Дистанционные динамические расчетные проекты по 52 аналитической геометрии на плоскости

В данной главе представлено описание расчетных проектов по аналитической геометрии на плоскости [2, 10... 14], которые выполняются студентами в рамках дистанционной системы динамических расчетных проектов при реализации самостоятельной деятельности учащихся. Описание каждого дистанционного динамического расчетного проекта включает наименование проекта, теоретический аспект и описание демо-версии расчетного проекта с целью ознакомления учащихся с алгоритмами решения задач в рамках расчетного проекта и их реализации на программном уровне.

В рамках школьного курса геометрии свойства произвольных треугольников на плоскости рассматриваются только с точки зрения линейных и угловых размеров элементов треугольника. При изучении математики в вузе элементарная геометрия рассматривается с точки зрения аналитической геометрии, суть которой состоит в определении значений параметров геометрических фигур с применением координат характерных точек на плоскости или в пространстве.

Определение параметров сторон и высот 52 треугольника

Наименование дистанционного динамического расчетного проекта: определение параметров сторон и высот треугольника.

Раздел математики: аналитическая геометрия на плоскости.

Цель реализации дистанционного динамического расчетного проекта: осуществить расчет значений необходимых параметров сторон и высот произвольного треугольника на плоскости методами аналитической геометрии.

Теоретический аспект

Пусть на плоскости представлены три произвольные точки, образующие произвольный треугольник (ЛАВС), со следующими координатами: А (хАА), В (хвв)ілС (хсс

Нахождение уравнений сторон треугольника

Для нахождения уравнения сторон треугольника ЛАВ С (АВ, АС и ВС) необходимо воспользоваться уравнением прямой по точке и угловому коэффициенту: у - k-x + b, где к - угловой коэффициент прямой, равный тангенсу угла наклона прямой к оси абсцисс, b -свободный коэффициент прямой, равный длине отрезка, отсекаемого прямой на оси ординат от начала координат.

Поскольку для каждой из сторон имеем значения координат двух вершин треугольника, можно реализовать нахождение значений коэффициентов к и b для соответствующих прямых через решение системы двух линейных алгебраических уравнений.

Для стороны АВ треугольника ЛАВС имеем систему линейных алгебраических уравнений:

/ У А = к АВ ? ХА + ^АВ №аВ ' ХА + t>AB “ У А

  • s ,или
  • в - к Ав ' хв + Ьав (к ав ’ хв + ^ав ~ У в

При решении данной системы линейных алгебраических уравнений получим выражения для нахождения значений коэффициентов кАВ и ЬАВ:

и __ У в ~Уа _ Ул ~ У в

КАВ ~ ~

ХВ~ХА ХА~ХВ

Ьлв = Ув-клв'*в = Ув~— —-хв или

ХВ ХА

^АВ - Уа~ кАВ ХА~ У А~ ~ ~ ’ ХА •

ХВ~ХА

Уравнение стороны АВ: у = кАВ ? х + ЬАВ.

Для стороны АС треугольника ЛАВ С имеем систему линейных алгебраических уравнений:

f У А = кАС * ХА + ЬАС [ кАС ’ ХА + ЬАС = У А

[Ус АС ‘ ХС +^АС [кАС ‘ ХС+^АС = Ус

При решении данной системы линейных алгебраических уравнений получим выражения для нахождения значений коэффициентов кАС и ЬАС:

k __ Ус ~ Ул _ Ул ~ Ус КАС ~ ~ ’

ХС~ХА ХА~ХС

ЬАС = УС ~кАС 'ХС = УС ~УС УАХС ИЛИ

ХС~ХА

^АС ~ У А ~ кАС ‘ХА~ У А~ ~ ~ ’ ХА ’

ХС~ХА

Уравнение стороны АС: у = кАС • х + ЬАС.

Для стороны В С треугольника ДАВС имеем систему линейных алгебраических уравнений:

Г У в = квс • хв + ьвс [ квс • хв + ьвс = У в

< ,ИЛИ s

[Ус = квс ' хс + Ьвс [квс ' хс + Ьвс = Ус

При решении данной системы линейных алгебраических уравнений получим выражения для нахождения значений коэффициентов квс и Ьвс:

к _Ус~Ув _Ув~Ус

КВС - -

хсв хв - хс

ьвс = Ус ~квс хс = Ус~Ус Ув'хс или

хс~хв

Ьвс = Ув ~ квс ' хв = Ув ~ ~ ~ ’ хв • хс~хв

Уравнение стороны ВС: у = квс ? х + Ьвс.

Нахождение величин сторон треугольника

Значения величин сторон треугольника ДАВС (АВ, АС и ВС) определяются согласно следующим формулам нахождения расстояний между двумя точками на плоскости:

)2 + Gs - Ул )2 >

  • 1ЛС =л1(хс-Хл?+(Ус-Ул)2 -
  • 1вс=^с-^вУ +Сс-7в? ?

Нахождение уравнений высот треугольника

Для нахождения значений коэффициентов к и b для прямых, соответствующих высотам треугольника ДАВС (AH]f ВН2 и СН3), необходимо воспользоваться соотношениями:

55

кн ~ , Ьн - Ур кн • хР - уР + р ,

ks Ks

где:

кн - угловой коэффициент прямой, соответствующей высоте;

ks - угловой коэффициент прямой, соответствующей стороне, на которую опущена высота;

хР(ур) - абсцисса (ордината) вершины треугольника, из которой опущена высота.

Для высоты АН} треугольника ЛАВС, опущенной из вершины А на сторону ВС, имеем соотношения для нахождения значений коэффициентов кАН1 и ЬАН]:

. 1 , . хА

кАні~ , ’ Ьдні ~ У а ^анГха~Уа + ,

Квс Квс

Уравнение высоты АН}: у = кАН1 • х + ЬАН].

Для высоты ВН2 треугольника ЛАВС, опущенной из вершины В на сторону АС, имеем соотношения для нахождения значений коэффициентов кВН2 и Ьвн2:

, 7 , і хв

кВН2 ~ ’ &ВН2 - У В кВН2 ? ХВ - У В + J

кАС кАС

Уравнение высоты ВН2: у = квн2 • х + Ьвн2.

Для высоты СН3 треугольника ЛАВС, опущенной из вершины С на сторону АВ, имеем соотношения для нахождения значений коэффициентов ксн 3 и Ъснз:

кснз ~~ , ’ ^снз ~ Ус кснз хс ~ Ус ,С

КАВ КАВ

Уравнение высоты СН3: у = кснз • х + Ьснз.

Нахождение координат точек пересечения сторон и опущенных на них высот

Для нахождения точек пересечения сторон и опущенных на них высот, то есть оснований высот, для треугольника ЛАВС необходимо воспользоваться уравнением прямой по точке и угловому коэффициенту, то есть у = к • х + b.

Поскольку для каждой из прямых, соответствующих стороне и высоте, имеем значения коэффициентов к и Ь, можно реализовать нахождение численных значений координат точки пересечения прямых через решение системы двух линейных алгебраических уравнений.

Для высоты АНj и стороны ВС треугольника ЛАВС имеем систему линейных алгебраических уравнений:

Ун/ = к ан/ 'Хні +Ьдні кАН] • хн1 - ун] = ~ЬАН1

< , или ?<

_ Уні=квс'хні+ЬБс [ квсн1н1=-Ьвс

При решении данной системы линейных алгебраических уравнений получим выражения для нахождения значений координат точки Hj(xHj,yHI.

х _ _ - Ьдн 1 _ _ Ьдн1 ~^вс

квс ~к ан і кдні ~к вс

У ні = кАН1Н1АН1 = - вс _ AHIАН1АН1 или Квс КАН1

Ун / - к вс ‘ хн і + . с + ь

У П 1 DC п 1 DC 1 1 DC DC

КВС ~КАН 1

В итоге получим значения координат точки пересечения высоты АНj и стороны ВС для треугольника ЛАВС, то есть точки Н і(.хні>Уні

Для высоты ВН2 и стороны АС треугольника ЛАВС имеем систему линейных алгебраических уравнений:

Ун2 -kBH2 ? ХН2 ~У^ВН2 квН2 ' ХН2 ~Ун2 =~^ВН2

< ,ИЛИ <

. Ун2 “ к AC 'ХН2 + ^АС I ^АС ‘ ХН2 ~ Ун2 =~^АС

При решении данной системы линейных алгебраических уравнений получим выражения для нахождения значений координат ТОЧКИ Н2Н2,Ун2^

х __ ^АС ~^ВН2 _ _ ЬвН2 ~ЬлС

^АС~^ВН2 ^ВН2~^АС

Ун2 - ^ВН2 ' ХН2 +ЬВН2 - ,АС _ ,ВН2 'квн2 +^ВН2 ИЛИ

КАС кВН2

Ун2 = к АС 'ХН2 =-^?- ^ВН2 -к АС +Ьдс-

КАС ~КВН2

В итоге получим значения координат точки пересечения высоты ВН2 и стороны АС для треугольника ЛАВС, то есть точки ^2^ХН2’У Рп)-

Для высоты СН? и стороны АВ треугольника ЛАВС имеем систему линейных алгебраических уравнений:

Унз =к-снз ’ хнз +^снз кснз 'хнз ~Унз =~ьснз

. Унз = к АВ ' ХНЗ +^АВ І к АВ' хнз~ Унз=~Ьдв

При решении данной системы линейных алгебраических уравнений получим выражения для нахождения значений координат точки Н3нзнз.

Ьдв ЬСнз _ Ьснз Ьдв к Ав ~кснз кСнз ~к Ав

Унз ~ ^СНЗ ' ХНЗ + ^СНЗ - ,АВ _ ,СНЗ ' ^снз + Ь(ЗНЗ или

КАВ КСНЗ

Унз = ? хнз + ЬАВ = - АВ _ ,СЯ? • кАВ + ЬАВ.

КАВ ~^СНЗ

В итоге получим значения координат точки пересечения высоты СН 3 и стороны АВ для треугольника ДАВС, то есть точки ^з{хнЗ’Унз)-

Нахождение величин высот треугольника

Значения величин высот треугольника ДАВС {АН,, ВН2 и СН5) определяются согласно следующим формулам нахождения расстояний между двумя точками на плоскости:

I АН 1 - у!(ХН]~Ха) +(уні~Уа) ?>

^ВН2 = ^(ХН2 ~ хв) + (Ун2~Ув) ’

^снз = у!(хнз~хс) +(Унз~Ус) •

Нахождение координат точки пересечения высот или ортоцентра треугольника

Для высот АН 1 и ВН2 треугольника ДАВС имеем систему линейных алгебраических уравнений:

У НС = ^АН1 ' ХНС + ЬаН1 kAHl ' хнс ~ У нс = ~^АН1

, или <

УУнС ~ kВН 2 ' ХНС + ^ВН2 ^ВН2 ' ХНС “ У НС = ~^ВН2

При решении данной системы линейных алгебраических уравнений получим выражения для нахождения координат точки ^с(хдс’)’дс):

хнс -

Ъвн2 Ьані _ ЬАН1 Ьвн2

^ВН2~^АН1 к-АН1~квН2

УНС ~^АН1

хнс + ЬАні = ~^ВН2^АНі .г + ь

пС Ап У» г Ап / Ап/

КВН2 ~кАН1

У НС - ^ВН2 ‘ХНС +^ВН2 - ,ВН2 _ ,АН1 'квН2 +ЬВН2-

КВН2 КАН1

В итоге получим значения координат точки пересечения высот АН1 и ВН2 для треугольника ЛАВС, то есть точки Н снснс).

Для высот АН] и СН 3 треугольника ЛАВС имеем систему линейных алгебраических уравнений:

У НС = ^АН1 ' ХНС + АН 1 АН 1 ' ХНС ~ У НС = ~^АН1

,ИЛИ <

УУнс ~ ^снз ' хнс + ^снз кснз ' хнс ~ У нс ~ ~^снз

При решении данной системы линейных алгебраических уравнений получим выражения для нахождения координат точки ^с(хнс>Унс-

х _ Ьснз ~^АН1 _ ЬАН1 ~^снз кснз ~кдні кАні ~кснз

і і С’ Н Ь А И / і і

У НС =^АН1 ‘ ХН ~У^АН1 =~~Г ^АН1 +^АН1 ИЛИ

КСНЗ кАН1

1 7 Н 1 АН 1 7 7

У нс ~ ^снз ' хн + ^СНЗ - ~т ^снз + ^снз'

КСНЗ КАН1

В итоге получим значения координат точки пересечения высот АН) и СН3 для треугольника ДАВС,хо есть точки Нснснс

Для высот ВН2 и СН3 треугольника ЛАВС имеем систему линейных алгебраических уравнений:

УнС ~квН2‘XHc+bBH2 квН2'ХНС У НС- ЬВН2

< ,ИЛИ s

[У нс = кснз ' хнс + ьснз х^снз ’ хнс ~ У нс = ~ьснз

При решении данной системы линейных алгебраических уравнений получим выражения для нахождения координат точки Нс(хнС’Унс):

х __ ЬСНЗ ~ЬВН2 _ _ ЬВН2 ~ьснз

^снз ~квн2 квн2 ~^снз

v . г .1> _ bCH3~bBH2 l ,h

УнС~КВН2 XHC+DBH2~ , KBH2+DBH2 ИЛИ

КСНЗ КВН2

v - k • Y + h - ЬСНЗ~ЬВН2 к .h

Унс~кснз ХНС ±DCH3 - , , кснз^°снз-

К CH З КВН2

В итоге получим значения координат точки пересечения высот ВН2 и СН3 для треугольника ЛАВС, то єсть точки Нснснс).

Вычисление площади треугольника по трем вариантам попарно рассматриваемых сторон и высот

Вычисление площади треугольника ДАВС по трем вариантам попарно рассматриваемых сторон и высот (ВС и AHj, АС и ВН2, АВ и СН з) осуществляется по формулам вычисления площади треугольника по стороне и опущенной на нее высоте:

с _ he 'ІАН1 с _ he 'ІВН2 с _ Ьв 'ІСНЗ

'Здавс - 2 ’ ~ 2 ’ ~ 2

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ   След >