Внутренние и внешние клетчатые фигуры

Рассмотрим множество А | внутренних клетчатых фигур для фигуры Ф и множество Аг внешних клетчатых фигур для фигуры Ф.

Фигура Ф

Внутренняя и внешняя клетчатые фигуры для Ф

Один из способов поиска внешних и внутренних квадрируемых фигур известен из начального курса математики. Наложим на фигуру Ф квадратную сетку — палетку. Внутри и вне фигуры Ф окажутся многоугольные фигуры Ф| и Ф₂, состоящие из конечного числа квадратов и поэтому обладающие площадью.

Школьник начальных классов для определения площади фигуры Ф накладывает палетку и вычисляет площади минимальной клетчатой внешней и максимальной клетчатой внутренней фигуры. Затем находится среднее арифметическое этих площадей, которое и объявляется искомым результатом.

Понятно, что при таком вычислении результат зависит от размеров квадратов на палетке и от положения палетки на фигуре — может получиться столько ответов, сколько учеников в классе, и у всех ответы будут правильные. Чтобы избавиться от этих зависимостей, и рассматривают все внутренние фигуры сразу (и аналогично сразу все внешние).

Может случиться, что сама фигура Ф является клетчатой, тогда множества А] и Аг имеют непустое пересечение: А|ПА₂={Ф}. В таком случае фигура Ф квадрируема и площадь ее известна.

¹

Палетка — от французского palette — пластинка.

Остается случай, когда фигура Ф не является клетчатой (хотя возможно, что ее площадь — рациональное число).

В таком случае рассмотрим множество М, состоящее из всех рациональных чисел, равных площадям внутренних клетчатых фигур для фигуры Ф. Напомним, что если число х попало во множество М, то и все неотрицательные рациональные числа, меньшие х, тоже принадлежат М.

Аналогично пусть множество Л/г состоит из всех рациональных чисел, равным площадям внешних клетчатых фигур для фигуры Ф. Если число х попало во множество Л/₂, то и все рациональные числа больше х тоже находятся в Л/₂.

При нашем договоре о фигуре Ф пересечение множеств М и Л/г пусто. Следовательно, любой элемент из М строго меньше любого элемента из Л/г.

Теперь если М и Л/г = Q+, то подмножества Л/i, Л/г образуют сечение на множестве положительных рациональных чисел и, следовательно, определяют некоторое действительное число а. В таком случае скажем, что фигура Ф квадрируема и 5(Ф) = а.

Если Л/| и Л/г = Q₊ {а} для некоторого рационального числа а, то подмножества Л/| и {а}, Л/? образуют сечение на множестве положительных рациональных чисел, рубежом которого является число а. В этом случае фигура Ф снова квадрируема и 5(Ф) = а.

Если же разность <2₊ (Л/, и Л/г) состоит более чем из одного элемента, то площади фигуры Ф не существует; фигура Ф неквадрируема.

Квадрируемость фигуры Ф означает, что разность между площадями ее внешней и внутренней клетчатыми фигурами может быть сделана сколь угодно малой. Это значит, что Ф квадрируема, если для любого положительного рационального числа х существуют клетчатая внешняя для Ф фигура Ф₂ и клетчатая внутренняя для Ф фигура Ф такие, что 5(Ф₂)-5(Ф1)<х.

Пусть существуют два рациональных числа а, b (а < Ь), не принадлежащие Л/1 и Л/₂. Тогда любое число из интервала {а, Ь) тоже не принадлежит ни одному из множеств М, М2, но это означает, что для любой внешней фигуры Ф₂ и любой внутренней фигуры Ф, всегда 5(Ф₂) - 5(Ф|) > а - Ь.

Клетчатая граница фигуры Ф

Разность квадрируемых фигур является квадрируемой фигурой. Разность клетчатой внешней и клетчатой внутренней фигуры назовем клетчатой границей фигуры Ф. Фигура Ф квадрируема тогда и только тогда, когда площадь ее клетчатой границы может быть сделана сколь угодно малой. На рисунке клетчатая фигура выделена серым цветом.

¹

Множества ;W|, М,и{а} тоже образуют сечение.

Действительные числа выражаются через рациональные именно таким образом, как это сделано в определении квадрируемости, а сложение действительных чисел определяется через сложение рациональных, поэтому свойства инвариантности и аддитивности продолжают оставаться верными и для квадрируемых, но не клетчатых фигур.

Этим показано, что функция S — площадь фигуры — существует. Область определения S — это множество квадрируемых фигур.

Образно говоря, построение множества квадрируемых фигур (и одновременно построение функции «Площадь») состоит в захвате «плацдарма» и последующего его максимального расширения. Первоначально «плацдарм» — это множество, состоящее из одного элемента — квадрата со стороной единичной длины (он уже дан в условии унитарности).