Метод конечных элементов

Метод конечных элементов (МКЭ) на основе вариационного принципа возник из решения задач теории упругости, что и определило, в основном, терминологию, используемую в процессе его применения в других разделах механики сплошных сред (теории теплопроводности, газовой динамике и др.) [85]. Использование в МКЭ методов взвешенных невязок (таких, например, как методы коллокаций Галеркина, наименьших квадратов) позволило отказаться от вариационного принципа в МКЭ, тем более, что не для всякой задачи можно построить функционал, минимум которого дает исследуемое дифференциальное уравнение. Тем самым круг решаемых задач механики сплошных сред был существенно расширен [144, 145, 149].

Пусть в области Q = Q + Г необходимо решить некоторую дифференциальную задачу. Тогда в МКЭ осуществляется следующая цепочка процедур.

1. Область О разбивают на подобласти в количестве Е штук (е = 1,Е), называемые конечными элементами, такие, что

Q = UQS r = Jre.

  • 2. В каждом конечном элементе = Г1е + Ге выбирается система нумерованных узлов, в которых значения искомой функции являются неизвестными величинами.
  • 3. Каждому нумерованному узлу приписывается базисная функция такая, что в этом узле она равна единице, а в остальных нумерованных узлах расчетной области - нулю. Число базисных функций в расчетной области равно числу нумерованных узлов, причем для различных узлов они обладают свойством линейной независимости (или ортогональности) по всей расчетной области.
  • 4. Решение искомой дифференциальной задачи приближенно строится в виде линейной комбинации базисных функций по всем нумерованным узлам расчетной области с коэффициентами линейной комбинации, равными значениям искомой функции в нумерованных узлах.
  • 5. Это решение подставляется в дифференциальную задачу и, поскольку решение приближенное, результатом подстановки будет не тождественный нуль, а некоторая функциональная невязка.
  • 6. С помощью известных методов взвешенных невязок (коллокаций Галеркина, наименьших квадратов) функциональная невязка минимизируется по всей расчетной области путем приравнивания нулю скалярного произведения функциональной невязки и весовых функций (скалярное произведение от непрерывных функций равно определенному интегралу по расчетной области от произведения этих функций), причем в методе взвешенных невязок Гал ер кина весовые функции в нумерованных узлах совпадают с базисными функциями. В результате получается система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относительно значений искомой функции в нумерованных узлах, коэффициентами в которой являются интегралы по всей расчетной области от базисных функций и их производных.
  • 7. Определенные интегралы по всей расчетной области заменяются на сумму интегралов по конечным элементам, что, в силу ортогональности базисных функций, делает матрицу СЛАУ сильно разреженной, с ненулевыми элементами, расположенными в окрестности главной диагонали (так называемые ленточные матрицы, частным видом которых является трехдиагональная матрица).
  • 8. Решается СЛАУ относительно узловых значений искомой

функции каким-либо известным методом (Гаусса, простых итераций, Зей-деля и т.п.). Результаты решения подставляются в приближенное решение по п. 4. При этом полученные значения искомой функции в нумерованных узлах каждого конечного элемента могут быть использованы для получения решения во всех точках конечного элемента + Ге с помощью

так называемых функций элементов, простейшим случаем которых является линейный интерполяционный многочлен в Rn согласно [145].

Представление решения в МКР (а) и МКЭ (б)

Рисунок 2.25 - Представление решения в МКР (а) и МКЭ (б)

Таким образом, существенным отличием МКЭ от метода конечных разностей (МКР) является то, что в МКЭ решение на каждом элементе получается в виде непрерывных (или гладких) функций, в то время как в МКР - в виде сеточной функции (рисунок 2.25).

Метод интегральных уравнений

Метод интегральных уравнений дает возможность рассчитать магнитное поле в неоднородной среде (катушка, воздух, сталь, вода и т.д.) свести к расчету в однородной (в вакууме, воздухе).

При этом неоднородности необходимо заменить вторичными источниками поля: магнитные заряды, источники с объемной или поверхностной плотностью тока, вихревыми токами.

Выделяются два подхода к расчету метода интегральных уравнений.

  • 1. Используются условия на границах между неоднородными в магнитном отношении областями. Задачу расчета вторичных источников необходимо свести к граничным интегральным уравнениям первого и второго рода, которые приводятся к уравнениям в конечных суммах для подобластей с постоянными или кусочнопостоянными значениями магнитной проницаемости.
  • 2. Название второго подхода - «метод пространственных интегральных уравнений». Основывается данный подход на общем интегральном выражении магнитной индукции через намагниченность деталей магнитной системы при отсутствии каких-либо дополнительных краевых условий. Расчет осуществляется по итерационной схеме с учетом нелинейных характеристик подобластей, на которые разбита магнитная система [85].
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ   След >