Уравнения Максвелла в комплексной форме

Все реальные электромагнитные процессы можно представить либо в виде суммы дискретных гармонических колебаний, либо в виде непрерывного спектра гармонических колебаний, поэтому изучение гармонических во времени электромагнитных полей представляет большой практический и теоретический интерес. Такие поля часто называют монохроматическими. В буквальном переводе монохроматический означает одноцветный. Название взято из оптики: как известно, каждому цвету соответствуют колебаниям определенной частоты.

При исследовании процессов, гармонически изменяющихся во времени, весьма удобным математическим аппаратом является, символический метод или метод комплексных амплитуд, известных из теории электрических цепей [124]. Согласно этой теории, любой гармонически изменяющейся функции

А = Ат • cos(6y • t + ср), (2.32)

где Ат - амплитуда;

<р - начальная фаза;

а) = 2^ = 2тг1Т

fnT- частота и период гармонического колебания; можно поставить в соответствие комплексный вектор

А = ~Ат • = Ат ? , (2.33)

где Ат = Ат-е'ч> - не зависящий от времени комплексный вектор, мо-дуль и аргумент которого, являясь функциями пространственных координат [ Атт -(x,y9z) ; ^ = ^-(x,y,z) ] и показывают как из меняются в пространстве амплитуда и фаза гармонически изменяющейся величины (по аналогии Ат = Ат • е1(р - комплексная амплитуда скалярной функции А).

Как известно по формуле Эйлера:

Ат ' el^'t+^ = Ат • cos(&> • t + (р) + iAm • sin(69 • t + ср), (2.34)

следовательно, для перехода от комплексной амплитуды Ат к мгновенному значению исходной функции нужно вычислить реальную часть A = Re{^}.

Необходимо отметить, что, в общем случае, вместо разложения вектора А по ортам декартовой системы координат может оказаться необходимым разложение по каким-либо другим ортогональным векторам, что не вносит в рассмотрение никаких принципиальных изменений. Если функция А удовлетворяет линейным уравнениям, то таким же уравнениям будут удовлетворять соответствующие комплексные функции А. Однако, определение комплексных функций во многих случаях оказывается проще определения исходных функций.

Уравнения Максвелла являются линейными дифференциальными уравнениями. Поэтому при изучении монохроматических электромагнитных полей можно вместо векторов Е и Н рассматривать комплексные векторы Е и Н.

И, таким образом, имея запись уравнений Максвелла в форме, позволяющей вычислить комплексные амплитуды вектора Е и Н легко получить и их мгновенные значения (Ет , Нт).

Для комплексной записи первого уравнения Максвелла в комплексной форме вычислим производную

^- = ^{рте‘^1соПте‘м. (2.35)

Тогда первое уравнение Максвелла в комплексной форме будет иметь вид

rotHmeiM = ]пртеш + ia>meiM . (2.36)

Используя уравнение связи Dm = еаЕт и закон Ома jnpm = оЕт, а также разделив обе части уравнения на elC0t, получим

rotHm=aEm+i(osaEm , (2.37)

или после преобразования

rot Иm = icoEm

~ . cr

где sak=sa~l--комплексная диэлектрическая проницаемость среды.

со

Проделав аналогичные преобразования в остальных уравнениях, получим систему уравнений Максвелла в комплексной форме

rotHm = iaKEm

rotEm=-ia>'fiakHm (2.39)

= рт

divPaH,n = О

Следует иметь ввиду то, что возможность использования в данном случае метода комплексных амплитуд обусловлена линейностью уравнений Максвелла. Линейность же позволяет использовать этот метод и при анализе сложных негармонических функций. Естественно, при этом предварительно представить данную функцию в виде спектра (дискретного или непрерывного) гармонических функций, с последующим применением принципа суперпозиции.

Классификация сред по проводимости

Рассмотрим более подробно первое уравнение Максвелла в комплексной форме

rotHm = jc^?a -’ (2-40)

очевидно, что сомножитель, стоящий в скобках зависит от параметров среды - диэлектрической проницаемости, проводимости и частоты электрического поля, кроме того, очевидно, что диэлектрическая проницаемость определяет величину плотности тока смещения в среде:

]см=^Ет, (2.41)

а проводимость - плотность тока проводимости

Лр=<тЕт (2.42)

Соответственно величина tg3 = — определяет отношение плотности (О?

тока проводимости к плотности тока смещения в среде с параметрами ст и е на частоте Од .

При этом в электродинамике принято считать, что в случае:

если tg5 >10 - среда является проводником - (токи проводимости » токов смещения);

если tgd < 0,1 - среда является диэлектриком^

если 0,1 < tgd < 10 - среда полупроводник.

Необходимо обратить внимание, что классификация среды зависит от частоты и при разных частотах одна и та же среда может быть как проводник, так и полупроводник или диэлектриком.

Например, почва: sornH = 10,д = 10-2.

f<2 МГц - проводник;

  • ?>200 МГц - диэлектрик;
  • 2

Классификация электромагнитных полей

Решение уравнений Максвелла является достаточно сложной задачей, однако, для некоторых полей она может быть упрощена, соответственно, упрощаются и уравнения Максвелла.

Статическое поле (электростатическое и магнитостатическое) -поле неподвижных, неизменяющихся во времени зарядов — = 0,

J пр ~ 0 см = 0

rotH = 0 $Hdl=0

L

rotE =0 p<7/=0 (2.43)

L

divD = p DdS = Q

s

divB =0 §BdS=0

s

Стационарное поле - поле, создаваемое постоянными токами.

— = о => JCM = 0 dt

Jnp

rotH = jnp = оЁ

Hdi = lnp

L

rotE = 0

§Edl = 0 (2.44)

L

divD = p

f DdS = Q

s

divB = 0

=0

5

Квазистационарное поле - (медленно изменяющееся во времени) (V « X)

- dD

при этом сгЕ » —

-f гч w dD

rotH = Jnp, если Jnp = 0, то rotH =

rotE=~—; (2.45)

dt

divD = p;

divB = 0.

Быстропеременное поле - описывается полной системой уравнений Максвелла.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ   След >