Определение формы режущей пластины

Рассмотрим задачу выбора оптимальной формы режущей пластины Pf из множества выпускаемых пластин,

Pf={Pfi, Pf₂, - Pfi₇}, (3.12)

множество форм режущих пластин, выпускаемых на промышленных предприятиях, приведено в табл. 3.12.

Этот выбор осуществляется на основе степени соответствия альтернатив совокупности требований, определяемых системой 5 различных критериев Ci:

Ci={C_h С₂, С₃, С₄, С₅}. (3.13)

С] - эффективность отвода тепла.

С2 - минимальная потребляемая мощность.

С₃ - прочность пластины.

С4 - минимум возникновения вибраций.

С5 — универсальность режущей пластины.

В таком случае каждому критерию Ci может быть поставлено в соответствие нечеткое множество

А_С/ = {pa (Pfi), Ра (РЫ - , Ра (Pfi₇)K (3.14)

Здесь величина /iCi (xj) е [0,1 ] и представляет собой оценку альтернативы Pf, по критерию Ci. Иными словами, она выступает характеристикой степени ее соответствия требованию, определяемому рассматриваемым критерием Ci [10]. Множество оценок по критериям приведено в табл. 3.8. На рис. 3.1 приведено графическое представление множества оценок.

В нашем случае требуется решать многокритериальную оптимизационную задачу в условиях различной важности критериев достижения максимума целевой функцией. В этом случае каждому критерию Ci ставится в соответствие некоторый весовой коэффициент Xi > 0, причем

Значения самих весовых коэффициентов определяются на основе стандартной процедуры попарного сравнения критериев. Для этого вначале формируется матрица В попарных сравнений (представлена в табл. 3.10), для нахождения элементов bij которой можно ввести следующую шкалу оценок, приведенную в табл. 3.9.

i = Crn и -У> = 1 (3.15)

m ,₌₁

Таблица 3.8

Множество оценок форм пластин по критериям

Естественно, чем большей является важность критерия, тем большее значение приписывается его весовому коэффициенту.

Рис. 3.1. Множество оценок форм пластин

Таблица 3.9

Шкала оценок относительной важности критериев

Поскольку сравнение любого критерия с самим собой означает только одинаковую важность, то при i=j все Ьц =1. Кроме того, в силу симметричности отношений важности критериев условимся считать

Ъц=1/Ьц. (3.16)

В табл. 3.10 приведена матрица относительной важности критериев для определения оптимальной формы режущей пластины.

После этого с помощью метода Гаусса находится собственный вектор w матрицы В, который соответствует предварительно вычисленному ее максимальному собственному числу v_max

Bw= v_maxw. (3.17)

Искомые значения весовых коэффициентов Xi находятся путем умножения соответствующих элементов собственного вектора w на число критериев т, что обеспечивает выполнение условия (3.11):

Xi = m-Wj (3.18)

Таблица 3.10

Относительная важность критериев выбора формы пластины

Вычисляя собственный вектор матрицы, получим следующие значения его компонентов: wl=0,06, w2=0,082, w3=0,878, w4-0,44, w5=0,158. Умножая их на число критериев, равное пяти, получим величины весовых коэффициентов, характеризующих важность каждого критерия: XI =0,3, Х2=0,408, Х3=4,39, Х4=2,201, Х5=0,792.

С учетом весовых коэффициентов строятся множества А&

л' = {^ci(Pfi), 4‘a(Pf2), ..., /‘aiPfM (3.19) которые будут иметь вид, приведенный в табл. 3.11, а также на рис.

3.2.

Решением исходной задачи будет такая альтернатива х, которая в наибольшей мере удовлетворяет требованиям всей совокупности критериев. Решающее правило D выбора наилучшей альтернативы в условиях многокритериальной задачи с неравнозначными критериями Ci, имеющими весовые коэффициенты Xi, использует процедуру нахождения пересечения нечетких множеств

^{D = А}с, П А% П а?₃ а а?⁴4 П а?₅ . (₃₂о)

В соответствии с определением операции пересечения нечетких множеств функция принадлежности искомого решения находится как

p_u(Pfj) = mm^A_CS^pfi')')’! = ^l’ⁿ- (3.2i)

Таблица 3.11

Множество оценок форм пластин с учетом относительной важности

Применяя правило выбора искомой альтернативы (оптимальной формы режущей пластины), находится пересечение множества, которое будет иметь следующий вид (рис. 3.3):

D={(xl; 0,00004),(х2; 0,0013),(хЗ; 0,0027),(х4; 0,0027),(х5; 0,00506),(хб; 0,01713), (х7; 0,02219),(х8; 0,03308),(х9; 0,03308),(х10; 0,03843), (xl 1; 0,0477), (х12; 0,05114), (х13; 0,06687), (х14;

0,06687),(х15; 0,02585),(х16; 0,00287),(х17; 0,00205)}.

Таким образом, в качестве наилучшей должна быть выбрана та из форм пластины Р/*, для которой значение функции принадлежности /iD(Pfj) окажется максимальным, то есть

(3.22)

Именно эта альтернатива и является решением исходной задачи, поскольку она в наибольшей степени удовлетворяет требованиям

всей совокупности рассматриваемых критериев.

Рис. 3.2. Множество оценок форм пластин с учетом относитель-

Авторы: Аверченков В.И., Аверченков А.В., Терехов М.В.