Модуль I_ARI

Интервальная арифметика

В этом модуле предусмотрены все операции, функции и процедуры, необходимые для интервальных вычислений.

Тип

Тип interval определяется как

type interval = record inf, sup : real end;

и является частью языкового ядра PASCAL-XSC. Он основан на представлении вещественного интервала х в форме

что эквивалентно множеству {у ет инфинум (нижнюю границу), интервала х.

6 IR^inf у С ^_SUp}, где inf обознача-а sup — супремум (верхнюю границу)

Операции

Результаты всех предопределенных арифметических операций принадлежат типу interval. Предусмотрены унарные операции +, — и четыре основные бинарные операции +, —, * и /, каждая с округлением до наименьшего включающего интервала. Операции отношения =, О, <, <=, > и >= интерпретируются как соответствующие операции для множеств. Они обозначают следующие отношения:

равно;

не равно;

строгое подмножество слева;

подмножество слева;

строгое подмножество справа; подмножество справа.

Эти операции определяются на основе операций = и <= согласно (RD) (см. стр. 142). Если хну принадлежат типу interval, то

х <= у <=> (x.inf >= y.inf) and (x.sup <= y.sup).

Кроме того, данный модуль содержит операцию in для отношений «принадлежит» и «содержится в» между операндами типов real и interval и между двумя операндами типа interval соответственно. Операция in удовлетворяет условию

х in у <=> (x.inf > y.inf) and (x.sup < y.sup).

Операция >< проверяет два интервала на пустоту пересечения. Интервалы х и у не пересекаются, если х П у = 0 (пустому множеству). Операции +* и ** вычисляют интервальную оболочку и пересечение интервалов соответственно. Результатом действия операции +* является наименьший интервал, включающий оба операнда, а операции ** — пересечение интервалов. Если пересечение равно пустому множеству, фиксируется ошибка.

Операции модуля I_AR1 о Е { + , -, *, /},

V € {=, О, <. <=, >, >=}

Пример 3.2.1.

Если переменные а и b типа interval определены как

а = [-1,3];

b = [3,4];

то операции +, —, *, X, +* и ** возвращают следующие результаты:

Функции преобразования

Следующие функции используются для преобразований между типами real и interval:

г, rl, г2 — выражения типа real, i — выражение типа interval : предполагается, что rl <= г2, иначе фиксируется ошибка.

Совмещение операции присваивания

Преобразование значения типа real в значение типа interval можно осуществить с помощью совмещенной операции присваивания:

1 — переменная типа interval, г — выражение типа real

Предопределенные функции

Все математические функции PASCAL-XSC, применяемые для вещественных аргументов, могут использоваться с интервальными аргументами. Эти интервальные функции F удовлетворяют соотношению F(i) D f(i) = = {/(г) : г Е г}. Кроме того, предусмотрены функции для вычисления средней точки и диаметра (оценки длины) интервала. Для использования в локализационных методах предусмотрена функция blow, вычисляющая эпсилон-расширение (см. [52]).

i, il, i2 — выражения типа interval, г, m, d — выражения типа real J : у := (1 + г) * 1 — г * 1;

blow := intval (pred(inf(у)), succ(sup(y)));

Области определения и множества значений предопределенных функций зависят от реализации и описываются в руководстве пользователя.

Пример 3.2.2.

Если переменные а и b типа interval определены как

а := intval (—1,3);

b := intval (2);

то результатами функций abs, sqr, mid и diam будут следующие значения:

Процедуры ввода-вывода

В этом модуле предусмотрены процедуры

procedure read (var f: text; var a: interval);

procedure write (var f: text; a: interval);

с необязательным параметром-файлом и произвольным количеством параметров ввода-вывода, но без спецификаций формата.

Интервал i = [я, у] должен вводиться в форме

[х,у]

или в форме

В первом случае значения х и у округляются до следующего меньшего и следующего большего чисел типа real соответственно (т. е. производится округление до наименьшего включающего интервала). Второй случай является сокращенной записью для г = [гг,гг]. Если число х точно не представимо, генерируется наименьший интервал, включающий х.

Вывод интервального значения производится с интервальным округлением (х округляется вниз, а у — вверх) в форме

[я, у]

с real-форматом для чисел х и у, принятым по умолчанию (он зависит от реализации).

Пример 3.2.3.

Если int — значение типа interval, то операторы

read (int);

writein (int);

считывают входные данные

0.245

и выводят интервал

[ 2.4499...99Е-001, 2.4500...01Е-001 ],

если число 0.245 точно не представимо. В зависимости от реализации может использоваться другое представление чисел типа real.