НАУЧНЫЕ ПРОБЛЕМЫ ГЕОМЕТРИИ

Графическое векторное исчисление

УДК 514 001:10.12737/8291

Ю.А. Савельев

Канд. техн, наук, доцент,

Уральский государственный университет путей сообщения (УрГУПС),

Россия, 620066, г. Екатеринбург, Колмогорова, д. 66

Графическое векторное исчисление

Аннотация. Показано, что известные методы скалярного и векторного перемножения непригодны в теоретической электротехнике, где токи, напряжения и сопротивления аппроксимируют направленными отрезками, с которыми необходимо выполнять все арифметические операции.

В основу математического обоснования предлагаемого графического векторного исчисления положены пары чисел, называемые координатами точки, для которых известен аппарат математических манипуляций. Новизна состоит в том, что названным точкам придан статус конечной точки вектора, исходящего из начала отсчета системы координат.

Подтверждением данного допущения служит известный механизм векторного сложения/вычитания. Графическое изображение суммы (разности) векторов на обычной (не комплексной) плоскости согласно излагаемому методу полностью подчиняется известному правилу параллелограмма.

Механизм умножения/деления пар чисел позволил сформулировать правило графического выполнения аналогичных действий. Длина вектора произведения на обычной плоскости есть произведение длин векторов сомножителей (модулей), а угол наклона (аргумент) равен сумме их аргументов. Приводимые зависимости полностью совпадают с аналогичными приемами в теории функций комплексного переменного, где подобные действия осуществляются на комплексной плоскости, в которой ось ординат является мнимой. Это же относится и к операции деления векторов.

Произведен расчет суммарного сопротивления участка цепи синусоидального тока, содержащего активное, индуктивное и емкостное сопротивления. При этом показан оригинальный прием одновременного графического выполнения операций сложения, умножения и деления векторов.

Ключевые слова: вектор, графическое исчисление, умножение, деление, обычная плоскость, пары чисел, мнимая единица, модуль, аргумент, электрическая цепь, расчет, токи.

Yu.A. Savelyev

Ph.D. in Engineering, Associate Professor, Ural State University of Railway Engineering, 66, Kolmogorova st., Ekaterinburg, 620034, Russia

Graphic Vector Calculus

Abstract. It is shown that the known methods of scalar and vector multiplication do not fitfor theoretical electrical engineering, where current, voltage and resistance approximate directed segments, with which all arithmetic opcrationsmust be performed.

The mathematical reasoning of the proposed graphical vector calculus relies on number pairs called “point position” with known apparatus of mathematical manipulations. The novelty is that these mentioned points are given the status of the endpoint of the vector emanating from the origin point of coordinate system.

Theknown mechanism of vector addition/subtractionconfirms this assumption. Graphical representation of the sum (difference) of vectors on aordinary (non-complex) plane according to the described method completely subordinates to the well-known parallelogram rule.

The mechanism of multiplication/division of number pairs made it possible to formulate the rule of graphical performance of similar operations. Vector length on the normal plane is the product of the vectors’lcngthsof cofactors (modules), and the tilt angle (argument) equals the sum of its arguments. Given dependences coincide with the analogous methods in the theory of functions of a complex variable,where such operations are performed on the complex plane in which the ordinate axis is imaginary. The same applies to the division of vectors.

Combined resistance of harmonic current circuit section containing active, inductive and capacitive resistance is calculated. At the same time the original method of simultaneous performance of graphical addition, multiplication, and division of vectors id displayed.

Keywords: vector, graphical calculus, multiplication, division, ordinary plane, number pairs, imaginary unit, module, argument, electrical circuit, calculation, currents.

Векторы, отрезки определенной длины и направления используют для изображения так называемых векторных величин: силы, скорости, ускорений и др. Отсюда возникает необходимость выполнения с ними всех арифметических операций. В частности, это относится к теоретической электротехнике, где аппроксимируемые векторами напряжение, ток и электрическое сопротивление необходимо не только суммировать (вычитать), но умножать и делить.

Однако механизм деления векторов в обычной плоскости в математической литературе не приводится. Известные методы перемножения векторов также малопригодны в электротехнике. Так, в скалярном произведении итоговый вектор является проекцией на скаляр, а в векторном расположен в перпендикулярном направлении и результат зависит от порядка расположения сомножителей, что не подтверждается математически в названной дисциплине.

Цель данной работы состоит в том, чтобы показать возможность выполнения сугубо графических векторных арифметических операций на обычной плоскости, подтвердив декларируемые действия известными математическими приемами, а также выполнением практических геометрических расчетов в области теоретической электротехники.

В «Популярных лекциях по математике»1 А.Г. Курош [I] излагает методы выполнения арифметических операций с парами чисел, называемых координата- [1]

ми точки, ограничивая область их применения 1-й четвертью плоскости с положительными значениями (рис. 2 [1]). Однако приводится и иное суждение: «Мы научились задавать парами действительных чисел все точки на плоскости». Тем не менее это подтверждаемое нами утверждение (все точки плоскости) А. Г. Курош опровергает дальнейшими рассуждениями, обосновывая необходимость введения теории функций комплексного переменного.

Итак, утверждается, что сумма (разность) двух точек (а, Ь) и (с, d) есть точка с суммой (разностью) абсцисс (а ± с) и ординат (b ± d). Проиллюстрируем данную операцию (сумму) графически (рис. ,а). Здесь С(15, 35) = Л(25, 15) + 2?(—10, 20). А что будет, если точки А и В представить концами векторов (радиус-векторами), исходящих из начала отсчета? Ответ: получим известное правило графического сложения векторов (рис. 1,6). Подчеркнем, что данный подход справедлив и для других арифметических операций с векторами и, в первую очередь, при их вычитании.

Графическое сложение пары чисел (а) и векторов (б)

Рис. 1. Графическое сложение пары чисел (а) и векторов (б)

Приведенные рассуждения, практически не имеющие научной новизны, использованы автором для обоснования графических операций умножения и деления векторов на обычной плоскости.

Произведением заданных точек в [1] называется точка с абсциссой ас — bd и ординатой ad + be, т.е.

(a, b)(c, d) = (ас — bd, ad + be) (1)

Частное же от деления рассматриваемых точек описывается соотношением:

  • (я, ac + bd (bc-ad
  • (c,d) c2 + d2 / c2 + d2 J

Произведение векторов на обычной плоскости. Теоретически не ограничивая возможность перемножения пар чисел, в [1] утверждается невозможность возведение в квадрат на рассматриваемой плоскости (умножение на себя) чисел, лежащих на оси ординат. В частности, вполне закономерное с точки зрения излагаемой теории векторного исчисления на обычной плоскости действие

(0, 1 )(0, 1) = (— 1, 0) приводит к парадоксальному выводу. Поскольку произведение пар точек, лежащих на оси ординат, находится на оси абсцисс, то возникает необходимость введения «более широкой, чем система действительных чисел, системы комплексных чисел» с введением вместо обычной комплексной плоскости. А можно ли все-таки перемножать векторы на обычной плоскости? Ответ: да. В подтверждение приведем несколько примеров с новой графической трактовкой умножения пар чисел, что характерно для графического доказательства.

Вначале перемножим векторы А и В. Уравнение (1) дает (10, 20)*(20, 10) = (10*20 - 20*10; 10*10 + 20*20). Итак, вектор С = (0, 500). Графическое отображение — рис. 2. Рассмотрим численные параметры как исходных, так и конечного векторов, полученные построением и измерением с использованием отечественной графической системы КОМПАС. Их численные значения также показаны на рис. 2, анализ которых дает следующие результаты.

Перемножение векторов А и В

Рис. 2. Перемножение векторов А и В

Во-первых, угол наклона вектора-произведения с абсолютной точностью, обеспечиваемой математическим ядром редактора, равен сумме таковых у исходных. Во-вторых, длина итогового вектора с точностью 0,006% равна произведению сомножителей.

Но такая математическая зависимость известна в теории функций комплексного переменного при перемножении векторов на комплексной плоскости, где утверждается, что модуль (длина) произведения равен произведению сомножителей, а аргумент (угол наклона) — сумме аргументов.

Но такое на обычной плоскости, по мнению автора [1], невозможно, приводя в доказательство возведение в квадрат мнимой единицы (/). Цитата: «Точка (— 1, 0) лежит, однако, не на оси ординат, а на оси абсцисс, поэтому... построенная нами числовая система — более широкая, чем система действительных чисел, и называется системой комплексных чисел».

Покажем непротиворечивость использования данного метода и во второй [1] четверти обычной плоскости (рис. 3), возведя во вторую степень вектор И(10, 20). В соответствии с излагаемой теорией произведение (10 * 10 - 20 * 20, 10 * 20 + 20 * 10) = (-300, 400). Модуль — 500 (22,360682), а аргумент — 126°52'11,6" (63°26'5,8" * 2).

Покажем геометрический смысл и возведение в квадрат (рис. 4) мнимой единицы: I2 = (0, 1)(0,1) = (0* 0- 1 * 1, 0* 1 + 1 * 0) = (-1, 0).

Возведение в квадрат мнимой единицы

Рис. 4. Возведение в квадрат мнимой единицы

В соответствии с излагаемой теорией аргумент 90° + 90° = 180°, а модуль 1*1 = 1. Наконец, для убедительности покажем использование 2-й, 3-й и 4-й четвертей (рис. 5), возведя в квадрат (—2, 1).

Использование 2-й, 3-й и 4-й четвертей обычной плоскости

Рис. 5. Использование 2-й, 3-й и 4-й четвертей обычной плоскости

Деление векторов. Частное двух чисел — это число, произведение которого на делитель равно делимому. Его математическое описание:

(a, Z>) (ac + bd (bc-ad (c,d) + d2 / + d2 J‘

Логично предположить, что оно неукоснительно соблюдается. Графическое подтверждение — рис. 6.

Модуль — частное от деления модулей, а аргумент — их разность.

Гипотеза становится истиной после ее подтверждения. С этой целью выполним реальный расчет из области теоретической электротехники, в которой электрические токи, напряжения и сопротивления отображаются в виде векторов. Расчет сопротивлений в цепи синусоидального тока методом векторного исчисления на обычной плоскости, определение комплексных действующих токов и напряжений, векторные диаграммы и балансы показаны нами в [2]. Порядок определения электрического сопротивления приводится ниже.

Задача. Методом графического векторного исчисления определить комплексное сопротивление участка цепи синусоидального тока (рис. 7). Дано: гх = 8 Ом; г2 = 6 Ом; ХС1 = 6 Ом; XL2 = 8 Ом.

Схема участка цепи синусоидального тока

Рис. 7. Схема участка цепи синусоидального тока

В соответствии с теорией [3] угол наклона к оси абсцисс вектора, отражающего активное сопротивление (г), примем равным нулю, индуктивного (XL) — 90°, а емкостного (ХС) — 270°.

На первых двух этапах традиционным методом векторного сложения определим сопротивления участков 1 (рис. 8,а) и 2 (рис. 8,^).

Сопротивление параллельно соединенных ветвей определим по известному соотношению (4)

(4)

Комплексное сопротивление участков

Рис. 8. Комплексное сопротивление участков

1 (а) и 2 (б)

Для упрощения определение модуля и аргумента выполним раздельно по этапам. Аргумент числителя в (4) — арифметическим сложением (рис. 9,а), знаменателя — векторным сложением (рис. 9,6). Искомый аргумент получаем вычитанием. Численно он составляет примерно 8°7', так как в технической электротехнике нет высокоточных приборов для измерения параметров. Приводимая высокая точность использована для демонстрации возможностей метода в других исследованиях.

Определение аргументов (4) числителя (а) и знаменателя (6)

Рис. 9. Определение аргументов (4) числителя (а) и знаменателя (6)

Суммарный модуль вычислим авторским методом выполнения графических арифметических операций умножения и деления [2]. С этой целью преобразуем (2) в (3):

Z1 = Zi z2 Zi+Z2'

Отложив на сторонах угла (ось абсцисс и итоговый аргумент) известные отрезки, измерением получим численное значение модуля, а вместе с тем и искомые параметры вектора. Здесь использовано геометрическое свойство параллельных прямых. Они отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки: a:b — c.d.

Определение полного сопротивления цепи

Рис. 10. Определение полного сопротивления цепи

Итак, модуль полного сопротивления исследуемого участка цепи составляет 7,07 Ом, а аргумент — 8°8'. Большая точность для данного расчета не нужна, так как не существует соответствующих приборов измерения. Приводимое большое число значащих цифр после запятой дано для демонстрации возможностей метода, обеспечиваемое математическим ядром используемого графического редактора.

Данный расчет подтвержден алгебраической, тригонометрической и показательной формами, используемыми для этих целей в теоретических основах электротехники.

Заключение. Разработан и подтвержден метод выполнения графического умножения и деления векторов на обычной (не комплексной) плоскости. При этом главное состоит в том, что излагаемый метод обоснован новым математическим способом.

Литература

. Касаткин А.С., Немцов М.В. Электротехника. М.: Энергоатомиздат, 1983.

  • 2. Курош А.Г. Алгебраические уравнения произвольных степеней. М.: Наука, 1983.
  • 3. Савельев Ю.А. Вычислительная графика. Екатеринбург: УМЦ УПИ, 2005.

References

  • 1. Kasatkin A.S., Nemtsov M.V. Elektrotekhnika [Electrical Engineering]. Moscow, Energoatomizdat Publ., 1983.
  • 2. Kurosh A.G. Algebraicheskie uravneniya proizvol'nykh stepeney [Algebraic equations of arbitrary powers]. Moscow, Nauka Publ., 1983.
  • 3. Savel’ev Yu.A. Vychislitel'nayagrafika [Computationalgraphic]. Ekaterinburg, UMTs UPI Publ., 2005.

МЕТОДИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ ПРЕПОДАВАНИЯ

УДК 514.123:378 DOI: 10.12737/8292

Н.А. Сальков

Канд. техн, наук, профессор,

Московский государственный академический художественный институт им. В.И. Сурикова, Россия, 109004, г. Москва, Товарищеский переулок, д. 30

  • [1] «Популярные лекции по математике» — серия брошюр на разные математические темы, выпускавшихся в СССР. Серия выходила в 1949-1990 г. Было выпушено 62 выпуска. Выпуски 1—26 вышли в издательстве «Гостехиздат», затем они выходили в издательстве «Физматгиз» и «Наука».
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ   След >