МЕТОДИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ ПРЕПОДАВАНИЯ

Геометрические преобразования в начертательной геометрии и инженерной графике

Аннотация. Настоящая публикация посвящена анализу и обоснованию вопросов преподавания одного из важнейших разделов курса «Начертательная геометрия» «Геометрические преобразования». На основе критического анализа выдвигаются предложения по совершенствованию методики изложения этого раздела на занятиях и в учебной литературе, а также расширению области применения геометрических преобразований для решения позиционных и метрических задач, моделирования поверхностей, организации научно-исследовательской работы студентов. Предлагается внести ряд значительных поправок в термины и определения, используемые в существующих курсах начертательной геометрии. Делается вывод и вносятся соответствующие предложения о целесообразности согласования преподавания преобразований движения в курсах аналитической и начертательной геометрий. Это обеспечит междисциплинарные связи, позволит студентам убедиться в полезности и целесообразности сочетания аналитических и графических способов решения геометрических задач. Реализация предложений, сформулированных в статье, внесет свой вклад в повышение уровня инженерногеометрической подготовки и, как следствие, качества подготовки специалистов.

Ключевые слова: начертательная геометрия, инженерная графика, геометрические преобразования, моделирование поверхностей, позиционные и метрические задачи, научно-исследовательская работа студентов.

V.L Seregiii

Ph.D. of Engineering, Head the Department, Bauman Moscow State Technical University, 5/1, 2 Baumanskaya Str., 105005, Moscow, Russia

G.S.Ivanov

Doctor of Engineering, Professor,

Bauman Moscow State Technical University, 5/1, 2 Baumanskaya Str., 105005, Moscow, Russia

L.S. Senchenkova

Ph.D. of Engineering, Associate Professor,

Bauman Moscow State Technical University,

5/1, 2 Baumanskaya Str., 105005, Moscow, Russia

I.F. Borovikov

Ph.D. of Engineering, Associate Professor, Bauman Moscow State Technical University, 5/1, 2 Baumanskaya Str., 105005, Moscow, Russia

Geometric Transformations in Descriptive Geometry And Engineering Graphics

Abstract. The publication is devoted to the analysis and justification of questions of teaching one of the most important sections of the course "Descriptive geometry" "Geometrical transformations". On the basis of critical analysis suggestions are made for improvement of a presentation technique of this section in the classroom and in academic literature, as well as for extension of application of geometrical transformations for the solution of position and metric tasks, surfaces modelling, and also for design of complex engineering forms that meets certain preassigned conditions.lt is offered to make a number of considerable amendments to the terms and definitions used in the existing courses of descriptive geometry. Some conclusions are made, and the appropriate proposals on feasibility of coordination of movementtransformationteachingin the courses of analytical and descriptive geometry are made. It will provide interdisciplinary communications and allow students to be convinced in usefulness and expediency of a combination of analytical and graphic ways of geometric tasks solution. Implementation of these suggestions contained in the article will contribute to a real transformation of engineering and geometrical training and as a consequence, the quality of training specialists.

Keywords: descriptive geometry, engineering geometry, geometrical transformations, modeling of surfaces interfacing a surface, position and metric tasks, scientific and research work of students.

Введение. Геометрические преобразования входят в число основных разделов начертательной геометрии и предназначены для упрощения решения позиционных и метрических задач. Они широко используются в инженерной графике при построении основных, дополнительных, местных видов, а также вынесенных сечений. Создание твердотельных моделей в компьютерной графике способом «выдавливания» [ 1; 5; 13] основано на последовательном выполнении их сечений как метрических, аффинных, проектив-но зависимых от исходного контура. В связи с этим настоящая публикация посвящена анализу и обоснованию вопросов преподавания одного из важнейших разделов курса «Геометрические преобразования», а именно:

• • критическому анализу содержания и методики преподавания этого раздела в существующих учебниках начертательной геометрии;
• • предложениям авторов статьи к изложению материала указанной темы с учетом современных требований подготовки инженерных кадров.

Анализ изложения раздела «Геометрические преобразования». В существующих курсах начертательной геометрии геометрические преобразования преподносятся как способы преобразования чертежа. Некорректный термин «преобразование чертежа» дал основание авторам учебного пособия [6] использовать некорректные формулировки, например:

• • преобразовать чертеж прямой общего положения в чертеж прямой уровня и (или) проецирующей прямой;
• • преобразовать чертеж плоскости общего положения в чертеж проецирующей плоскости и (или) плоскости уровня.

Они противоречат определению предмета начертательной геометрии, изучающей способы решения пространственных (стереометрических) задач на чертеже. Такой же уровень некомпетентности демонстрируется в изложении способа замены плоскостей проекций, точнее, принятой системы обозначений в учебнике [4] и в его компиляциях. Использование новых плоскостей проекций под порядковыми номерами 3, 4,... противоречит общепринятым: в трехмерном пространстве с декартовой системой координат Oxyz связаны три плоскости проекций П, = Оху, П₂ = Oxz, П₃ = Oyz- Плоскостей проекций в трехмерном пространстве с другими порядковыми номерами не может быть по определению, ибо преобразование одной системы координат Oxyz в другую, например O'x'y'z' или Oxyz, , не меняет число осей координат и, как следствие, число плоскостей проекций. Толкование В.О. Гордоном [4], что исходная система координат (плоскостей проекций П₍, П₂) остается неизменной, а дополнительные плоскости проекций П₃, П₄, ... вводятся лишь для упрощения алгоритмов решения задач, не выдерживает критики с позиций теории преобразований [10; 12].

Вторая глава «Теория преобразований» книги Ф. Клейна «Высшая геометрия» [12] начинается с двоякого толкования уравнений преобразования (1) трехмерного пространства:

• 1. В системе уравнений (1) X, Y, Z — координаты некоторой точки А пространства относительно системы отнесения Oxyz, а X, Y, Y — координаты_той же точки А относительно системы отнесения Oxyz (рис. 1). В этом случае уравнения (1) называются формулами преобразования координат, т.е. одна система координат преобразуется в другую, а фигура остается в покое.
• 2. В системе уравнений (1) X, Y,Z — координаты некоторой точки А, а X, Y, Y — координаты точки А

Рис. 1. Толкование уравнений преобразования трехмерного пространства

относительно данной системы отнесения Oxyz = Oxyz ? В этом случае уравнения (1) называются формулами преобразования пространства, т.е. одна фигура преобразуется в другую, а система координат остается в покое.

В зависимости от такого толкования функций (1) способы преобразования делятся на две группы.

• 1. Преобразования системы координат:
  • а) способ замены плоскости проекций;
  • б) способ дополнительного проецирования.
• 2. Преобразование пространства:
  • а) способ плоскопараллельного движения;
  • б) способ вращения вокруг проецирующей прямой;
  • в) способ вращения вокруг прямой уровня.

Такое толкование уравнений (1) подчеркивает диалектическое единство аналитического (первое) и синтетического (второе) представлений геометрических преобразований пространства. В учебнике [8] это подтверждено выводом формул преобразования способов замены плоскостей проекций и плоскопараллельного движения.

Завершая краткий анализ изложения темы «Геометрические преобразования» в курсах начертательной геометрии, уделим внимание двум вопросам.

1. Нужно ли в современных условиях сокращения часов на изучение учебного курса излагать все более или менее известные способы преобразования на чертеже?

Раньше набор преобразований определялся простотой алгоритмов решения тех или иных задач, удобством их реализации на ограниченной плоскости чертежа. В настоящее время на первое место в соответствии с федеральными государственными образовательными стандартами высшего профессионального образования выдвигается требование выявления и установления межпредметных связей [2; 3; 9; 15]. В свете этого изучаемым в курсе аналитической геометрии способам параллельного переноса, вращения и композиции переноса с вращением в начертательной геометрии соответствуют:

• • способ замены плоскостей проекций (первое толкование уравнений (1));
• • способы вращения и плоскопараллельного перемещения (второе толкование уравнений (1).
• 2. Можно ли вращение вокруг линии уровня называть способом?

Этот вопрос возникает естественным образом: в отличие от других способов вращение вокруг линии уровня применяется в основном лишь для преобразования плоскости общего положения в плоскость уровня. На первый взгляд кажется, что эта задача, решаемая другими способами в два этапа, здесь решается проще, т.е. в один этап. На самом деле под вращением ™ вокруг линии уровня скрывается композиция двух преобразований (рис. 2):

• 1) плоскость а(Л5С) общего положения заменой плоскостей проекций П₂ —>П₂ преобразуется в проецирующую плоскость а₂ (АВС);
• 2) плоскость а₂ (АВС} вращением вокруг фронтально проецирующей прямой i(i_x =h_x, i_x = Л₂) преобразуется в плоскость уровня а(А₂В₂С₂ .

Рис. 2. Способ вращения вокруг линии уровня как композиция двух разнотипных преобразований

Таким образом, так называемым способом вращения вокруг линии уровня плоскость а(АВС) общего положения преобразуется в плоскость уровня о.₂(АВС^ композицией двух разнотипных преобразований: замены плоскостей проекций и вращения вокруг проецирующей прямой. В других случаях эта задача решается композицией двух однотипных преобразований.

В результате, как и следовало ожидать, имеем полное единство в толковании преобразований движения в курсах аналитической и начертательной геометрий. Это подтверждает полезность и целесообразность параллельного решения геометрических задач аналитическими и синтетическими способами [7; 9; 15].

Геометрические преобразования в курсе начертательной геометрии. Рассмотрим области применения геометрических преобразований в начертательной геометрии.

• 1. Применение геометрических преобразований для решения позиционных и метрических задач с участием кривых линий и поверхностей. Идея решения такого рода задач состоит в предварительном преобразовании исходных данных (геометрические фигуры, условия, параметры), они с помощью определенного преобразования, выбранного исходя из условия задачи, преобразуются в новые данные, которые проще по сравнению с исходными. Например, кривые и поверхности второго порядка преобразуются соответственно в окружность, сферу, цилиндрическую поверхность. Задача решается в упрощенном (преобразованном) варианте по известному алгоритму. Обратным преобразованием решение задачи отображается на исходные данные. Примеры решения таких задач приводятся в работе [8, с. 334—336].
• 2. Вторая область применения геометрических преобразований связана с моделированием поверхностей в методе двух изображений [10]. В начертательной геометрии и инженерной практике рассматривается кинематический способ образования поверхностей и задание их проекциями геометрической части определителя или в случае сложных (технических) поверхностей — линейным или сетчатым каркасом. Теоретически (стык начертательной и алгебраической геометрий) поверхность моделируется соответствием, возникающим между полями первых и вторых проекций ее точек на плоскостях проекций, в частности, между полями горизонтальных и фронтальных проекций.

Такой способ моделирования поверхностей достаточно сложен и требует владения смежными разделами геометрии (теории кривых и поверхностей, теории нелинейных, в частности бирациональных соответствий). Однако сложность компенсируется возможностью исследования свойств «в целом» моделируемых поверхностей. На изучаемой поверхности можно построить семейства простейших линий, определить характер их инциденций и т.д. Эти свойства важны при решении ряда прикладных задач проектирования и расчета оболочек. Таким образом, возникает взаимосвязь методов начертательной, алгебраической и дифференциальной геометрий в решении прикладных задач.

3. Важной областью применения геометрических преобразований является научно-исследовательская работа студентов (НИРС) по начертательной геометрии. В условиях сокращения учебных часов эта форма организации учебного процесса является актуальной. Наиболее доступными пониманию студентов являются расслояемые нелинейные преобразования. Для их задания вся плоскость заполняется прямыми некоторого пучка (F_o) и на каждой прямой задается свой проективитет. На начальных стадиях исследований в качестве проективных преобразований можно выбирать ортогональные преобразования, например центральную симметрию. Далее можно усложнить задачу, предложив студентам исследовать случаи нелинейных преобразований, расслаивающихся на проективитеты в общем виде. Любая поверхность может рассматриваться как совокупность кривых. Поэтому тематика НИРС, посвященная кривым, непосредственно связана с вопросами моделирования поверхностей. Перед студентами ставится задача конструирования линий дискретного каркаса поверхностей и разработки способов его уплотнения. Решение этой задачи возможно при расслоении пространства плоскостями пучка с несобственным носителем и задании в каждой плоскости нелинейных инволюций. В качестве примера студенческих исследований, связанных с нелинейными инволюциями, можно привести работу [14].

После исследования студентами теоретических вопросов нелинейных преобразований необходимо на основе полученных результатов решить конкретную прикладную задачу. Она может быть посвящена конструированию всевозможных аэро- и гидродинамических профилей, осей трубопроводов, шпангоутов, линий-параметроносителей, поверхностей лопаток турбин, воздухозаборников и т.д. При этом желательно использовать вычислительную технику, что позволит значительно ускорить решение задачи и получить наиболее приемлемый результат. В работе [11] предлагается компьютерный способ конструирования технических кривых, основанный на нелинейных инволюциях с пучками слабоинвариантных окружностей. Прообразами моделируемых кривых являются окружности (рис. 3). На экране дисплея отображаются прообраз, образ и уравнение получаемой кривой. Эта программа может быть использо-

В разделе «Геометрическое черчение» при построении сопряжений также полезно использовать преобразования. Например, на рис. 4 показано построение окружности /, проходящей через точки N и М и касающейся прямой t.

Точное построение окружности 7 основано на применении гомотетии:

• • в качестве центра S гомотетии принята точка пересечения серединного перпендикуляра и отрезка MN с данной касательной t;
• • из произвольной точки О' е п как из центра описана вспомогательная окружность /', касающаяся прямой / в точке Т'(О'Т' 17);
• • точки М, М', где М' = SM п /', определяют коэффициент к = гомотетии, в которой точке Т

SM'

соответствует искомая точка Ткасания окружности 7 с прямой 7.

Forml

—100

Уравнение кривой:

• 2890000xA2+5780000y+12S0xA2*yA2₊36000000xA2+1705032704x-600000x*yA2
• -50000000ул2+2500уА4-1562500хА2+-1794967296=0

Большая/Малая полуось

|5---------1 |5---------1

Х-60

Рис. 3. Пример конструируемой кривой

вана при конструировании реальных технических форм.

Использование геометрических преобразований в инженерной графике. Общеизвестно применение способа замены плоскостей проекций при построении дополнительных и местных видов, вынесенных сечений. При построении повернутых изображений, ломаных разрезов используется способ вращения вокруг проецирующей прямой.

В средней школе при решении стереометрических задач на монопроекционных изображениях, которые можно считать аналогами аксонометрических проекций, 52)-моделей, широко применяются линейные преобразования (гомотетия, подобие, сдвиг, осевая и центральная симметрии).

Задачи такого типа в последние годы регулярно встречаются на Московской и Всероссийской олимпиадах по начертательной геометрии. Примером может являться задача, предлагаемая на Московской городской олимпиаде, в которой, кроме построения профильной проекции тела Ф и выполнения профильного разреза, необходимо построить наивысшую точку Л, одновременно принадлежащую Ф и плоскости а, а также точки В и С, принадлежащие Ф и а, удаленные от П, на 15 мм (рис. 5). При решении задачи используется способ замены плоскостей проекций: фронтальная плоскость проекций П₂ заменена на П₂ • Особенностью задачи является выявление тесной взаимосвязи начертательной геометрии и проекционного черчения: студент должен не только

Рис. 4. Построение окружности, проходящей через две точки и касающейся заданной прямой

построить линии перехода, но и определить их характеристики.

Заключение. Выполненный в статье анализ преподавания раздела «Преобразования чертежа» в курсе начертательной геометрии позволил авторам обосновать предложения по изменению его содержания в современных условиях.

• 1. С учетом рекомендаций ФГОС третьего поколения в части установления междисциплинарных связей предлагается согласовать преподавание преобразований движения в курсах аналитической и начертательной геометрий. Это позволит студентам убедиться в полезности и целесообразности сочетания аналитических и графических способов решения геометрических задач.
• 2. Области применения геометрических преобразований необходимо расширить:
  • а) для решения позиционных и метрических задач с участием кривых линий и поверхностей;
  • б) моделирования поверхностей в методе двух изображений;

Рис. 5. Использование способа замены плоскостей проекций при решении задачи, предлагаемой на Московской городской олимпиаде по начертательной геометрии 2015 г.

в) организации научно-исследовательской работы студентов.

Реализация этих предложений внесет свой вклад в улучшение качества инженерно-геометрической подготовки и, как следствие, качества подготовки специалистов.

Литература

• 1. Асекритова С. В. Специфика разработки конструкторской документации в условиях автоматизации производства // Геометрия и графика. 2013. Т. 1. № 3—4. С. 36—39. DOI: 10.12737/2131.
• 2. Волошинов Д.В. О перспективах развития геометрии и ее инструментария // Геометрия и графика. 2014. Т. 2. № 1. С. 15-21. DOI: 10.12737/3844.
• 3. Вышнепольский В.И., Сальков Н.А. Цели и методы обучения графическим дисциплинам // Геометрия и графика. 2013. Т. 1. № 2. С. 8-9. DOI: 10.12737/ 777.
• 4. Гордон В.О., Семенцов-Огиевский М.А. Курс начертательной геометрии. М.: Высшая школа, 2000.
• 5. Гузненков В.Н., Журбенко П.А. Autodesk Inventor 2012. Трехмерное моделирование деталей и создание чертежей. М.: ДМК Пресс, 2012.
• 6. Жирных Б.Г., Новоселова Л.В. Рабочая тетрадь для записи лекций по начертательной геометрии. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2013.
• 7. Иванов Г.С. Компетентностный подход к содержанию курса начертательной геометрии // Геометрия и графика. 2013. Т. 1. № 2. С. 3-5. DOI: 10.12737/775.
• 8. Иванов Г.С. Начертательная геометрия. М.: Изд-во МГУЛ, 2012.
• 9. Иванов Г.С. Перспективы начертательной геометрии как учебной дисциплины // Геометрия и графика. 2013. Т. 1. № 1. С. 26-27. DOI: 10.12737/467.
• 10. Иванов Г.С. Теоретические основы начертательной геометрии. М.: Машиностроение, 1998.
• 11. Игнатьев Е.П. Разработка метода геометрического моделирования технических форм изделий машиностроительного производства. Сб. материалов IV Международной научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых. Томск: Томский политехнический университет, 2010. С. 327—329.
• 12. Клейн Ф. Высшая геометрия. М.: Либроком, 2009.
• 13. Новожилова С.А., Егорычева Е.В. Информационное обеспечение в современных технологиях обучения графическим дисциплинам // Геометрия и графика. 2014. Т. 1. № 3-4. С. 33-35. DOI: 10.12737/2130.
• 14. Пятанин П.С., Владимирова В.В. Нелинейные инволюции как базовый способ геометрического моделирования сложных технических форм // Молодежный научно-технический вестник. 2014. № 11. URL: http://sntbul. bmstu.ru/doc/741128.html (дата обращения 25.05.2014).
• 15. Серегин В.И., Иванов Г.С., Дмитриева И.М., Муравьев К.А. Междисциплинарные связи начертательной геометрии и смежных разделов высшей математики // Геометрия и графика. 2014. Т. 2. № 3-4. С. 8-12. DOI: 10.12737/2124.

References

1. Asekritova S.V. Specifika razrabotki konstruktorskoj doku-mentacii v uslovijah avtomatizacii proizvodstva [Specifics of design documentation development in production automation

conditions], Geometrija igrafika [Geometry and Graphics],

• 2013, v. 1, i. 3—4, pp. 36—39. DOI: 10.12737/2131. (in Russian).
• 2. Voloshinov D.V. О perspektivah razvitija geometrii i ее instrumentarija [About Prospects of Development of Geometry and Its Tools], Geometrija igrafika. [Geometry and Graphics],
• 2014, v. 2, i. 1, pp. 15—21. DOI: 10.12737/3844. (in Russian).
• 3. Vyshnepolskiy V.I., Salkov N.A. Celi i metodi obucheniya graficheskim disciplinam [Objectives and methods of teaching to graphic disciplines], Geometriya igrafika [Geometry and Graphics]. 2013, v. 1, i. 2, pp. 8—9. DOI: 10.12737/777. (in Russian).
• 4. Gordon V.O., Semencov-Ogievskij M.A. Kurs nachertatel'noj geometrii [The course of descriptive geometry], Moscow, Vyssh. shk. Publ., 2000. (in Russian).
• 5. Guznenkov V.N., Zhurbenko P.A. Autodesk Inventor 2012. Trehmernoe modelirovanie detalej i sogdanie cherteghej [Three-dimensional modeling of parts and drawing creation |. Moscow, DMK Press Publ., 2012. (in Russian).
• 6. Zhirnyh B.G., Novoselova L.V. Rabochaja tetrad'dlja gapi-si lekcijpo nachertatel'nojgeometrii [Workbook for recording lectures on descriptive geometry]. Moscow, BMSTU Publ., 2013. (in Russian).
• 7. Ivanov G.S. Kompetentnostniy podhod k soderjaniyu kur-sa nachertatelnoy geometrii [Competence approach to the course content of descriptive geometry], Geometriya i grafika [Geometry and Graphics]. 2013, v. 1, i. 2, pp. 3—5. DOI: 10.12737/775 (in Russian).
• 8. Ivanov G.S. Nachertatel'najageometrija [Descriptive geometry], Moscow, MSUL Publ., 2012. (in Russian).
• 9. Ivanov G.S. Perspektivy nachertatelnoy geometrii kak ucheb-noy discpliny | Perspectives of descriptive geometry as a discipline], Geometriya igrafika [Geometry and Graphics], 2013, v. 1, i. 1, pp. 26—27. DOI: 10.12737/467 (in Russian).
• 10. 10. Ivanov G.S. Teoreticheskie osnovy nachertatel'nojgeometrii [Theoretical Foundations of descriptive geometry]. Moscow, Mashinostroenie Publ., 1998. (in Russian).
• 11. Ignat'ev E.P. Development of the geometric modeling method for technical forms of machine-building products. Sbornik materialov IV Mezhdunarodnoj nauchno-prakticheskoj konferenciistudentov, aspirantov imolodyh uchenyh [Sourcebook of the IV International scientific-practical conference of students, graduate students and young scientists]. Tomsk, 2010, pp. 327—329. (in Russian).
• 12. Klein F. Vysshaja geometrija [Higher geometry], Moscow, Librokom Publ., 2009.
• 13. Novozhilova S.A., Egorycheva E.V. Information support of modern technologies of training to graphic disciplines. Geometrija i grafika [Geometry and Graphics], 2013, v. 1, i. 3—4, pp. 33—35. DOI: 10.12737/2130. (in Russian).
• 14. Pjatanin P.S., Vladimirova V.V Nonlinear involution as a basic method of geometric modeling of complex technical forms. Molodeghnyj nauchno-tehnicheskij vestnik [Youth Science and Technology Gazette], 2014, i. 11. Available at: http:// sntbul.bmstu.ru/doc/741128.html (Accessed 25 May 2014). (in Russian).
• 15. Seregin VI., Ivanov G.S., Dmitrieva I.M., Murav'ev K.A. Mezhdisciplinarnye svjazi nachertatel'noj geometrii i smezhnyh razdelov vysshej matematiki [Interdisciplinary connections of descriptive geometry and related sections of higher mathematics]. Geometrija i grafika [Geometry and Graphics]. 2014, v. 2, i. 3—4, pp. 8—12. DOI: 10.12737/2124. (in Russian).

УДК378 DOI: 10.12737/12166

И.Д. Столбова

Д-р техн, наук, доцент, зав. кафедрой,

Пермский национальный исследовательский политехнический университет,

Россия, 614900, г. Пермь, Комсомольский пр., 29

Е.П. Александрова

Канд. техн, наук, профессор,

Пермский национальный исследовательский политехнический университет,

Россия, 614900, г. Пермь, Комсомольский пр., 29

М.Н. Крайнова

Доцент,

Пермский национальный исследовательский политехнический университет,

Россия, 614900, г. Пермь, Комсомольский пр., 29

Л.В. Кочурова

Доцент,

Пермский национальный исследовательский политехнический университет,

Россия, 614900, г. Пермь, Комсомольский пр., 29