Дистанционные динамические расчетные проекты по 60 исследованию функций вещественного переменного

В данной главе представлено описание дистанционных динамических расчетных проектов по использованию численных методов решения математических задач при исследовании функций вещественного переменного [1, 2, 8, 21, 24, 28..30], которые выполняются студентами в рамках разработанной автором информационной системы при реализации самостоятельной деятельности на дистанционном уровне. Описание каждого дистанционного динамического расчетного проекта включает наименование проекта, указание соответствующего раздела высшей математики, теоретический аспект и описание демо-версии расчетного проекта с целью ознакомления учащихся с алгоритмами решения задач в рамках расчетного проекта и их реализации на программном уровне.

Определение значений минимальных номеров 60 приближения к пределу числовых последовательностей

Наименование дистанционного динамического расчетного проекта: определение значений минимальных номеров приближения к пределу числовых последовательностей.

Раздел высшей математики: пределы и непрерывность.

Цель реализации дистанционного динамического

расчетного проекта: осуществить расчет значений промежуточных и итоговых результатов вычислений необходимых расчетных параметров при нахождении значений минимальных номеров приближения к пределу числовых последовательностей использованием методов золотой пропорции, Фибоначчи, половинного деления (дихотомии) в зависимости от заданных значений исходных данных.

вида хп

2

а2п + а]п + а0 b2n2 + btn+b0

(для ?>0, а2Ф0, Ь2Ф0, хп

а2

ьг

Теоретический аспект

Число А называется пределом числовой последовательности {хл}, если для любого ?>0 существует натуральное число п?, такое, что для любого п > пЕ верно неравенство: |хп - А| < ?.

Рассмотрим числовые последовательности вида:

2

2п +а1п + а0

Ь2п~ +Ь!Їі + Ь0

где а0, а,, а2, Ьо, Ь,, Ь2 - целые числа, причем а2 ФО и Ь2 ФО.

Пределом числовых последовательностей является отношение:

Л 1" а2

А = hm х„ = — .

П^оо

Необходимо реализовать расчет значений минимальных номеров п? числовых последовательностей {х(} по заданным є>0, таких, что для всех членов числовых последовательностей со значениями номеров п>п? выполняется неравенство |хл — А|’ = /(«) = хп - А|.

Рассмотрим логические основы реализации методов золотой пропорции, Фибоначчи и половинного деления (дихотомии), необходимых для выполнения приближенных вычислений значений минимальных номеров п? для числовых apt2 + а,п + ап .

последовательностей вида х = ——;--------- (при ?>0, а7^0,

b2n2 + b,n+b0

а2

—- < є) в зависимости от

Ь2

b2^0, хп-— или y = f(n)=x Ь2

различных значений ?. пА0 и пво, используемых в качестве логических составляющих дистанционного динамического расчетного проекта «Определение значений минимальных номеров приближения к пределу числовых последовательностей».

Метод золотой пропорции

Суть золотой пропорции, изображенной на рис. 33, состоит в следующем: если разделить отрезок С на отрезки А и В таким образом, что это будет отражать золотую пропорцию, то А, деленное на В, будет равно С, деленному на Л.

Символьная запись: — = — - (р - + ~ 1618033989.

АВ 2

Золотая пропорция

Рис. 33. Золотая пропорция

тт - С Л V

Действительно, пусть — = — = X .

Л о ABC

Так как А + В = С, то єсть — 4— = —, то получим квадратное AAA

уравнение:

1 + — = Х^Х2-Х-1 = 0.

X

Положительный действительный корень квадратного уравнения:

X = <р = 7 + = 1,618033989.

По аналогии с пропорцией назовем число золотым.

Отметим некоторые алгебраические свойства золотого числа:

1. Золотое число, возведенное в степень с натуральным показателем, равно сумме двух золотых чисел, возведенных в степени с последовательно предшествующими искомому показателями: (pN = (pN~' 4- (pN~2.

Действительно, так как 2 -(р-1 = 0, то 2 =<р+1, то есть „.N-2 ,л2 ,nN-2 ,Л . ,nN-2 ^N-1 . ,лЛГ-2

<р .(р=(р -(р+(р , откуда (р =(р +(р

Поскольку (pN = (pN~‘ 4- (pN~2, то q)N = (pN+2 - (pN+l, откуда можно получить следующие соотношения:

  • 1 , і , 1 п 7 7 7 , 2 2 , п э
  • - (р-1 и — - 1— = 2-ср, — =---- = 7--- =--1 -2(р-3.
  • (р~ (р (р (р (р~ (р (р
  • 2. Если каждый член геометрической прогрессии XN
  • (X, ^0,q^0) равен сумме двух предыдущих, то ее знаменатель q

равен золотому числу, то есть (р.

?^N+2 % N+l + X N XN+2 X N+] • (р X N • (р .

Поскольку XN+2 = XN+I q = XN -q2, то q2=q + l, откуда

q = ———. Так как q > 0, то q = ——— = (р.

В рассматриваемом дистанционном динамическом расчетном проекте метод золотой пропорции имеет следующую реализацию:

  • 1. Итерация с индексом «О»:
  • 1.1. На искомом отрезке [пА0,пв0] при соблюдении условий пао<пво и f(nAo)~? > /(пво) (по умолчанию значения пА0 и пв0

являются целыми числами) выбираются номера числовой

последовательности

. GP GP

ПА0 < ПС0 < nD0 < ПВ0

пс0 и п1)0 исходя из неравенств

И f(nA0)> f(nco)> f(nDPo)> f(nB0Y в

соответствии с принципами золотой

пропорции, согласно

ПВ0 ПА0

ПВ0 ПА0

V2

следующим соотношениям:

nGr =п —^- = п

пС0 11 АО 2 во

=п +Цво--tlA0_ = n

rlD0 ,lA0

ВО

  • 1.2. При наличии положительных дробных частей значения номеров числовой последовательности п°р и п™ округляются до ближайших больших целых чисел.
  • 1.3. Если достигнута истинность выражения пв0-пА0 = 1, то итерации прекращаются, количество шагов итераций s(P = 0 и в качестве минимального номера числовой последовательности nGP выбирается п’Р = пА0 в силу неравенства f(nA0)> ? > f(nB0).
  • 1.4. Если пВ0-пА0* 1, то осуществляется переход к следующей итерации.
  • 2. Итерация с индексом «N» (N >1):
  • 2.1. ЕСЛИ /(ис(Л,_7))< ТО nAN — nA(N_]), ~nc(N-lY

GP GP

nBN - nAN = - nA(N-i) = ^'^2 ’ и получаем отрезок

2.2. Если ? и то nAN — •>

GP GP GP GP GP GP ПА(1Ч-1)

nBN nBN nAN ~ nc(N-l) ~И ПОЛуЧИвМ

отрезок AN ,nBN ] — [^c(w-/)’WD(W-7)]*

2.3. Если f(nD^N_j>))>?, TO HAN — nD^N_^, nBN ~ nB(N-l)’

„GP _nGP

nBN-nM=nB(N-i)-nD(N-i)= 2 Л(Д'~') и получаем отрезок

2.4. На отрезке >nBN 1 ПРИ соблюдении условий nAN < nBN и

выбираются

номера числовой

последовательности

nCN и nDN исходя из неравенств

gp „GP »GpGP nAN < nCN < nDN < nBN

соответствии с принципами золотой пропорции, согласно следующим соотношениям:

GP _ GP nGP_„GP

GP — y,GP I nBN nAN _ GP nBN nAN

'lCN 'lAN “*? 2 'lBN •>

GP _ GP GP _rtGP

GP _ GP . nBN nAN _ GP _ nBN ПАЫ HDN ,lAN nBN 2

  • 2.5. При наличии положительных дробных частей значения номеров числовой последовательности nGcPN и nGDPN округляются до ближайших больших целых чисел.
  • 2.6. Если достигнута истинность выражения nGP ~nGAN =7, то итерации прекращаются, количество шагов итерации se = N и в качестве минимального номера числовой последовательности nGP выбирается nGP = пАр в силу неравенства f(nAp)> ? > f(nGP).
  • 2J. Если nGPN-nGAN^l, то осуществляется переход к следующей итерации.

Метод Фибоначчи

Последовательность чисел Фибоначчи (открыта Леонардо Фибоначчи) отличается от других последовательностей чисел тем, что каждый ее член, начиная со второго по индексу, равен сумме двух предыдущих (с добавлением нулевого члена последовательности): 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 и так далее.

Действительно: 0 + 1 = 1, 1 + 1 = 2, 2 + 1 = 3, 3 + 2 = 5, то есть FK = FK_j + Fk_2 , где FK, FK_, и FK_2 - члены последовательности Фибоначчи с индексами «К», «К-1» и «К-2» соответственно.

Интересно отметить, что отношение значений соседних членов данной последовательности, начиная с больших номеров (при К -+ оо), приближается к золотому числу, то есть (р.

= „ 1,618033989,

F 2

Г К-1 z

где FK и FK_, - члены последовательности Фибоначчи с индексами «К», «К-1» соответственно.

Для золотых чисел, возведенных в определенные степени (геометрическая прогрессия со значениями начального члена и знаменателя, равными (р), как и для последовательности чисел Фибоначчи, справедливо общее правило о том, что значение каждого члена любой из этих последовательностей равно сумме значений двух предыдущих членов:

  • 1. Формула для геометрической прогрессии золотых чисел: к = (рк~‘ + (рк~2, где «К», «К-1»и «К-2» - показатели степеней для золотого числа (р.
  • 2. Формула для последовательности чисел Фибоначчи: FK = FK_} + Fk_2 , где FK, FK_j и Fk_2 - члены последовательности Фибоначчи с индексами «К», «К-1»и «К-2» соответственно.

Поскольку FK = FK_, + Fk_2 , то FK_2 = FK- FK], откуда можно получить следующие соотношения:

FK 3=FK i~FK 2=2FK ,-Fk-Fk-2Fk 2,

FK-, FK , FK 7 ~F„ , . , ?

К-j _ К —I___К—2 _ П a-/ _ J _ 1 _ О A-z

FK FK FK FK FK

Л Л Л A A

Взаимосвязь между золотым числом и числами Фибоначчи выражается следующим соотношением: к = FK_2 + FK-(p.

Докажем утверждение методом последовательного перебора: (р‘ =(р(> +(р~' =O + l-(p=Fo + FI-(p,

2 =(pI +(р° =(p+l = l + l-(p=Fj+F2-(p, <р3=<р2+<р‘ =(Fl+F2-

= (F„+Fl)+(F, + F2)i+F,

<Р“ = <рк-‘ + <рк =< Fk_2 + FK_l-(Fk_3 + Fk_2 ? = (fk-2 + FK-3)+(Fk_2 + FK_!)(p = Fk_, + FK

В рассматриваемом дистанционном динамическом расчетном проекте метод Фибоначчи имеет следующую реализацию:

  • 1. Итерация с индексом «О»:
  • 1.1. Осуществляется ввод значения индекса последнего члена ряда Фибоначчи для его построения, то есть «К».
  • 1.2. Осуществляется построение заданного ряда Фибоначчи, начиная с нулевого индекса и заканчивая индексом «К».
  • 1.3. На искомом отрезке [пА0,пв0] при соблюдении условий ПАОВО и /(пА0)>є> f(nB0) (по умолчанию значения пА0 и пво являются целыми числами) выбираются номера числовой последовательности nFC0

ПА0 < ПС0 < ПО0 < ПВ0

и nFD0 исходя из неравенств

f (пА0)> /[nF0)> f(nF0)> f(nB0), соответствии с принципами последовательности Фибоначчи, согласно следующим соотношениям:

ПС0 ~ ПЛ0 "I Д (пво ~ пло ) — пво (пво ~ пло) ’

FK FK

nD0 ~ ПА0 “I 7, {.ПВ0 ~ ПА0 ) — ПВ0 (ПВ0 ~ П АО ) '

  • 1.4. При наличии положительных дробных частей значения пгс0 и nF0 округляются до ближайших больших целых чисел.
  • 1.5. Если достигнута истинность выражения пв0-пА0 = /, то итерации прекращаются, количество шагов итераций sF = 0 и в качестве минимального номера числовой последовательности nF выбирается nF =пА0 в силу неравенства f(nA0)>? >
  • 1.6. Если пв0-пА0^1, то осуществляется переход к следующей итерации.
  • 2. Итерация с индексом «N» (N >1):
  • 2.1. Если Є, ТО nAN ~ nA(N-])’ nBN~nc(N-l)’

nBN ~ nAN ~ nC(N-l) ~ nA(N-l) ~ (ПВ(Ы-1) ~ ПА(1Ч-1})’ И ПОЛуЧаЄМ

^K-N

отрезок

2.2. Если

/(«D(J»-/))<^> ТО

ni3N nD(N-l)’ nBN nAN nD(N-l) nc(N-l) г ПВ(1У-1) nA(N-l))’ И

Г K-N

получаем отрезок [<,,<,]= [<(лм)Х(ту-/)]-

2.3. Если fnD(N-l)) — Є, ТО nAN ~ nD(N-l)’ nBN~nB(N-l)’

nBN ~ nAN ~ nB{N-l)~ nD{N-l) ~ ^B(N-l) ~ ПА(Ы-1))’ И ПОЛуЧЯЄМ

^K-N

отрезок [иллрИвлг]—

2.4. На отрезке [n4W,wBAf] при соблюдении условий nFN < nFN и соответствии с принципами последовательности Фибоначчи, согласно следующим соотношениям:

f(nFAN^? >f(”BN)

последовательности

nAN

F

nCN

выбираются номера числовой nFN и nFDN, исходя из неравенств

и /(«да)>/(«ст)>/(«»)>/(«да). в

F F + FK-2-N ( F F F _ FK-!-N (F _ F

UCN 11 AN г VіBN 'lAN ) ,lBN UBN "-AN )’

^K-N ҐК-N

nF =nF + FK-1~N ( F F F _ FK-2-N ( F F 'j

rlDN nAN r, nBN rLAN ) nBN r nBN ,lAN Г

bK-N bK-N

  • 2.5. При наличии положительных дробных частей значения номеров числовой последовательности nFN и nFN округляются до ближайших больших целых чисел.
  • 2.6. Если достигнута истинность выражения nPBN — nPAN = 1, то итерации прекращаются, количество шагов итераций sF = N ив качестве минимального номера числовой последовательности nF выбирается nF = nAN в силу неравенства f(nFAN)>?> f(nFBN
  • 2.7. Если nFN-nAN^l, то осуществляется переход к следующей итерации.

Стоит отметить, что при достаточно большом значении начального индекса «К» соответствующие отрезки, полученные методами золотой пропорции и Фибоначчи, будут иметь незначительные отличия, что влечет за собой приблизительно равную эффективность обоих методов.

Метод половинного деления (дихотомии)

Суть половинного деления или дихотомии состоит в следующем: если разделить отрезок С на отрезки А и В таким образом, что это будет отражать дихотомию, то С, деленное на А,

С С

будет равно С, деленному на В, то есть А равно В: — = — = 2, или

А = В.

Таким образом, при наличии исходного отрезка [пА0,пВ0] полученный в результате «N»-ro деления отрезок [пА0,пв0] связан с

^ВО ^АО исходным соотношением nBN - nAN = ли .

В рассматриваемом дистанционном динамическом расчетном проекте метод половинного деления (дихотомии) имеет следующую реализацию:

  • 1. Итерация с индексом «О»:
  • 1.1. На искомом отрезке [пА0,пВ0] при соблюдении условий пао<пво и f(nAo)~? > /(.пво) (по умолчанию значения пА0 и пв0

являются целыми числами) выбирается номер числовой последовательности п^0 исходя из неравенств пА0 < п»0 < пв0 и в соответствии с принципами дихотомии, согласно следующим соотношениям:

D _ . ПВ0 ~ ПА0 _ _ ПВ0 ~ ПА0

ПС0 ПА0 ”Г 2 ' В0 2

  • 1.2. При наличии положительной дробной части значение п^0 округляется до ближайшего большего целого числа.
  • 1.3. Если достигнута истинность выражения пв0-пА0 = /, то итерации прекращаются, количество шагов итераций sf = 0 ив качестве минимального номера числовой последовательности п» выбирается nf = пА0 в силу неравенства f(nA0)>? > f(nB0).
  • 1.4. Если пво ~пА0Ф 1, то осуществляется переход к следующей итерации.
  • 2. Итерация с индексом «N» (N >1):
  • 2.1. Если f(nC[N-l))< ? ’ то nAN ~ nA(N-l)’ nBN~nc(N-l)^

D _ D

D D D D ^B(N-I) ^A(N-I)

nBN - "an = nc(N-i) - nA(N-i) = 2—— , и получаем отрезок

L^AW’^Bn]- [WA(W^)’WC(W-7)]'

2.2. Если f(nc^N_jj)> ?, TO nAN ~ nc(N-l)’ nBN ~ nB(N-l)’

D _ D

D D D D nB(N-l) nA(N-l)

nBN - nAN = nB(N-i) - nc(N-i) = ———-—- и получаем отрезок [^АДмЯвл, ]— [Wc(7V-/)’WB(W-/)]2.3. На отрезке [nAN, nBN ] при соблюдении условий nAN < nBN и f(nAN)>? > f(nBN) выбирается номер числовой последовательности "cn исходя из неравенств nDAN N DBN и f(nAN)> f(n°N)> f(nBN),

в соответствии с принципами

дихотомии,

согласно следующим

соотношениям:

D D

rlCN ,lAN T 2

-nD nAN _ „Р ~ ,lBN

D D nBN nAN

  • 2
  • 2.4. При наличии положительной дробной части значение N округляется до ближайшего большего целого числа.
  • 2.5. Если достигнута истинность выражения nBN -nAN =7, то итерации прекращаются, количество шагов итераций s? =N ив качестве минимального номера числовой последовательности nf выбирается < = nAN в силу неравенства f(nAN)>?> f(nBN
  • 2.6. Если nBN - nAN Ф1, то осуществляется переход к следующей итерации.
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ   След >