Уравнения гиперболического типа

Механические колебания топкой однородной струны плотностью р, растянутой усилием Е, описываются дифференциальным уравнением гиперболического типа

«" -Х+ /0.4 ^=/

(2.27)

с начальными

и(0,х)=[/(х), и'(0,х) = У(х)

(2.28)

и граничными условиями

и(г,О)=Е"(г). u(t,L)=U' ).

(2.29)

Схема «крест»

Для построения разностного аналога дифференциального уравнения (2.27) используется шаблон, представленный на рис. 2.4,

н?-2и; +и^/т22н -2и7 +uj+l)/h2 + fr (2.30)

Для оценки погрешность аппроксимации уравнения (2.27) этой разностной схемой используются разложения решения в ряды Тейлора:

'4^o^J=*4^’x/)+t

«0-1 •*> )=«0; > xj) - «;0,, )г+«" 0,, )т2/2 - и* 0,, Х) )г’/б+0,, х:4/’24+о(т5), 4,хаі)=«(^х>)+<(^.х>+«:.Х^>х>72+<Л’^>76+<^’хЛ724+0(л5)’ «0, )= u(t,,Xj)- <(t^Xj )h + u’Jt,.,Xj У/2-w",0, ,x, У/6 + и'ХДА(г, ,л-7 У/24 + 5).

Замена узловых значений в выражении (2.30) точным решением с помощью этих разложений позволяет оценить погрешность аппроксимации

ъ,=К )+К2/12+Ф')]-,)+>712+о(л’)]-/г

С учетом исходного уравнения (2.27) погрешность его аппроксимации уравнения разностной схемой (2.30) определяется выражением

=<^.^>2/12-Х2<Л(г„х7>712 + О(Л3У).

Из последнего соотношения следует, что искомая поірешность аппроксимации имеет второй порядок относительно шагов интегрирования т и Л, то есть |/# = о(й22).

Полученная явная разностная схема (2.30) является трехслойной. В начальный момент времени t = 0 решение известно из начального условия (2.28). Для следующего временного слоя (г = т), используя второе начальное условие, можно записать выражение

к-яр)]/т=у(ху),

из которого следует соотношение для нахождения решения на втором временном слое,

Uj =1/(xJ+tV(xJ. (2.31)

Известное для двух начальных слоев решение с помощью формул (2.30) позволяет найти искомые узловые значения й для третьего слоя, и так далее. Формула (2.31) имеет первый порядок погрешности аппроксимации начального условия (2.28) по шагу т, что превышает погрешность аппроксимации разностной схемой (2.30) дифференциального уравнения (2.27). Для построения более точной аппроксимации начального условия может быть использован прием, рассмотренный ранее,

и(т, ) = и (о, ху) + и'(О, Xj )т + м" (О, Ху )г2 /2 + о(т3 )=

= L/(xy)+v(x,)r+ [й.2і/"(ху)+/(о,Ху)]г2/2 + о(г3),

с использованием формул (2.27) и (2.28). Отсюда получаются разностные соотношения для искомых узловых значений второго временного слоя,

Uy =l/(xy)+v(xy)r+ [л2У’(х;)+/(0,Ху)]г2/2. (2.32)

Для оценки устойчивости схемы (2.30) по отношению к возмущению начальных данных используется метод Неймана. Разностная схема, записанная относительно возмущения решения, имеет вид

8и j - 28uj + би j j /т2 - А2(биу_, - 2би; + биу+| )//?2 = 0.

Принимается, что

е v ik.X: <> о v ікх: с.л 2 еv 2 ікх,

C>Uj=ake dUj =ркі>иікаке диj =ркди, =ркаке

Подстановка этих формул в предыдущее выражение

(р; -2Р, +!>*>+pZ|,'“,W = о,

[fe -2р, + І)-Р<Л=(“-2+е“)//,’)*'? =0,

Р2к - рДг+х2т2(е-ЙЛ - 2+Z*)/л2] +1=о, приводит к квадратному уравнению относительно коэффициента роста гармоник р*,

р2 -2рД1 -2А2т2чіп2(АА/2)/Л2]+ 1=0.

Корни этого уравнения равны

рн = [1 - 2А?т2 sin2(jt/!/2)//j2]+ 7(1 - 2А2т2 sin2(А-Л 2)//г )2 -1,

рк2 = [1 - 2А2т2 sin2(AA 2)/Л’]- 7(1 - 2Х2т2 sin2(kh/2)/h2]2 -1.

Поскольку произведение корней |рнРі2І = 1, разностная схема (2.30) будет устойчивой лишь в случае |рц| = 1 и |pt2| = 1 для всех гармоник. Для квадратного уравнения с действительными коэффициентами это равносильно требованию, чтобы корни образовывали комплексно-сопряженную пару. Отсюда следует, что

[l-2/?T2sin2(A7? 2)//ї2]? <1

  • 1 - 2 А.2 т2 sin2 (АЛ/2)/ Л21 < 1,
  • - 2 < -2A.V sin2 (kh/l^h[1] < 0.

Поскольку правая часть неравенства выполняется тождественно, следует определить условия, при которых справедлива левая часть, то есть

А.2т2ып2(АЛ 2)/Л2 < 1,

A.Tsin(AA/2)< Л.

Наибольшее значение множителя sin2(АЛ/2), равное 1, позволяет определить ограничение на шаг интегрирования по времени, т < Л/А., обеспечивающее устойчивость1 разностной схемы (2.30).

  • [1] В последнем выражении стоит знак строгого неравенства, поскольку, согласно [8], при Ат = h схема обладает слабой неустойчивостью счета.
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ   След >