Примеры решения задач
Волна де Бройля
Задача 1. Рассчитать длину волны де Бройля для пылинки, считая, что её масса 1 мг и скорость 1 мкм/с. Ответ дать в см.
Решение. В данном случае частица является классической, так как её скорость намного меньше скорости света. Тогда ведём расчёт по
формуле де Бройля X = — = —, где X - длина волны, соответствующая р mN
л h h 20
частице с импульсом р. X = — = — =710 см.
р т
Ответ: X =7-10 20см.
Задача 2. Найти дебройлевскую длину волны электрона с кинетической энергией 150 эВ. Ответ дать в ангстремах.
h h
Решение. Как видно из формулы де Бройля X = — = —, где X -р mN
длина волны, соответствующая частице с импульсом р.
Чтобы выразить импульс частицы через её кинетическую энергию, нужно выяснить, классической или релятивистской является частица.
Так как Т«тос2, где тос2 = О,51 МэВ - энергия покоя электрона, то в данном случае электрон является классической частицей. Значит, его импульс и кинетическая энергия связаны соотношением:
2 2 2 2
р _mv _т v _ Р
2 2т 2т
Отсюда р = 2тТ. Подставим это выражение для импульса в формулу де Бройля: X = . .
у/2тТ
Выразим данные в системе СИ:
/? = 6,62-10 34Дж с, т = 9,11 • 10’31 кг, Т= 150 эВ = 150-1,6-10’19 Дж.
Тогда X = 10 10 м = 1 А.
Ответ: Х= 1,23-10 10 м= 1 А.
Задача 3. Показать, как условие квантования момента импульса электрона в теории Бора атома водорода можно сформулировать с учетом гипотезы де Бройля о наличии у электрона волновых свойств.
Решение. Для электрона, движущегося по круговой орбите радиуса г, момент импульса L связан с импульсом р простым соотношением:
L = рг.
Поэтому условие квантования можно преобразовать к виду
„ h
2Tir = n—.
Р
Согласно гипотезе де Бройля движение электрона следует связать с волновым процессом, длина волны которого
Р'
Поэтому условие квантования Бора можно записать как
2яг = пк, п = 1,2,3,...
Это соотношение утверждает, что стационарными являются только такие орбиты, на длине которых укладывается целое число длин волн де Бройля для движущегося по орбите электрона.
Задача 4. Пучок электронов, ускоренный разностью потенциалов U= 10 В, падает на поверхность монокристалла. Дифракционная картина, образованная отраженными электронами, регистрируется на люминесцентном экране. При падении пучка электронов под углом О
0 = 30 к грани кристалла наблюдается максимум 2-го порядка. Определить расстояние между атомными плоскостями кристалла d. Электрон считать классической частицей.
Решение. При расчете дифракции электронов на кристаллической решетке применим формулу Вульфа-Брэгга:
2d sin 0 = к к.
В этом выражении d- расстояние между атомными плоскостями кристалла, 0 - угол между направлением пучка электронов и гранью кристалла, к- порядок максимума, X- длина волны де Бройля электрона.
Импульс и кинетическая энергия электрона связаны соотношением:
2 2 2 2
р _mN _m v _ Р
2 2m 2m
Отсюда р = 41тТ. Подставим это выражение для импульса в
1 г . А А т
формулу де Бройля: л = — = —. Тогда для длины волны электрона р т
получим формулу
ЛтТ’
где Т - кинетическая энергия электрона, w-ero масса.
Кинетическая энергия, приобретенная электроном при движении в электромагнитном поле, равна работе сил электрического поля:
T = eU, где е - заряд электрона. В результате получаем расчетную формулу для
расстояния между атомными плоскостями кристалла:
kh __________2-6,626-lQ'34__________
= 0,78-10’9m.
2sin d^leUm 2• sin 30од/2-1,6 • 10"19 10-9,11-IO’31
Ответ: 9м.
Автор: Браун А.Г.
