Граничные условия для градиента

Уравнения в конечных разностях, которые будут выведены ниже, одинаково пригодны для релаксационного и итерационного методов.

Подлежащие рассмотрению граничные условия относятся к прямолинейным и криволинейным границам, совпадающим и не совпадающим с узлами сетки, и к поверхностям раздела между областями, которые имеют различные электрические или магнитные постоянные и разные значения плотности тока. Существует очень много различных комбинаций, перечисленных выше факторов, и нет необходимости детально рассматривать уравнения в конечных разностях для каждого случая. Однако, рассмотрим наиболее важные уравнения, полученные в общем виде.

Границы делятся на две группы в зависимости от того, совпадают они с узлами сетки или нет. Границы, совпадающие с узлами, параллельные линиям сетки и диагональные по отношению к ним, границы, не совпадающие с узлами, параллельные линиям сетки (но не совпадающие с ними), а также общий случай криволинейных границ.

Границы, совпадающие с узлами сетки

Для каждой из двух разновидностей границ, совпадающих с узлами сетки, а именно параллельных и диагональных по отношению к сетке, требуются два разных уравнения в конечных разностях: одно - для узлов, расположенных в углах границы, а другое - для остальных узлов, лежащих на границе. Для той или другой разновидностей границ вначале рассмотрены узлы, не примыкающие к углам, а анализ параллельных границ предшествует анализу диагональных границ.

Наиболее общие условия на границе или поверхности раздела, которые могут встретиться в практике, относятся к двум областям, имеющим различные магнитные проницаемости, при протекании в одной из них тока, и эти условия приняты для каждой из описанных выше разновидностей границ. Для особенно полезного случая параллельных границ представлен также ряд важных частных модификаций уравнений.

Границы, параллельные линиям сетки - общий случай. Рассмотрим границу и узлы, изображенные на рисунке 2.20. Допустим, что в области а, лежащей слева от границы, протекает ток, распределенный равномерно с плотностью J, а область б, лежащая справа от границы, обесточена. Кроме того, предположим, что индекс а определяет величины А, у и W в области а, а индекс б относится к тем же величинам в области б.

Граница параллельная линиям сетки

Рисунок 2.20 - Граница параллельная линиям сетки

Для всех узлов в области а, включая лежащие на границе, удовлетворяется уравнение Пуассона, поэтому, согласно уравнению (2.53) для узла 0 имеем:

Л1+Л2+4з+44-44о+^ = О (2-57) а для всех узлов в области б справедливо уравнение Лапласа, в связи с чем из (2.53) при W = 0 для узла 0 следует:

Л1 + Аб2 + АбЗ + Аб4 ~ бО = 0 (2.58)

Однако, потенциалы Аа1 и Аб3 не имеют физического смысла, поскольку узлы 1 и 3 лежат, соответственно, в областях а и б. Такие потенциалы называются фиктивными и часто применяются при анализе влияния границ. Хотя они и не используются практически, тем не менее их можно рассматривать как математические величины, необходимые для вывода уравнения, относящегося к узлу, лежащему на границе. Это объясняется тем, что в граничные условия между двумя областями, выраженные в конечных разностях, также войдут фиктивные величины Aai и Аб3 и их, таким образом, можно исключить с помощью уравнений (2.57) и (2.58).

В окончательном виде уравнение в конечных разностях для типового узла 0 будет иметь вид

Абх—+А,+Аа,— +Л-4Л0+ — h2W,'=0 (2.58)

б11 + Я 2 31 + 7? 1 + А а

Граница между областями полей Пуассона и Лапласа - одинаковые магнитные проницаемости. Часто применяется уравнение для узлов, лежащих на границе между областями, имеющими одинаковые магнитные проницаемости, когда в одной из них протекает ток, а в другой тока нет. Его нетрудно получить, положив в уравнении (2.58) ца = ц6, т. е. R = 7, откуда

41+Л2+4з+Л4-4Ло+|йЧ=О (2.59)

Граница между двумя областями полей Лапласа - различные магнитные проницаемости. Уравнение для узла, лежащего на границе между двумя областями, свободными от токов, с различными магнитными проницаемостями можно получить, положив в уравнении (2.58) Wa = 0. В этом случае может потребоваться также уравнение для скалярного потенциала.

^61 + ^2+^3-^-+ ^4-4^0=° (2-59)

1 + К 1 + к

где R = jua/juq для магнитных полей и R = для электрических по

лей.

Если R = 7, то уравнение (2.59) превращается в простое уравнение Лапласа в конечных разностях для симметричной звезды.

Граница между двумя областями полей Лапласа - магнитная проницаемость одной из них бесконечно велика. Если магнитная проницаемость области а бесконечно велика, то поток пересекает границу под прямым углом. Это условие для нормальной составляющей градиента выражается уравнением

2+ Л2 + Л4 - 4Л0 = 0 (2.60)

которое нетрудно получить, положив в уравнении (2.58) R = 0.

Угловой узел для границ, параллельных сетке - общий случай. Приведенные выше уравнения относятся ко всем узлам, за исключением узлов, лежащих в углах границы; для таких углов требуется другое уравнение. Рассмотрим прямой угол, образуемый поверхностью раздела между областями а и б, имеющими те же магнитные проницаемости и токи, что и прежде (рисунок 2.21). В связи с представлением поля дискретными точками действительная конфигурация границ не поддается точному учету и для вывода уравнения, относящегося к угловому узлу, необходимо ввести

Угловой узел для границ

Рисунок 2.21 - Угловой узел для границ

Они расположены симметрично по отношению к углу и представлены пунктирными линиями, образующими углы аир. Для узла 0, лежащего на границе N0P, действительно одно и то же уравнение при любом зна чении а в пределах —-3— и аналогичным образом одно уравнение справедливо для того же узла, лежащего на границе Q0R, при любом значении тс

Р в пределах 0- —. Исходя из этих двух уравнений, находим уравнение для узла 0, лежащего на действительной границе, которое дает среднее из двух значений Ао.

Уравнение для границы Q0R нетрудно получить на основании анализа случая, когда Р = 0 (при этом граница исчезает); оно имеет вид:

4л + 4?2 + 4?з + 4$4 ~ 4Л0 = О (2.61)

В то же время уравнение для границы N0P в частном случае, когда а = тс, соответствует уравнению для границы LM. Уравнение в конечных разностях для узлов, лежащих на такой диагональной границе, представлено следующим образом:

А6} + 452 + Д(Лз + 4,4)- 2(1 + Ж +1 Rh2Wa = О (2.62)

Следовательно, объединив уравнения (2.61) и (2.62) и принимая во внимание равенство Ааз и Абз, а также Аа4 и Аб4, получим уравнение для узла 0, расположенного в вершине прямого угла поверхности раздела, в виде:

41+42+|(1+лХ4 + 4)-(з+л)4+^йХ=о (2-63)

Соответствующие уравнения для случая, когда ток протекает в области б, находятся таким же путем.

Важный частный случай, вытекающий из уравнения (2.63), относится к узлу, расположенному в вершине угла области с бесконечно большой магнитной проницаемостью, занимающей три квадранта (т. е. образующей угол Зя72), когда обе области обесточены. Результирующее уравнение для случая, когда область б имеет бесконечно большую магнитную проницаемость, можно получить, положив в приведенном выше уравнении R = оо. Тогда

Л34-2Л0 =0 (2.64)

Границы, диагональные по отношению к сетке — общий случай.

При выводе уравнений для узлов, лежащих на границе, диагональной по отношению к сетке (рисунок 2.22), возможны два подхода, которые приводят к уравнениям, связывающим различные группы узлов. Можно или непосредственно использовать с небольшими изменениями уравнения, полученные выше, или составить новую (и более точную) систему уравнений.

Диагональная граница по отношению к сетке

Рисунок 2.22 - Диагональная граница по отношению к сетке

Для того, чтобы применить выведенные выше уравнения к диагональной границе, необходимо повернуть звезду в лежащем на границе узле на 45° и увеличить размер ячейки сетки в V2 раз. Таким образом, с использованием обозначений на рисунке 2.22 общее уравнение, полученное из уравнения (2.58), будет иметь вид:

Аб„ — + Аа + Ааг + Л3-4Л0+ — Rh2W =0 (2.65)

'1 + 7? q + R 3 0 1 + 7?

В связи с укрупнением сетки это уравнение менее точно, чем уравнения для узлов, не лежащих на границе.

Более точное уравнение для узла 0 можно получить, исходя из значений потенциала в узлах 1-4, по методу, аналогичному использованному при выводе уравнения (2.58); при этом необходимо рассмотреть узлы х и у, где х является средней точкой отрезка, соединяющего узлы 1 и 2, а у -средней точкой отрезка, соединяющего узлы 3 и 4. Потенциал Ао в узле О удовлетворяет уравнениям Пуассона и Лапласа в конечно-разностном виде. Выполнив некоторые преобразования приходим к уравнению в конечных разностях в виде:

2(Лб1 +A62)+2R(Aa}4)-4(1 + 7?)Л0 + Rh2Wa =0 (2.66)

Угловой узел в случае диагональных границ - общий случай.

Уравнение для узла, лежащего в вершине прямого угла, образованного пересечением двух поверхностей раздела, диагональных по отношению к сетке, можно получить из предпосылок, аналогичных использованным выше. Если область а, где протекает ток, представляет собой квадрант, в котором находится узел 3, то уравнение будет иметь вид:

Аб1 +1(1 + Л)Ла3 + |(3 + 7?Х4>2 + Аа4)-(3 + R)A0 +^Rh2Wa=Q (2.67)

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ   След >