (18) и (23) в уравнение (17), в окончательном виде получаем следующее уравнение гиперболы, находящейся в поликоническом соответствии с эллипсом и выраженное через параметры этого эллипса:

Рис. 9

DT by

= < (19)

Стороны треугольника F_V{DO равны:

Г_Г1О = а_э;

<0D = b₃- (20)

F_ri D - sja^-b^ .

3.2. Второй случай

В плоскости xOz (рис. 6, 8) дана гипербола

(25)

Ей соответствует в плоскости хОу эллипс

(26)

Из формулы (18), подставив в нее значение Ь_э (24), получаем:

а^= ay- by.

(27)

Подставляя в (26) значения а_э (27) и Ь_э (23), получаем следующее уравнение эллипса, находящегося в поликоническом соответствии с гиперболой и выраженного через параметры этой гиперболы:

(28)

X² z² ——+ —= 1 a²+b² b²

3.3. Третий случай

В плоскости хОу дана окружность (рис. 10):

(29)

Из подобия прямоугольных треугольников TD и F_T2TO имеем:

Тогда уравнение (24) полученной гиперболы в плоскости xOz примет следующий вид:

X = 0. (30)

To есть при данном задании окружности совпадет с осью z-

Следовательно, при установленном с помощью множества конусов вращения соответствии данной окружности соответствует вырожденная гипербола — прямая линия, перпендикулярная плоскости окружности и проходящая через ее центр.

3.4. Четвертый случай

В плоскости хОу дана парабола (рис. 7 и 11), каноническое уравнение которой:

У² = 2рх. (31)

Так как множество конусов вращения, имеющих вершины на данной параболе, пересекают плоскость xOz по кривой второго порядка, второй фокус которой является несобственной точкой, то и полученная кривая является параболой.

Исходя из взаимного соответствия кривых, можно и данную в плоскости хОу параболу рассматривать как линию, полученную в результате взаимного пересечения поверхностей множества конусов вращения, вершины которых расположены на параболе, принадлежащей плоскости xOz, что свидетельствует о равенстве этих двух парабол. Равенство парабол, с другой стороны, характеризует одинаковая величина параметра р.

Парабола, соответствующая данной, будет иметь следующее уравнение:

Z²=p(p-2x). (32)

В заключение можно сказать следующее.

Для каждой кривой второго порядка имеется единственное множество конусов вращения, поверхностям которых она принадлежит, причем вершины этого множества конусов образуют другую кривую второго порядка. Таким образом, каждую кривую второго порядка можно рассматривать как общую линию пересечении поверхностей этого единственного множества конусов вращения.

4. Формирование поверхности 4-го порядка

Предлагаемое формирование поверхностей органично вытекает из свойств циклиды Дюпена и основано на материале раздела 3, хоть напрямую к ци-клиде и не относится. Однако предлагаемый материал будет интересен, так как относится к конструированию поверхностей.

Рассмотрим новый подход к образованию поверхностей, при котором заданием каждой поверхности является одна или две плоские линии и центр преобразования, определяющие все параметры поверхности.

В качестве примера рассмотрим вывод уравнения самопересекающейся гиперболической поверхности 4-го и 6-го порядков и ее горла.

Пусть в плоскости хОу дан произвольный первичный эллипс (рис. 12):

Будем считать, что этот эллипс является заданием некоторой новой гиперболической поверхности. Рассмотрим принцип ее образования.

Софокусная первичному эллипсу гипербола, являясь линией очерка новой гиперболической поверхности, принадлежит плоскости xOz и описывается уравнением:

Возьмем систему двух взаимно перпендикулярных прямых, принадлежащих плоскости хОу при условии, что точка их пересечения совпадет с началом координат, и будем вращать эту систему вокруг оси z-Каждая из прямых указанной системы в любой фиксированный момент поворота на некоторый угол а пересечет первичный эллипс в двух точках. Примем за величины большой и малой полуосей промежуточного эллипса величины отрезков а_х = ОА и b_x = ОВ (см. рис. 12).

Рис. 12

Этому промежуточному эллипсу будет соответствовать софокусная ему гипербола, расположенная в плоскости zOA и являющаяся одной из образующих новой гиперболической поверхности. Следовательно, при вращении системы двух взаимно перпендикулярных прямых будем иметь множество эллипсов с переменными параметрами, зависящими от параметров первичного эллипса, которому соответствует множество софокусных гипербол — образующих новой гиперболической поверхности.

Выведем уравнение этой поверхности.

Определим параметры а_х и Ь_х промежуточного эллипса. Подставив координаты точек А и В в уравнение (33), получаем:

H₊H₌1 (36)

a¹ b²

Уравнения прямых OA и OB имеют следующий вид:

x_a=-y_a-, <³⁷>

^Л у ^А’

X_B=^Y_B, (38)

уравнений (41) и (42) в уравнение (46) с последующей подстановкой значений а_х и Ъ_х из уравнений (43) и (44) в уравнение (45). В результате получаем следующее уравнение новой самопересекающейся гиперболической поверхности:

• ----------------------------= 1
• 2 <Л^{а_У а2Ь2(х2 + у2] (47)}

b²x²+a²y² a²x²+b²y² _д²х²₊4²_р2

где х, у — координаты любой точки гиперболы, со-фокусной промежуточному эллипсу.

Решая системы уравнений (35), (37) и (36), (38), определяем значения координат точек А и В.

или

[_a²i²(x⁴ + /)+a⁴/>⁴(x² + /)--Л²(а²-6²)(х²-у²)](х² ₊ ?)- (48)

-[р-0²)(_а²х² ₊ бУ)](х²-/)? = 0.

х²а²Ь²

Г г² У²^Ь²+а²

(39)

Рассматриваемая гиперболическая поверхность (рис. 13) имеет ряд особенностей.

а²Ь² X² ,2 2

У

• (40)
• (41)

,₂ а²Ь²

в ~~— У^+а²

(42)

Значения большой и малой полуосей промежуточного эллипса определяются как гипотенузы прямоугольных треугольников.

Рис. 13

2_a+y²-

tf=X²+Y².

• (43)
• (44)

.2

• *1=1
• (45)

Уравнение гиперболы, софокусной промежуточному эллипсу относительно системы координат x.Oz, имеет следующий вид: где

х²=х² + у². (46)

Линией ее самопересечения является прямая линия, совпадающая с осью z и разделяющая поверхность на две полости. Поверхность обладает симметрией относительно каждой из трех плоскостей проекций. Линия сечения гиперболической поверхности любой плоскостью, параллельной плоскости хОу, имеет форму цифры восемь, расположенную вдоль направления большой оси первичного эллипса. Область существования этой поверхности определяют две касательные к ней плоскости

у = ±х. (49)

Если в уравнение (47) или (48) подставить значение z = 0, то после преобразований имеем следующее уравнение линии горла гиперболической поверхности:

Подставляем значение х. из уравнения (46) в уравнение (45). Затем подставляем значения Х_А и Y_A из уравнений (39) и (40) в уравнение (43), а Х_в и Y_B — из

'х²

2 А² ?-^-х²у² =0. (50)

При сравнении с уравнением лемнискаты Бернулли [4] видно, что уравнение (50) отличается наличием следующего «лишнего» члена:

(а² + Ь² )(х² - у²) + —J-х²у².

а о

Форма кривой, узловая точка, она же — точка перегиба, совпадающая с началом координат, касательные (49) к кривой в этой точке говорят о том, что нами получено уравнение новой лемнискаты.

Если ранее в качестве определителя гиперболической поверхности являлся первичный эллипс, то в общем случае задания новой гиперболической поверхности удобнее пользоваться в качестве определителя двумя кривыми второго порядка, сочетанием кривой второго порядка с выпуклым многоугольником, двумя выпуклыми многоугольниками или двумя произвольными линиями.

Рассмотрим образование гиперболической поверхности при конкретном ее задании двумя эллипсами и на этом примере покажем, что предлагаемый аппарат является более универсальным, открывая большие возможности для конструирования и исследования поверхностей.

Определитель гиперболической поверхности представляет собой эллипсы

• (51)
• (52)

Данные эллипсы характеризуют закономерности изменения величин полуосей промежуточного эллипса. В каждый фиксированный момент вращения прямой ОА_Х вокруг центра О (рис. 14) она пересекает как первый (51), так и второй (52) эллипсы в точках А_х и А₂. Длины отрезков ОА_Х и ОА₂ принимаем за величины большой и малой полуосей промежуточного эллипса, а направление большой оси этого эллипса совпадает с направлением прямой ОА_r

Софокусная промежуточному эллипсу гипербола является одной из образующих новой гиперболической поверхности. При вращении прямой ОА_Х непрерывно изменяются параметры промежуточного эллипса, что влечет за собой изменение параметров образующей гиперболы.

Проекция образующей гиперболы на плоскость хОу совпадает с прямой ОА_Х и может быть выражена любым из следующих уравнений:

*1=^; (53)

Х₂=^Г_2> (54)

где Х_}, Y_x — координаты точки А_х;

Х₂, Y₂ — координаты точки А₂;

х, у — координаты любой точки образующей гиперболы.

Решая системы уравнений (51), (53) и (52), (54), получаем значения координат точек Л, и А₂:

Для определения большой и малой полуосей промежуточного эллипса используются следующие уравнения:

• (OA_l)²=a²=X² + Y²; (59)
• (ОА₂)² =b² = X²+ Y². <⁶⁰>

После подстановки в уравнения (59) и (60) значений координат из уравнений (55)—(58) и выполненных преобразований получим:

,₂ (*²+У²Ж.

х²Ь² + у²а²

_?_(х² + у²)й₂²г>₂²

х²Ь²₊у²а² ‘

• (61)
• (62)

Уравнение промежуточного эллипса в системе координат х.Оу. (рис. 15) имеет следующий вид:

После подстановки значений а² и Ь² из уравнений (61) и (62) получим:

_fl|%²(x² + /) Л²(х²+/) ' (63)

Ь²х² + а² у² Ь₂х² + а₂у²

Уравнение образующей гиперболы (из 24), софо-кусной промежуточному эллипсу в системе координат x.Oz, имеет вид:

Так как х? = х² + у² , а значения а₂, Ь₂ даются уравнениями (61) и (62), то после их подстановки получаем следующее уравнение новой гиперболической поверхности в системе координат xOyz'.

_________1___?____=1.

^а|²6|²___«2*2 ^а2²б2²(^х2+У²) (64)

Й!²х² + а² у² bix² + а²/ ^*2 _+ау

При ? = 0 из уравнения (64) получаем следующее уравнение горла гиперболической поверхности:

(₆₅₎ Ь²х² + а² у² Ь₂х² + а²у²

Форма и размеры как самой гиперболической поверхности (см. рис. 15), так и ее горла полностью зависят от набора параметров а_х, а₂, Ь_х и Ь₂.

Характерной особенностью множества образующих поверхность гипербол является то, что их вершины принадлежат линии горла (65) гиперболической поверхности, а расстояния между фокусами характеризуются величинами больших осей промежуточных эллипсов, т.е. фокусы расположены на одном из заданных первичных эллипсов.

Рассмотрим ряд частных случаев образования гиперболической поверхности для некоторых конкретных зависимостей параметров данных первичных эллипсов.

Случай 1

Пусть а_х = а₂, = Ь₂.

Тогда уравнение (64) примет следующий вид:

х² + у² = 0. (66)

Действительная гиперболическая поверхность вырождается в прямую линию, совпадающую с осью z, а горло поверхности — в точку, совпадающую с началом координат.

Случай 2

Пусть а, = /^ = Я,; я₂ = />₂ = Т?₂.

Данные первичные эллипсы представляют собой концентрические окружности.

После подстановки в (64) значений параметров и выполненных преобразований получаем:

х²+У²_?_ _{= |} (67)

Я,²-Я² Я²

Гиперболическая поверхность является однополостным гиперболоидом вращения, уравнение линии горла которого имеет следующий вид:

x²+y²=R²-R². (68)

Случай 3

Пусть а_х = Ь₁ = оо А; а₂ = Ь₂ = со.

Если под знаком оо понимать бесконечно большую, но конечную величину, то уравнение (64) примет следующий вид:

X² + у² = R₂. (69)

Гиперболическая поверхность является цилиндром вращения.

Случай 4

Пусть О2=-т=; *2=-7=-

>/2 V2

Уравнение (65) горла поверхности примет вид:

Горло гиперболической поверхности является эллипсом, тождественным второму данному первичному эллипсу, а сама поверхность — однополостным гиперболоидом.

Случай 5

Параметры данных эллипсов связаны следующим ^а1 ^а2 отношением: ~ ⁼ ~- Тогда при данных величинах

параметров будем иметь b₂ = -^L^-. После подстановки в уравнение (65) имеем:

₊____У-____=1.

^й'²-^²

^а1

(71)

Горло поверхности представляет собой эллипс, а сама поверхность — однополостный гиперболоид.

Случай 6

Пусть а₂ = Q,b₂ = 0.

Линия горла поверхности совпадает с первым данным эллипсом. Сама гиперболическая поверхность тождественна плоскости за исключением множества точек, расположенных внутри первого данного эллипса.

В общем случае горло гиперболической поверхности можно представить как сочетание двух замкнутых линий, каждая из которых имеет форму цифры восемь. Одна из них расположена вдоль оси х, а другая — вдоль оси у (см. рис. 15, горизонтальная проекция). Обе кривые в узловой точке, она же — точка перегиба, она же — начало координат, имеют две общие касательные прямые, которые проходят и через точки пересечения двух первичных эллипсов. Уравнение касательных прямых имеет следующий вид:

_{у = ±}*А (72)

а^Ь^-Ь?

При а_х = Ь₂ и а₂ = Ь_х касательными являются биссектрисы углов между осями координат х и у.

Если уменьшать величину полуоси Ь₂ одного из первичных эллипсов, то при этом уменьшается и угол между общими касательными с одновременным уменьшением длины восьмеркообразной кривой, расположенной вдоль оси у. В момент Ь₂ = Ь_х обе касательные сливаются в одну прямую, совпадающую с осью у, а у горла поверхности остается только та ее составляющая, которая расположена вдоль оси х (аналогичную картину будем видеть при уменьшении только одного параметра а_х). При дальнейшем уменьшении параметра Ь₂ исчезает узловая точка. Кривая приобретает гантелеобразную, а затем овальную форму. Как частный случай при соблюдении условий, описываемых уравнениями (70) и (71), линия горла поверхности будет иметь форму эллипса. Если оба первичных эллипса — окружности, то и горло поверхности будет окружностью (68).

Все точки, принадлежащие горлу гиперболической поверхности, при ее задании двумя первичными линиями и центром преобразования должны удовлетворять следующей закономерности:

ОА¹=ОА^-ОА] <⁷³)

или

x² + y² = Xl + Y?-Xl-Yf. (74)

Выражение (73) является основанием простого геометрического построения любой точки А горла гиперболической поверхности, для чего необходимо определить величину отрезка ОА как катета прямоугольного треугольника при известных его гипотенузе ОА₁ и другом катете ОА₂.

Рассмотрим пример, в котором вместо первичных эллипсов гиперболическая поверхность будет задана двумя параллельными оси у прямыми, имеющими следующее уравнения:

х = (75)

х = а₂, (76)

где а_х > а₂.

Центр преобразования расположен в начале координат.

В этом случае уравнения, характеризующие большую (75) и малую (76) оси промежуточного эллипса, будут иметь следующий вид:

• (77)
• (78)

Уравнение гиперболической поверхности имеет вид:

Горло поверхности характеризуется уравнением:

х = ±7а₁²-а₂². (80)

Горлом являются две прямые, параллельные оси у.

Изложенный принцип моделирования поверхностей предусматривает геометрическое или аналитическое задание определителя поверхности, который представляет собой принадлежащие одной из плоскостей проекций центр преобразования и две линии, определяющие закономерность изменения параметров множества промежуточных кривых второго порядка. Множество кривых, софокусных промежуточным кривым, образуют моделируемую поверхность.

Здесь было представлено образование гиперболических поверхностей, однако предложенный принцип конструирования действителен также для эллиптических и параболических поверхностей.

Вариантом определителя поверхности может являться одна первичная линия и центр преобразования. Например, окружность и центр преобразования, не совпадающий с центром этой окружности.

Вместо центра преобразования в определителе может быть использована прямая или кривая линия. Тогда за направление преобразования можно взять множество нормалей к этой линии или множество параллельных прямых заданного направления.

Задание поверхности определителем позволяет однозначно фиксировать ее положение в пространстве с помощью одной проекции определителя. Следовательно, поверхность может быть задана одним изображением с указанием характера образующей.

Литература

• 1. Аргунов Б.И., Балк М.Б. Геометрические построения на плоскости. М.: Учпедгиз, 1957.
• 2. Берже М. Геометрия. Т. 1—2. М.: Мир, 1984.
• 3. Выгодский М.Я. Аналитическая геометрия. М.: Физматгиз, 1963.
• 4. Гильберт Д., Кон-Фоссен С. Наглядная геометрия. М.-Л.: Объединенное научно-техническое издательство НКТП СССР, Главная редакция общетехнической литературы и номографии, 1936.
• 5. Грязнов Я.А. Отсек каналовой поверхности как образ цилиндра в расслояемом образовании // Геометрия и графика, 2012. Т. 1. № 1. С. 17-19. DOI: 10.12737/2077.
• 6. Иванов Г.С. Конструктивный способ исследования свойств параметрически заданных кривых// Геометрия и графика, 2012. Т. 2. № 3. С. 3-6. DOI: 10.12737/6518.
• 7. Клейн Ф. Высшая геометрия. М.-Л.: ГОНТИ, 1939.
• 8. Кривошапко С.И., Иванов В.Н. Энциклопедия аналитических поверхностей. М.: ЛИБРОКОМ, 2010.
• 9. Левицкий В.С. О теме «Сопряжения» в курсе «Инженерная графика» // Сборник научно-методических статей по начертательной геометрии и инженерной графике. М.: Высшая школа, 1980. С. 44-51.
• 10. Надолинный В.А. Аналитические методы в конструировании поверхностей. Киев, КПИ, 1981.
• 11. Сальков И.А. О некоторых закономерностях, имеющих место при касании сфер // Прикладная геометрия и инж. графика. Вып. 32. Киев: Буд1вельник, 1981. С. 113-115.
• 12. Сальков И.А. Об особенностях оси торовой поверхности переменного радиуса // Прикладная геометрия и инж. графика. Вып. 33. Киев: Буд1вельник, 1982. С. 79—80.
• 13. Сальков И.А. Геометрические параметры грохота // Прикл. геометрия и инж. графика. Киев: Буд1вельник, 1987. Вып. 43. С. 69-71.
• 14. Сальков И.А. Геометрическое и математическое моделирование виражных участков автомобильных дорог / Труды МАДИ: Вычислительная геометрия и машинная графика в задачах САПР автомобилестроения и автомобильных дорог. М., 1989. С. 4-9.
• 15. Сальков И.А. Геометрическое и программно-математическое моделирование линейных и поверхностных форм автомобильных дорог — дис. ... канд. техн. наук. М.: МАДИ, 1990.
• 16. Сальков И.А. Аналитическое представление проектных горизонталей поверхностных форм автомобильных дорог / Актуальные проблемы градостроительства и жилищно-коммунального комплекса. Международная научно-практическая конференция 15-16 мая 2003 г. М.: МИКХиС, 2003. С. 61-62
• 17. Сальков Н.А. Кинематическое соответствие вращающихся пространств // Геометрия и графика, 2013. Т. 1. № 1. С. 4-10. DOI: 10.12737/2074.
• 18. Сальков Н.А. Графо-аналитическое решение некоторых частных задач квадратичного программирования // Геометрия и графика, 2014. Т. 2. № 1. С. 3-8. DOI: 10.12737/3842.
• 19. Сальков Н.А. Параметрическая геометрия в геометрическом моделировании // Геометрия и графика, 2014. Т. 2. № 3. С. 7-13. DOI: 10.12737/6519.
• 20. Сальков Н.А. Циклиды Дюпена и их применение. Часть 1 // Геометрия и графика, 2015. Т. 3. № 1. С 16-25. DOI: 10.12737/10454.
• 21. Четверухин Н.Ф. Проективная геометрия. М.: Учпедгиз, 1961. - 360 с.
• 22. Энциклопедия элементарной математики. Книга четвертая — Геометрия. М.: Наука, 1966.
• 23. Якубовский А.М. Исследования аналитического метода задания циклид Дюпена при выявлении их из конгруэнций окружностей // Труды УДН. Т. 53. Вып. 4. Прикладная геометрия. М., 1971. С. 26-40.
• 24. Dupin Ch. Developpements de geometrie, P., 1813.

References

• 1. Argunov B.I., Balk M.B. Geometricheskie postroenija na ploskosti [Geometric constructions on the plane). Moscow, Uchpedgiz Publ., 1957. (in Russian).
• 2. Berzhe M. Geometrija [The geometry). V. 1—2. Moscow, Mir Publ., 1984.
• 3. Vygodskij M Ja. Analiticheskaja geometrija [Analytical geometry). Moscow, Fizmatgiz Publ., 1963. 523 p. (in Russian).
• 4. Gil'bert D., Kon-Fossen S. Nagljadnaja geometrija [Visual geometry). Moscow, Leningrad, Obyedinennoe nauchno-tehnicheskoe izdatel'stvo NKTP SSSR, Glavnaja redakcija obshhetehnicheskoj literatury i nomografii Publ., 1936.
• 5. Grjaznov Ja.A. Otsek kanalovoj poverhnosti kak obraz cilin-dra v rasslojaemom obrazovanii | Bay canal surface as a cylinder in rassloennom education). Geometrija i grafika [Geometry and graphics], 2012, v. l,i. l,pp. 17-19. DOI: 10.12737/2077. (in Russian).
• 6. Ivanov G.S. Konstruktivnyj sposob issledovanija cvojstv parametricheski zadannyh krivyh [Constructive way to study the properties of parametrically defined curves). Geometrija igrafika [Geometry and graphics], 2012, v. 2, i. 3, pp. 3-6. DOI: 10.12737/6518. (in Russian).
• 7. Klein F. Vysshaja geometrija [Higher geometry], Moscow, Leningrad, GONTI Publ., 1939.
• 8. Krivoshapko S.N., Ivanov VN. Enciklopedija analiticheskih poverhnostej [Encyclopedia of analytical surfaces]. Moscow, LIBROKOM Publ., 2010. (in Russian).
• 9. Levickij V.S. О teme «Soprjazhenija» v kurse «Inzhenernaja grafika» [About "Mates" in the course "Engineering graphics" |. Sbornik nauchno-metodicheskih statejpo nachertatel'noj geometrii i inzhenernoj graftke [Collection of scientific and methodological articles on descriptive geometry and engineering graphics], Moscow, Vysshaja shkola Publ., 1980, pp. 44—51. (in Russian).
• 10. Nadolinnyj V.A. Analiticheskie metody v konstruirovanii poverhnostej [Analytical methods in the design of surfaces], Kiev, KPI Publ., 1981.
• 11. Salkov N.A. О nekotoryh zakonomernostjah, imejushhih mesto pri kasanii sfer [Some of the regularities that occur when the spheres touch]. Prikl. geometry a i inzh. graftka [Applied Geometry and Engineering Graphics]. Kiev, Budivel'nik Publ., 1981, i. 32, pp. 113-115. (in Russian).
• 12. Salkov N.A. Ob osobennostjah osi torovoj poverhnosti pere-mennogo radiusa [About the features of the axis of the torus sleeve surface of variable radius]. Prikl. geometrija i inzh. graftka. [Applied Geometry and Engineering Graphics]. Kiev, Budivel'nik Publ., 1982, i. 33, pp. 79-80. (in Russian).
• 13. Salkov N.A. Geometricheskie parametry grohota [The geometrical parameters of the rumble]. Prikl. geometrija i inzh- Graftka [Applied Geometry and Engineering Graphics]. Kiev, Budivel'nik Publ., 1987, i. 43, pp. 69-71. (in Russian).
• 14. Salkov N.A. Geometricheskoe i matematicheskoe modeli-rovanie virazhnyh uchastkov avtomobil'nyh dorog [Geometric and mathematical modeling of curved sections of roads]. Trudy MADI: Vychislitel'naja geometrija i mashinnaja graftka v zadachah SAPR avtomobilestroenija i avtomobil'nyh dorog [Proceedings MADI: Computational geometry and computergraphics in the CAD tasks automobile and highways]. Moscow, 1989, pp. 4—9. (in Russian).
• 15. Salkov N.A. Geometricheskoe iprogrammno-matematicheskoe modelirovanie linejnyh i poverhnostnyh form avtomobil'nyh dorog. Kand. Diss. [Geometric and mathematical modelling of linear and superficial forms of roads. Cand. Diss.]. Moscow, MADI Publ., 1990. (in Russian).
• 16. Salkov N.A. Analiticheskoe predstavlenie proektnyh gori-zontalej poverhnostnyh form avtomobil'nyh dorog [Analytical representation of design contours to surface shapes of roads]. Aktual'nye problemy gradostroitel'stva i zjiilishhno-kommunaTnogo kompleksa. MezJtdunarodnaja nauchno-prakticheskaja kon-ferencija 15-16 maja 2003 g. [Actual problems of urban development and housing and communal services. International scientific-practical conference on 15-16 May 2003]. Moscow, MIKHiS Publ., 2003, pp. 61-62. (in Russian).
• 17. Salkov N.A. Kinematicheskoe sootvetstvie vrashhajush-hihsja prostranstv [Kinematic compliance of rotating spaces]. Geometrija i graftka [Geometry and graphics], 2013, v. 1, i. 1, pp. 4-10. 10.12737/2074. (in Russian).
• 18. Salkov N.A. Grafo-analiticheskoe reshenie nekotoryh chastnyh zadach kvadratichnogo programmirovanija [Graph-analytic Solution of Some Special Problems of Quadratic Programming]. Geometrija i graftka [Geometry and graphics]. 2014, v. 2, i. 1, pp. 3-8. DOI: 10.12737/3842. (in Russian).
• 19. Salkov N.A. Parametricheskaja geometrija v geometricheskom modelirovanii [Parametric Geometry in Geometric Modeling]. Geometrija i grafika [Geometry and graphics], 2014, v. 2, i. 3, pp. 7-13. DOI: 10.12737/6519. (in Russian).
• 20. Salkov N.A. Ciklidy Djupena i ih primenenie. Chast' 1 [Properties of Cyclide Dyupen and Their Application. Part 1]. Geometrija i grafika [Geometry and graphics], 2015, v. 3, i. 1, pp. 16-25. DOI: 10.12737/10454. (in Russian).
• 21. Chetveruhin N.F. Proektivnajageometrija [Projective geometry]. Moscow, Uchpedgiz Publ., 1961. (in Russian).
• 22. Enciklopedija jelementarnoj matematiki. Kniga chetver-taja — Geometrija [Encyclopaedia of elementary mathematics. Book four]. Moscow, Nauka Publ., 1966. (in Russian).
• 23. Jakubovskij A.M. Issledovanija analiticheskogo metoda zadanija ciklid Djupena pri vyjavlenii ih iz kongrujencij okruzhnostej. Trudy UDN. V. 53, i. 4, Prikladnaja geometrija. Moscow, 1971, pp. 26—40. (in Russian).
• 24. Dupin Ch. Developpements de geometrie, Paris, 1813.

МЕТОДИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ ПРЕПОДАВАНИЯ

УДК 515.513.75/77 DOI: 10.12737/12165

В.И. Серегин

Канд. техн, наук, зав. кафедрой,

Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана,

Россия, 105005, г. Москва, ул. 2-я Бауманская, д. 5, стр. 1

Г.С. Иванов

Д-р техн, наук, профессор,

Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана,

Россия, 105005, г. Москва, ул. 2-я Бауманская, д. 5, стр. 1

Л.С. Сенченкова

Канд. техн, наук, доцент,

Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана,

Россия, 105005, г. Москва, ул. 2-я Бауманская, д. 5, стр. 1

И.Ф. Боровиков

Канд. техн, наук, доцент,

Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана,

Россия, 105005, г. Москва, ул. 2-я Бауманская, д. 5, стр. 1

• [1] X1 + у1 — О или у1 = —X1.
• [2] О2 = JXj + 2Х3yja1-b1 + а1 -b1 + ^-а1 ~Xj. V а а После преобразований получаем в окончательном виде: ^1О2=а + ^а1-Ь1. (15) Тождественность формул (12) и (14), а также тождественность формул (13) и (15), свидетельствуют о том, что данная сфера О2, R3 с центром, принадлежащим заданному эллипсу, действительно касается очерковых окружностей циклиды Дюпена и, следовательно, является одной из множества образующих сфер, огибаемых циклидой Дюпена. Аналогично доказывается принадлежность данной сферы к множеству сфер, образующих вторую ци-клиду Дюпена (рис. 5). 2 В заключение можно сделать следующий вывод. Эллипс с произвольным соотношением величин большой и малой осей в качестве линии центров множества образующих сфер и одной из образующих сфер являются заданием двух циклид Дюпена.