Изгиб

/dv dv_r

^— Л _дг + _г

В точке А радиальная составляющая скорости v

Рис. 259

равна нулю. В точке В появляется составляющая

dv

скорости вдоль радиуса ОА, равная dv — —z’tAp, так что —- = — v , а потому

(96.5)

Подставляя сюда v = сог, получим

ды>

(96.6)

= 1]Г ---.

^ГЧ> ¹ дг

Вязкие напряжения исчезают, если = 0, т. е. если жидкость вращается как целое, подобно твердому телу. Этого не получилось бы, если бы в формуле (dv —?—I--

(96.7)

ух = П

ду дх

не было учтено второе слагаемое.

6. В качестве примера на применение формулы (96.5) рассмотрим установившееся движение жидкости между двумя равномерно вращающимися коаксильными цилиндрами. Пусть I — высота цилиндров, 2^ и R₂ — их радиусы, a Qj и Q₂ ^_ угловые скорости. Величину I будем предполагать очень большой по сравнению с толщиной зазора R₂ —R_{ между цилиндрами. Тогда цилиндры можно считать бесконечно длинными и отвлечься от осложняющих обстоятельств, вносимых их краями. Проведем в жидкости произвольную цилиндрическую поверхность радиусом г (рис. 260). Момент сил вязкости, действующих на этой поверхности, относительно оси вращения равен

М — 2лг²/т — 2лн/г³ —.

¹ дг

При установившемся вращении жидкости этот момент не должен зависеть от радиуса г. Только при этом условии момент сил, действующих на жидкость, заключенную между двумя любыми коаксиальными цилиндрическими поверхностями, обращается в нуль, а момент импульса жидкости сохраняется. Таким образом, мы приходим к уравнению

г³ — = const.

dr

Обозначая входящую сюда постоянную -24 и интегрируя, получим

со — ~ 4- С,

где С — постоянная интегрирования. Постоянные А и С определятся из граничных условий. Так как вязкая жидкость прилипает к поверхности тела, которое она обтекает, то угловая скорость <о при г = R_{ должна обращаться в а при г = R₂ — в Q₂. Это приводит к двум уравнениям

4+c = q_p 4

'2’

решая которые, находим

R²

и далее

r².r² Q.-Q, /?²а_э-я²а.

• (96.8)
• 1 2__1_______2 | 2 2________1 1

/?²-/?j Г^{2 Л}2^-Л1

Момент сил вязкости, действующих на внутренний цилиндр, равен

М = 2л1]/( — 2А) = 4лт]/ ₂‘ ²₂ (Q₂ ~' ^i) •

^R2~^Rl

(96.9)

Формула (96.9) лежит в основе практического метода измерения вязкости жидкостей и газов. Внутренний цилиндр подвешивается в исследуемой жидкости в вертикальном положении на тонкой нити, а наружный приводится в равномерное вращение с угловой скоростью Q₂ — Q. Измеряется угол закручивания нити <р, при котором внутренний цилиндр находится в равновесии. Это будет тогда, когда момент вязких напряжений М уравновешивается моментом закрученной нити /<р, где f — модуль кручения. Вязкость рассчитывается по формуле

_ _/ф R}-R

(96.10)

r²r²q

ЗАДАЧИ

1. Введя локальную систему координат с началом в рассматриваемой

точке пространства, убедиться непосредственным дифференцированием, что формула (96.7) при вращении жидкости переходит в формулу (96.5).

Решение. Проведем через рассматриваемую точку пространства А круговую линию тока. Поместим начало локальной системы координат в точку А, направив координатные оси X и Y, как указано на рис. 261. Для координат и компонентов скорости в точке В получим

х = г sin <р, у = г cos — г₀,

”_Х = Чр ^C0S Ф’ ^Vy = ^sin Ф’

Рис. 261

где г₀ и г — радиусы-векторы точек А и В, a v —

скорость жидкости в точке В. Дифференцируя эти соотношения и полагая в окончательных результатах <.р = 0 (точка Л), получим в точке А

dx = r₀ гДр, dy = dr,

Отсюда

^dvx = d^ dv_y= -v^dy.

dv_x dv_y dv_y и_ф

dy dr ’ dx i"₀'

После подстановки в (96.7) получаем (96.5).

2. Как изменится формула (96.9) в предельном случае, когда толщина зазора между цилиндрами h = R₂ — R_x пренебрежимо мала по сравнению с радиусами R_r и /?₂?

Ответ. М — ²^^R (Q₂ — Q_t). (96.11)

Эту формулу можно также получить, рассматривая слой жидкости между цилиндрами как плоскопараллельный и используя формулу (96.2). Это рекомендуется сделать читателю.

• § 97. СТАЦИОНАРНОЕ ТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ ПО ПРЯМОЛИНЕЙНОЙ ТРУБЕ. ФОРМУЛА ПУАЗЕЙЛЯ
• 1. Пусть вязкая несжимаемая жидкость течет вдоль прямолинейной цилиндрической трубы радиусом R. Линии тока параллельны оси трубки. Если выделить произвольную бесконечно узкую трубку тока, то из условия несжимаемости следует, что скорость течения v будет одна и та же вдоль всей трубки тока — скорость жидкости не может меняться вдоль трубы. Но она, конечно может изменяться с изменением расстояния г от оси трубы. Таким образом, скорость жидкости и является P(x+dx) функцией радиуса г.

Р(х)

Рис. 262

Примем ось трубы за ось X, направленную в сторону течения. Выделим в трубе произвольную бесконечно короткую цилиндрическую часть длиной dx и радиусом г (рис. 262). На ее боковую

поверхность в направлении движения действует касательная сила вязкости dF = 2лгг] dx. Кроме того, на основания цилиндра в том же направлении действует сила разности давлений dF_x = лг²|Р(х) — Р(х + dx) | = —яг² dx. При стационарном течении сумма этих двух сил должна обращаться в нуль, а потому _n dv dP ^2>l?7 = ^r77-

Скорость v(r), а с ней и производная не меняются с изменением х. Поэтому должна быть постоянной и производная причем эта производная должна быть равна (Р_г — Р_х)/1, где Р_х — давление на входе трубы, Р₂ — на выходе, а I — длины трубы. В результате приходим к уравнению

^ = -^5=^r. (97.1)

dr 2xl

Интегрируя его, получим

Постоянная интегрирования С определится из условия, что на стенке трубы, т. е. при г = R, скорость v должна обращаться в нуль. Это дает

Р'~Р₇, Э Ох

^г>' <⁹⁷-²>

Скорость V максимальна на оси трубы, где она достигает значения

^{V =} (97.3)

При удалении от оси скорость v меняется по параболическому закону.

2. Подсчитаем расход жидкости, т. е. количество ее, ежесекундно протекающее через поперечное сечение трубы. Масса жидкости, ежесекундно протекающей через кольцевую площадку с внутренним радиусом г и внешним г + dr, равна dQ = 2лг dr-pv. Подставляя сюда выражение для v и интегрируя, находим искомый расход жидкости

р __Р *

Q=*p-*^r S

о

или

6^=лр^?8^^л4- (97.4)

Расход жидкости пропорционален разности давлений Р_х — Р₂, четвертой степени радиуса трубы и обратно пропорционален длине трубы и вязкости жидкости. Эти закономерности были установлены экспериментально и независимо друг от друга в 1839 г. Гагеном и в 1840 г. французским физиком Жаном Пуазейлем (1799—1869). Гаген исследовал движение воды в трубах, Пуазейль — течение жидкостей в каппилярах. Формула (97.4) называется формулой Пу-азейля, хотя сам Пуазейль и не выводил ее, он исследовал вопрос только экспериментально. На формуле Пуазейля основан один из экспериментальных методов определения вязкости жидкостей.

Формулу (97.4) можно представить в виде Q = рлТ?²-v₀ /2. С другой стороны, можно ввести среднюю скорость потока v, определив ее с помощью соотношения Q = рл/?²й. Сравнивая эти два выражения, получаем

v = |v<). (97.5)

Формула Пуазейля справедлива только для ламинарных течений жидкости. Ламинарным называется такое течение, когда части цы жидкости движутся вдоль прямолинейных траекторий, параллельных оси трубы. (Более общее определение, применимое для любых течений, дается в § 98.) При больших скоростях ламинарное течение становится неустойчивым и переходит в турбулентное течение, с которым мы познакомимся в § 98. К турбулентным течениям формула Пуазейля неприменима.

3. Кинетическая энергия, ежесекундно переносимая потоком жидкости через поперечное сечение трубы, определяется выражением

^R 2

К = ^--2лги dr.

о

Подставив сюда значение для v и выполнив интегрирование, получим

K='-Qvl = Q(vy. (97.6)

Работа, ежесекундно производимая над жидкостью разностью давлений Р₁ — Р₂, определяется выражением А = v (Р, — Р₂)'2л;г dr,

Такую же по значению, но противоположную по знаку работу производят силы вязкости, так как при стационарном течении кинетическая энергия жидкости остается неизменной: А' = —А. С помощью формулы (97.3) можно исключить разность давлений Р — Р₂ и получить

А = - Q. (97.8)

ря

Полученные формулы позволяют ответить на вопрос, когда при течении жидкости по трубе можно пренебречь силами вязкости и, следовательно, применять уравнение Бернулли. Для этого, очевидно, необходимо, чтобы потеря кинетической энергии жидкости, обусловленная действием сил вязкости, была пренебрежимо мала по сравнению с кинетической энергией самой жидкости, т. е. |Л'| «К. Это приводит к условию

^7» 1. (97.9)

low

Здесь буквой v обозначена так называемая кинематическая вязкость, т. е. отношение

v = * (97.10)

Величину т], когда надо отличать ее от v, называют динамической вязкостью.

4. Законы, установленные Пуазейлем, могут быть в общем виде получены методом размерностей. Достоинство этого метода состоит

§ 97]

в том, что он применим к прямолинейным трубам произвольного поперечного сечения, а не только к цилиндрическим трубам. Требуется только, чтобы нормальные поперечные сечения всех труб были геометрически подобраны. Эти сечения могут отличаться друг от друга только размерами. Для каждого поперечного сечения можно установить характерный размер. За таковой можно принять, например, его периметр или корень квадратный из площади. Можно также поперечные сечения всех труб геометрически подобно рассечь на две части прямолинейными отрезками. Длины таких отрезков тоже могут служить характерными размерами. Например, в случае трубы эллиптического сечения за характерный размер можно взять длину большой или малой оси соответствующего эллиптического сечения. Но можно взять и другие отрезки, характеризующие размеры эллипса. Заданием характерного размера определяются и все прочие размеры поперечного сечения трубы.

При выводе законов Пуазейля, равно как при исследовании любого вопроса методом размерностей, основной пункт состоит в том, чтобы установить физические величины, связанные между собой функциональной зависимостью. При стационарном ламинарном течении жидкости по трубе силы вязкости уравновешиваются градиентами давлений. В уравнения движения входят эти градиенты, а потому разность давлений Р_х — Р₂ и длина трубы I могут войти только в комбинации (Р^ — P^/l- Поскольку жидкость движется без ускорения, характер течения не может зависеть от плотности жидкости. Плотность р и расход жидкости Q могут войти лишь в комбинации Q/p, так как последняя есть чисто геометрическая величина и равна объему жидкости, ежесекундно протекающему через поперечное сечение трубы. Добавив сюда еще вязкость жидкости т] и характерный поперечный размер трубы а, получим четыре величины.

между которыми должна существовать функциональная связь. Вместо а можно взять площадь поперечного сечения трубы 5. Применяя общий метод нахождения безразмерных комбинаций (см. § 87, п. 6), нетрудно убедиться, что из рассматриваемых величин можно составить только одну независимую безразмерную комбинацию, а именно

Q I п

Р Py-Pi S²'

Следовательно, такая комбинация должна быть постоянной. Обозначая эту постоянную через С, получим

Q = C^ppS². (97.11)

В этой формуле содержатся все законы Пуазейля. Она является обобщением формулы (97.4) на случай прямолинейных труб произ вольного поперечного сечения. Постоянная С зависит от формы поперечного сечения трубы и не может быть определена методами теории размерности. Для ее нахождения необходимо обратиться к опыту или к динамическим методам, т. е. к интегрированию уравнений движения.

ЗАДАЧИ

1. Определить стационарное течение вдоль оси и расход несжимаемой жидкости между двумя коаксиальными цилиндрами с внутренним радиусом R_r, внешним R₂ и длиной I.

Решение. Рассмотрим кольцевой слой жидкости с внутренним радиусом г и внешним г + dr. Сила вязкости, действующая на него в направлении течения, равна

2л/|]

r+dr

= 2л/т) -7-1/' 4ч

• 1 ^dr I dr)
• (Индексы г и г + dr означают, что величины, заключенные в круглые скобки, должны быть вычислены при значениях радиусов г и г + dr соответственно.) В том же направлении действует сила разности давлений (Р_х — Р₂) -2лг dr. При стационарном течении сумма обеих сил обращается в нуль. Это приводит к уравнению

d dr

dv dr

1 ^r 2

/1]

(97.12)

Решение его, обращающееся в нуль при г = R_{ и г = R₂, есть

Расход жидкости

v

_ яр(Р]-Р₂)

^_ 81]/

^R}~^R}

In (R₂!Rd

^{2 1} In (RJRJ

Решение. Эта задача относится к типу задач, решаемых методом угадывания. Угадывается вид решения дифференциального уравнения (97.13), а затем коэффициенты в этом решении подбираются так, чтобы удовлетворить граничному условию на стенке трубы: v — 0. Направим координатные оси Y и Z вдоль главных осей нормального эллиптического поперечного сечения трубы и будем искать решение в виде v = Ay² + Bz² + v₀. Это выражение удовлетворяет уравнению (97.13), если

2А + 2В =

^Р~^Р2 /Л

На внутренней поверхности эллиптической трубы v = 0, т. е. Ау² + + Bz² + t'_o = 0. Это уравнение должно переходить в уравнение эллиптиче-v² Z²

ского сечения трубы + — — 1=0, а потому

Для определения постоянных А, В, v₀

получилось три линейных уравнения.

Решая их, находим

"о

(97.14)

_^р!-^р2 а²Ь²

2/л а² + Ь²'

v

(97.15)

Постоянная и₀ есть, очевидно, скорость течения на оси трубы.

Вычислим теперь расход жидкости. Поверхности, на которых скорость v постоянна, суть эллиптические цилиндры

2 2

₊ 1

а'² Ь'²

полуоси которых определяются соотношениями

,2 2 ^VQ~^V и2 х.2 ^vQ~^v

a^L = a^L ——, b ^z = b ——.

^vo

^vo

Возьмем два таких эллиптических цилиндра с бесконечно близкими значениями параметра v. Площадь нормального сечения между ними dS — d(na'b') = — л — dv. Расход жидкости: ^vo о

Q = р jj v dS = -р ( V dv, ^{0 v}o

или

• 0. <2 = |рл«/ш_(97.16)
• § 98. ЗАКОНЫ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОГО ПОДОБИЯ
• 1. Рассмотрим поток жидкости, обтекающий какое-нибудь тело или систему тел. Наряду с этой системой можно ввести бесконечное множество подобных и подобно расположенных тел, обтекаемых другими жидкостями. Каким условиям должны удовлетворять параметры потока и постоянные, характеризующие свойства жидкостей (плотность, вязкость и пр.), чтобы оба потока были механически подобны? Если подобие имеет место, то, зная картину течения для первой системы тел, можно однозначно предсказать течение жидкости и для другой, геометрически подобной, системы тел. Это имеет важное значение в судостроении и самолетостроении. Вместо реальных кораблей или самолетов испытывают их уменьшенные геометрически подобные модели, а затем путем пересчета определяется поведение реальных систем. Простейший метод решения поставленной задачи дает теория размерностей.

Исследуем вопрос в общем виде. Пусть г и v — радиус-вектор и скорость жидкости в подобно расположенных точках, / — характерный размер, а у₀ — характерная скорость потока, например скорость жидкости, с которой она из «бесконечности» натекает на рассматриваемую систему тел. Свойства жидкости характеризуются ее плотностью р, вязкостью т] и сжимаемостью. Вместо сжимаемости можно пользоваться скоростью звука в рассматриваемой жидкости. Если существенна сила тяжести, то последняя характеризуется ускорением свободного падения g. Если течение не стационарно, то надо ввести какое-то характерное время т, за которое происходит заметное изменение течения. Ввиду наличия уравнений движения между величинами

V, Vq, г, I, р, Т|, С, g, I

должна существовать функциональная связь. Из них можно составить шесть независимых безразмерных комбинаций. Сюда относятся два отношения v/v₀, r/l и еще четыре безразмерных числа:

_{Re =} P^o ₌ ^o (98.1)

V] V

Если для двух течений пять из шести безразмерных комбинаций, перечисленных выше, совпадают, то будут совпадать и шестые. Это — общий закон подобия течений, а сами течения называются механически или гидродинамически подобными.

2. Величина (98.1) называется числом Рейнольдса (по имени английского физика Осборна Рейнольдса (1842—1912), величина (96.2) — числом Фруда (по имени английского ученого Фруда), величина (98.3) — числом Маха (по имени австрийского физика Эрнста Маха (1838—1916)), величина (98.4) — числом Струхаля (по имени чешского физика В. Струхаля).

Физический смысл чисел Маха и Струхаля не требует пояснений. На физическом смысле чисел Рейнольдса и Фруда необходимо остановится подробнее. При этом само собой станет ясным, что оба эти числа безразмерные. По порядку величины число Рейнольдса есть отношение кинетической энергии жидкости к потере ее, обусловленной работой сил вязкости на характерной длине. Действительно, кинетическая энергия жидкости pvg/³. Силу вязкости найдем, умножая вязкое напряжение t}Vq/1 на характерную площадь I². Это дает qu₀Z. Произведение этой силы на характерную длину определяет по порядку величины работу сил вязкости Л~т]ц₀/². Отношение кинетической энергии К к работе А будет

X ~ р/уо А т] ’

а это и есть число Рейнольдса. Число Рейнольдса, таким образом, определяет относительную роль инерции и вязкости жидкости при течении. При больших числах Рейнольдса основную роль играет инерция, при малых — вязкость.

Число Рейнольдса, конечно, определено не вполне четко, поскольку оно содержит характерную длину и характерную скорость, которые сами определены не четко. Это число, как и все остальные безразмерные числа в законе подобия, определено лишь по порядку величины. Если размеры тела в разных направлениях примерно одинаковы, то особой неопределенности не возникает. Если же это не так, то в качестве характерной длины могут быть выбраны разные величины, которые могут отличаться друг от друга значительно. Например, при течении жидкости по трубе за характерную длину можно взять длину трубы, ее радиус или какую-либо промежуточную величину. Соответствующие числа Рейнольдса могут отличаться на много порядков. Какое из этих чисел взять — зависит от поставленной задачи. Так, в предыдущем параграфе было выведено условие (97.9), при выполнении которого силами вязкости можно пренебречь. Величину, стоящую слева в формуле (97.9), можно рассматривать как число Рейнольдса, если за характерную

1 R²

длину принять — —. В рассматриваемом случае характерный размер зависит как от длины трубы, так и от ее радиуса. При таком выборе получается условие (97.9), справедливое для всех, а не только геометрически подобных круглых труб (т. е. труб с постоянным отношением R/Г). Если труба длинная (/»16А), то достаточное условие можно записать в виде

VqR/v »1,

(98.7)

т. е. за характерную длину можно принять радиус R. Но мы совершили бы ошибку, если бы вместо (98.7) взяли условие

Аналогичный смысл имеет число Фруда F. Оно по порядку величины определяет отношение кинетической энергии жидкости к приращению ее, обусловленному работой силы тяжести на пути, равному характерной длине. Чем больше число Фруда, тем больше роль инерции по сравнению с тяжестью, и наоборот.

3. Для стационарных течений характерное время т, а с ним и число Струхаля обращаются в бесконечность. Поэтому это число выпадает из соотношения (98.6). То же происходит с чилом Маха в несжимаемых жидкостях, для которых оно обращается в нуль. Таким образом, для стационарных течений несжимаемых жидкостей соотношение (98.6) переходит в

V = V_of (f, Re, FJ (98.8)

Течения подобны, если они имеют одинаковые числа Рейнольдса и Фруда.

Следует, однако, заметить, что если при испытаниях на моделях применяется та же жидкость, в которой должна двигаться реальная система, то критерии подобия Рейнольдса и Фруда несовместимы друг с другом. В самом деле, запишем эти критерии в виде

C^V1 __ ^2^V2 ^V1___^v2

^V1 ^v2 ’ ^2^2’

где индекс 1 относится к реальной системе тел, а индекс 2 — к ее уменьшенной или увеличенной модели. Перемножая эти соотношения, получим

^2 ₌ ?1 ^vi ?2

Варьирование ускорения свободного падения g принципиально возможно, но практически нереально. Однако и при одинаковых g можно принципиально удовлетворить обоим критериям подобия. Для этого надо применять жидкости с различными кинематическими вязкостями, удовлетворяющими соотношению (98.9). В большинстве случаев это почти невозможно. При испытаниях на моделях практически может выполняться только один критерий подобия: либо Рейнольдса, либо Фруда. В некоторых случаях этого достаточно. Допустим, например, что число Рейнольдса велико, а число Фруда невелико или поряд ка единицы. Тогда движение жидкости в основном будет определяться инерцией и тяжестью. Вариации числа Рейнольдса на нем будут сказываться мало. В этом случае для подобия течения необходимо выполнение лишь одного критерия Фруда. Напротив, при малых числах Рейнольдса и больших числах Фруда определяющую роль играют инерция и вязкость; влияние тяжести незначительно. Подобие будет иметь место при равенстве чисел Рейнольдса.

4. Чтобы исследовать поведение самолета во время полета, папример определить действующие на него силы, модель самолета закрепляют в аэродинамической трубе, в которой создается равномерный поток воздуха. В основе этого метода лежит принцип относительности, согласно которому ход явления может зависеть только от относительного движения самолета и воздуха. Современные аэродинамические трубы представляют грандиозные сооружения, в которых скорость воздуха может быть доведена до сотен метров в секунду. Значительное уменьшение размеров испытываемой модели неосуществимо, и вот почему. Для сохранения аэродинамического подобия необходимо равенство чисел Рейнольдса Re = vl/v, так что при уменьшении размеров модели в несколько раз во столько же раз должна быть увеличена скорость потока. Но при больших скоростях начинает существенно сказываться сжимаемость воздуха, нарушающая аэродинамическое подобие. Поэтому при больших скоростях, интересующих современную авиацию, приходится применять модели либо в натуральную величину, либо лишь незначительно уменьшенные. Вот почему сечения аэродинамических труб должны быть очень большими, чтобы в них можно было помещать отдельные части самолета или даже целые самолеты. Для преодоления указанной трудности в принципе можно идти по пути увеличения плотности воздуха, делая аэродинамические трубы геометрическими. Дело в том, что динамическая вязкость газа т| практически от плотности газа не зависит (при заданной температуре), а потому кинематическая вязкость v = г|/р обратно пропорциональна плотности. Увеличивая плотность р, можно сохранить аэродинамическое подобие и для значительно уменьшенных моделей без существенного увеличения и даже без изменения скорости потока v. Несмотря на сложность построения геометрических аэродинамических труб, этот метод все же получил практические применения. Разумеется, он не устраняет трудности, когда скорость потока приближается к скорости звука или превосходит ее, так как в этом случае для сохранения аэродинамического подобия требуется равенство не только чисел Рейнольдса, но и чисел Маха.

ЗАДАЧИ

1. Модель корабля 1_Л = 5 м приводится в движение мотором с мощностью —5 л. с. со скоростью Vj — 15 км/ч. Какой мощности Р требуется мотор для приведения в движение корабля длиной / = 80 м, геометрически подобного модели, если его движение гидродинамически подобно движению модели? Определить скорость корабля v при таких условиях.

Решение. Кинематическая вязкость воды v = 0,010 см²/с. Вычисляя числа Рейнольдса и Фруда для модели, получаем

Re = 2,1 • Ю⁷, F=-^-= 0,022.

Vi gh

Определяющую роль играет число Фруда, влияние числа Рейнольдса не очень существенно. Из равенства чисел Фруда получаем v = =

= 60 км/ч. Далее из соображений размерности находим

Р = pv²Z^5/2g^1/2/(Re, F) = pF/^7/Y^/2/(Re, F).

Отсюда, если пренебречь влиянием числа Рейнольдса

P = P₁(Z/Z₁)^7/2^ 80 000 л. с.

2. Во сколько раз следует изменить угловую скорость вращения вертикального винта вертолета и мощность его двигателя, чтобы подьемная сила осталась неизменной при замене винта и самого корпуса вертолета геометрически подобными им, но с линейными размерами, увеличенными в а раз?

Решение. Из соображений размерности следует, что подъемная сила должна выражаться формулой

F = pZ⁴co²/₁ (Z²p/r|),

а мощность — формулой

Р = pZ⁵CO³/₂(Z²COp/T|) •

Поскольку плотность воздуха и его вязкость в обоих случаях одинаковы, подъемная сила не изменится, если не изменятся значения функции и коэффициента при ней. Условием этого является Zfco₁ — 1²ш₂, откуда

• 2
• — IЬ. I — J_

«>! К) а

и далее

Р2 _ ^2°2 Ч 1_

^Р1 ~ ~ ^[9]2~ «'

§ 99. ТУРБУЛЕНТНОСТЬ И ГИДРОДИНАМИЧЕСКАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ

§ 99]

приводит к интенсивному перемешиванию между слоями движущейся жидкости. Примерами могут служить движение воды в бурном горном потоке, водопаде или за кормой быстроплывущего корабля, движение дыма, выходящего из фабричной трубы, и т. п. Такие быстрые и нерегулярные изменения происходят не из-за изменений действующих сил или внешних условий, а вследствие неустойчивости ламинарных течений при определенных условиях. Неустойчивость ламинарных течений и возникновение турбулентности — очень сложные вопросы, еще далекие от окончательного решения. Рассмотрение их далеко выходит за рамки нашего курса. Тем не менее имеет смысл привести простейший пример, когда вопрос об устойчивости ламинарного течения решается элементарно.

2. Таким примером может служить установившееся ламинарное движение жидкости между двумя вращающимися коаксиальными цилиндрами при больших числах Рейнольдса (см. § 96). При больших числах Рейнольдса вязкостью жидкости можно пренебречь, считая жидкость идеальной. Для идеальных жидкостей из-за отсутствия тангенциальных напряжений зависимость скорости от расстояния до оси вращения может быть произвольной: r = v(r). Но уже ничтожной вязкости достаточно, чтобы спустя некоторое время после начала движения установилось вполне определенное распределение скоростей вдоль радиуса, а именно (96.8).

Однако для последующих рассуждений конкретизация вида функции v = и (г) не обязательна. В невозмущенном потоке частицы жидкости движутся по окружностям с определенной угловой скоростью <о(г) = Рассмотрим какой-либо элемент жидкости, вращающийся по окружности радиуса г₀. На него действует центростремительная сила F_o =/?цо²(г₀)г₀, создаваемая разностью давлений окружающей жидкости. Введя момент импульса

_? L²(r₀)

L(r) = тг со, запишем выражение для силы в виде F_o — ——. Допустим те-тг₀

перь, что под влиянием какого-то бесконечно малого случайного толчка рассматриваемый элемент жидкости сместился в новое положение, находящееся на расстоянии г от оси вращения. Можно предполагать, что толчок был совершен в направлении от или к оси вращения, так как если движение жидкости неустойчиво по отношению к возмущениям специального вида, то оно неустойчиво вообще. Момент силы такого толчка относительно оси вращения равен нулю. Результирующая сил давления окружающей жидкости также не дает момента, поскольку она направлена к оси вращения. Поэтому при смещении элемента момент его импульса сохранится, т. е. ив новом положении будет ?(г₀). Чтобы сместившийся элемент равномерно вращался по окружности радиуса г, на него должна действовать центростремительная сила

, Т²(г₀)

F_o =--Между тем единственная сила, которой он подвержен, есть сила

тг

L²(r)

давления окружающей жидкости, а она равна F = —Если эта сила не рав-тг

на F'_o, то элемент жидкости не удержится на новой круговой орбите, куда он попал. Он будет либо возвращаться к исходной орбите, либо удаляться от нее.

В первом случае движение жидкости устойчиво, во втором — неустойчиво. Допустим, например, что г > г₀. Если F > F'_o, т. е. А² (г) > L² (г₀), то давление окружающей жидкости больше того, которое требуется для удержания сместившегося элемента жидкости на окружности радиуса г. Сместившийся элемент вернется на исходную окружность — движение устойчиво. Если же F < F_o', т. е. А²(г) 0), то силы давления окружающей жидкости недостаточно, чтобы удержать элемент па окружности радиуса г. Элемент жидкости будет уходить еще дальше — движение неустойчивое. Если г < г₀, то, рассуждая аналогично, найдем, что при А²(г) <С²(г₀) движение устойчиво, а при Л²(г) > L²(r₀) — неустойчиво. В обоих случаях критерий устойчивости можно выразить неравенством

^>0, (99.1)

аг

ИЛИ

^;(Г⁴СО²) > 0. (99.2)

• 3. Таким образом, для устойчивости необходимо, чтобы величина г⁴со² монотонно возрастала при удалении от оси вращения. Если цилиндры вращаются в противоположные стороны, то это невозможно. Действительно, в этом случае на поверхностях цилиндров угловая скорость со имеет противоположные знаки. Так как со — непрерывная функция г, то она должна обращаться в нуль в какой-то промежуточной точке. В этой точке величина г⁴со² равна нулю, т. е. достигает минимума. По разные стороны от нее производная —(г⁴со²) имеет противоположные знаки, т. е. условие (99.2) не может выполняться. Значит, если цилиндры вращаются в противоположные стороны, то движение жидкости неустойчиво. Оно будет неустойчивым и в том случае, когда внутренний цилиндр вращается, а наружный покоится. Действительно, на поверхности наружного цилиндра г⁴со² = 0, а на поверхности внутреннего г²со² > 0. Поэто-
• 4 2

му с увеличением г величина г со не может монотонно возрастать, и движение неустойчиво. Если же вращается наружный цилиндр, а внутренний покоится, то установившееся вращение жидкости будет устойчивым. В этом случае с удалением от оси вращения угловая скорость со возрастает, а потому тем более будет возрастать г⁴со². Теперь становится понятным, почему при измерении вязкости по методу, описанному в конце § 96, должен вращаться наружный, а не внутренний цилиндр. В противном случае вращение жидкости между цилиндрами было бы неустойчивым.

• 4. Приведенное исследование было выполнено без учета вязкости жидкости. Силы вязкости, уменьшая кинетическую энергию жидкости, всегда препятствуют развитию неустойчивостей. Область неустойчивости ламинарного течения сужается. Ограничимся этим общим замечанием о роли сил вязкости, так как нашей целью было только показать на простейшем примере, что ламинарное течение жидкости не всегда устойчиво.
• 5. При возрастании скорости течения ламинарное движение переходит в турбулентное. Скорость, при которой это происходит, называется критической. Вместо скорости лучше пользоваться безразмерной величиной — числом Рейнольдса. Действительно, соображения о подобии, изложенные в предыдущем параграфе, относятся к турбулентным течениям, а также к переходу от ламинарного режима течения к турбулентному. Поэтому в геометрически по добных системах переход от ламинарного режима течения к турбулентному должен происходить при одних и тех же значениях числа Рейнольдса. Этот закон был установлен Рейнольдсом из соображений теории размерности. Граничное значение числа Рейнольдса, при котором ламинарный режим течения сменяется турбулентным, называется критическим числом Рейнольдса и обозначается как Re_Kp. Значение Re_Kp зависит от конфигурации тел, обтекаемых жидкостью, а также от степени возмущенности самого ламинарного течения. Так, при течении по прямолинейной трубе с круглым сечением Re_Kp = va/v as 1100, если трубы непосредственно присоединены к водопроводу и не приняты специальные предосторожности для уменьшения возмущенности воды у края трубы (а — радиус трубы,К— средняя скорость течения). Начальную возмущснность можно уменьшить, применяя трубы с гладкими стенками и закругленными краями. Кроме того, следует присоединять их к большому баку с водой и подождать, пока вода в нем не успокоится. Таким путем удается добиться затягивания ламинарного режима в трубах до значительно больших Re_Kp, например до Re_Kp as 25 000.
• 6. Законы Пуазейля, как уже указывалось, относятся только к ламинарным течениям жидкости по трубе. Предположение о ламинарности было явно использовано при выводе формул (97.4) и (97.16). Но не столь очевидно, где используется это предположение при выводе формулы Пуазейля (97.11) методом теории размерности. Разберем этот вопрос, а также выясним, какой формулой должна быть заменена формула Пуазейля при турбулентном течении. При турбулентном течении частицы жидкости движутся с ускорениями, а потому существенную роль должна играть плотность жидкости р. Она не обязательно должна входить в комбинации Q/p, как было при ламинарном течении. Напротив, величины Q и р могут входить независимо. Функциональная связь должна существовать между пятью величинами

Q, 1],

а не между четырьмя, как было при ламинарном течении. Из этих пяти величин можно составить две независимые безразмерные комбинации, например

гдей” — средняя скорость течения, определяемая соотношением Q — pvS, а — радиус трубы, v = г)/р — кинематическая вязкость. Согласно правилу размерности одна из этих безразмерных комбинаций является функцией другой. Это приводит к соотношению _р ?

Q = C(Re) pS². (99.3)

/ч

При ламинарном течении коэффициент С есть постоянная, зависящая только от формы поперечного сечения трубы. При турбулентном течении этот коэффициент становится функцией числа Рейнольдса. Формулу (99.3) нетрудно преобразовать к виду

.Li__= ^(^Re) РУ.(99 4)

I а 2 '

в каком ее обычно пишут в гидравлике. Коэффициент л связан с С соотношением „

яС(Яе) Re

Он называется коэффициентом сопротивления трубы. При ламинарном течении коэффициент сопротивления обратно пропорционален числу Рейнольдса. При турбулентном течении вид функции X(Re) устанавливается эмпирически.

По поводу приведенного вывода формул (99.3) и (99.4) необходимо сделать следующее замечание. Турбулентное течение есть нестационарное течение. На регулярное движение накладываются нерегулярные колебания и вращения — пульсации, которым свойственны определенные периоды во времени. Таким образом, речь идет о нестационарном движении с определенным характерным временем и даже несколькими характерными временами. Поэтому, казалось бы, в формулах (99.3) и (99.4) коэффициенты С и л должны были бы зависеть не только от числа Рейнольдса, но и от чисел Струхаля. Однако при установившейся турбулентности число Струхаля само является функцией числа Рейнольдса, а потому нет никакого смысла вводить его в формулы (99.3) и (99.4).

ЗАДАЧА

Так как в идеальной жидкости при любых движениях не могут возникать касательные силы, то возможны разрывные течения, в которых касательные составляющие скорости жидкости претерпевают разрыв па некоторой поверхности (неподвижной или движущейся). Такие течения называются тангенциальными разрывами. Показать, что тангенциальные разрывы в несжимаемой жидкости гидродинамически неустойчивы.

Решение. Понятно, что давление по разные стороны от поверхности разрыва должно быть одинаково. При стационарном течении поверхность тангенциального разрыва неподвижна в

.s' пространстве. Поэтому на ней лежат

¹ В линии тока. Пусть АВ — одна из них

ХхСх^х^ //Г-^Х (рис. 263 а). Допустим, что в резуль-ххх^ /х^тате какого-то бесконечно малого воз-

^А п A мущения на линии тока АВ возник

бугор (рис. 263 б). Тогда со стороны I расстояния между линиями тока Рис. 263 уменьшатся, а скорость жидкости

увеличится. Напротив, со стороны II расстояния между линиями тока будут больше, и скорость жидкости уменьшится. Согласно закону Бернулли давление со стороны II возрастет, а со стороны I упадет. Под влиянием возросшей разности давлений бугор будет увеличиваться еще больше, т. е. движение является гидродинамически неустойчивым. Такой неустойчивостью объясняется развевание флагов на ветру.

• § 100. ПАРАДОКС ДАЛАМБЕРА. РАЗРЫВНЫЕ ТЕЧЕНИЯ
• 1. Оставшиеся параграфы этой главы будут посвящены силовым действиям потока жидкости на находящиеся в ней тела. Ввиду относительности движения эта проблема эквивалентна проблеме нахождения сил, действующих на тела, движущиеся в неподвижной жидкости. Проблема эта очень обширна и сложна. Во всем объеме она разбирается в специальных курсах гидродинамики и аэродинамики. В общем курсе физики на ней можно остановиться очень кратко, ограничиваясь в основном качественным рассмотрением.

Силу, действующую на тело со стороны потока жидкости, можно разложить на две составляющие: в направлении потока F_Y и перпендикулярную к потоку F . Сила F_v называется лобовым сопротивлением, сила F_v — подъемной силой. Подъемная сила действует на крылья летящего самолета. С ней связано представление о силе, направленной вверх. Но подъемная сила может быть направлена и

вниз в зависимости от ориентации самолета относительно направления полета. Лобовое сопротивление F_v слагается из двух различных давлений, при малых — силы вязкости.

сил: силы разности давлений на переднюю и заднюю поверхности тела и из вязких сил трения. При больших скоростях (точнее, при больших числах Рейнольдса) преобладающую роль играют разности

2. Рассмотрим прежде всего стационарное течение идеальной несжимаемой жидкости. Допустим, что в отсутствие внешних тел жидкость течет параллельным потоком. Поместим в него какое-либо тело К (рис. 264). Оно исказит поток. Но на достаточно больших

расстояниях от тела К (в «бесконечности») поток останется параллельным. По истечении некоторого времени движение жидкости установится. К этому установившемуся течению и относятся последующие рассуждения. Для конкретности будем считать, что жидкость течет в прямолинейной трубе. Вдали от тела К линии тока параллельны стенкам трубы и

вследствие несжимаемо

сти жидкости скорость ее в этих участках трубы одна и та же. А в силу уравнения Бернулли будет одинаково и давление Р. Рассмотрим часть жидкости ABDC, внутри которой находится тело К. Предполагается, что сечения АВ и CD находятся далеко от тела К, так тельно, в начальном положении импульс жидкости представляется суммой

что через них жидкость течет параллельным потоком. Спустя короткое время выделенная часть жидкости перейдет в положение Л'В’D'C. При этом ее импульс останется без изменения. Действи

Ij = импульс жидкости в объеме А'В’DC +

+ импульс жидкости в объеме АВВ'А',

а в конечном положении:

1₂ = импульс жидкости в объеме А'В'DC +

+ импульс жидкости в объеме CDD C'.

Но в силу стационарности течения импульс жидкости в объеме А'В'DC один и тот же в обоих случаях. А вследствие одинаковости скорости течения на «бесконечности» импульсы жидкости в объемах АВВ'А' и CDD'C также одинаковы. Итак, при обтекании тела К импульс жидкости не изменяется. Следовательно, полная сила, действующая на рассматриваемый объем жидкости в направлении потока, равна нулю. Но эта сила слагается из сил давления на основаниях АВ и CD из силы F_v, с которой действует на жидкость тело К. (Давление стенок можно не принимать во внимание, так как оно не дает слагающей в направлении потока.) Силы давления на основаниях АВ и CD уравновешивают друг друга, а потому F* = 0. Следовательно, обращается в нуль и лобовое сопротивление F_v.

Допустим теперь, что труба берется все шире и шире. Наш вывод остается справедливым для сколь угодно широкой трубы. Он остается верным и в пределе, когда трубы совсем нет, а поток во всех поперечных направлениях простирается до бесконечности. Итак, при стационарном течении идеальной несжимаемой жидкости или при равномерном движении тела в ней лобовое сопротивление равно нулю. Этот вывод в свое время казался неожиданным. Он получил название парадокса Даламбера (1717—1783). Наличие этого парадокса указывает на то, что при определении лобового сопротивления, испытываемого телом при равномерном движении в жидкости, последнюю нельзя рассматривать как идеальную.

• 3. Наш вывод относится только к лобовому сопротивлению F_v, но не к подъемной силе F_y, и моменту сил М, с которым поток жидкости действует на тело. Момент М относительно центра масс равен нулю в тех случаях, когда тело симметрично и симметрично расположено относительно потока. Если такое условие не выполнено, то это, вообще говоря, не так. При обтекании тела происходит смещение всего потока жидкости вбок, т. е. в направлении, перпендикулярном к направлению невозмущенного потока. Это вызывает изменение момента импульса жидкости и ведет к появлению момента сил М, действующего на тело. В результате момент М поворачивает тело, пока он не обратится в нуль и течение жидкости в окрестности тела К вновь станет стационарным. Что касается подъемной силы F , то к этому вопросу вернемся в § 103.
• 4. Если тело движется неравномерно, то парадокс Даламбера не возникает. Дело в том, что с движущимся телом всегда связана какая-то масса жидкости, увлекаемая им. Она называется присоединенной массой. При ускорении тела ускоряется и присоединенная масса жидкости. Поэтому для сообщения ускорения телу в жидкости требуется большая сила, чем для сообщения такого же ускорения при отсутствии жидкости. Это и значит, что жидкость оказывает сопротивление телу, движущемуся в ней ускоренно.
• 5. Парадокс Даламбера легко уяснить, если рассмотреть картину линий тока. На схематическом рис. 265 изображены линии тока при стационарном обтекании цилиндра или шара идеальной жидкостью. Линии тока совершенно симметричны по отношению к направлению вперед и назад {зеркальная симметрия}. А скорости частиц жидкости в соответствующих точках перед и за телом равны по модулю и отличаются только направлением. Но в

уравнение Бернулли (94.4) скорость v вхо- дит в квадрате. Поэтому распределения

давления в потоке перед и за телом совер- сххзхуЯ______

шенно одинаковы. Давление на переднюю —^[10]—.

поверхность тела уравновешивается давле- —---

нием на заднюю поверхность, а следова- ---

тельно, лобовое сопротивление равно нулю. _{Рис 2}б5

Если тело, а следовательно, и поток

жидкости не обладают симметрией, то рассуждение осложняется. Однако и в этом случае ввиду отсутствия потерь энергии стационарное течение идеальной жидкости обладает следующим свойством. Если в некоторый момент времени изменить на противоположные направления движения всех частиц жидкости, то они будут двигаться по тем же линиям тока с теми же по модулю, но противоположными по направлению скоростями. Так как в уравнение Бернулли скорость течения входит в квадрате, то при таком обращении направления течения распределение давления в жидкости не изменится. Не изменится также модуль и направление силы F, с которой жидкость действует на обтекаемое тело. В частности, не меняется лобовое сопротивление F_r. С другой стороны, опыт показывает, что сила F_r всегда направлена по течению¹), а потому при обращении течения сила F_v должна изменить знак. Отсюда непосредственно следует, что F_v = 0. К подъемной силе эти соображения неприменимы, так как нет оснований утверждать, что при обращении направления потока должна менять направление и подъемная сила.

6. Во всем изложенном предполагалось, что поток жидкости является непрерывным. Однако уравнения гидродинамики допускают и такие стационарные течения, в которых скорость жидкости претерпевает разрыв непрерывности. На эту возможность обратил внимание немецкий физик Густав Кирхгоф (1824—1887). Представим себе, что к телу К прикреплена бесконечно тонкая эластичная перегородка MCDN (рис. 266). Пусть пространство MCDN, ограниченное этой перегородкой, заполнено неподвижной жидкостью, находящейся под постоянным давлением Р_о. Пусть эту систему тел обтекает идеальная несжимаемая жидкость. Тогда при стационарном течении граница MCDN будет вести себя как поверхность твердого тела, и часть линий тока расположится вдоль этой поверхности. Ширина бесконечно тонких трубок тока в окрестности поверхности

MCDN будет изменяться по такому закону, чтобы обеспечить постоянство скорости жидкости вдоль всей поверхности MCDN. Тогда, согласно уравнению Бернулли, будет постоянно и давление жидкости на этой поверхности. Если убрать эластичную перегородку, то характер течения жидкости не изменится. Действительно, поверхность MCDN останется поверхностью постоянного нормального давления, а тангенциальные силы появиться не могут из-за идеальности жидкости. Получилось стационарное течение жидкости с тан-

Рис. 266

генциальным разрывом на поверхности MCDN (см. задачу к § 98). Оно характеризуется тем, что на некоторой линии обтекаемого тела происходит отрыв течения от тела. Таких течений, очевидно, можно представить бесконечное множество. Они отличаются друг от друга положением линии отрыва CD и формой поверхности тангенциального разрыва MCDN. Давление в области застоя (т. е. области, где жидкость покоится) Р_о, очевидно, равно давлению на линии отрыва CD. Последнее же меньше давления в критической точке В. Это приводит к тому, что равнодействующая сил давления, действующих на переднюю поверхность тела, превышает соответствующую силу, действующую на заднюю сторону его. В результате появляется лобовое сопротивление F_v^[11]).

7. Тангенциальные разрывы гидродинамически неустойчивы (см. задачу к § 98). Поверхности разрыва распадаются в вихри. Тем не менее идеальные разрывные течения с отрывом от обтекаемого тела, рассмотренные выше, не совсем лишены интереса. Они в известном смысле могут рассматриваться как предельные случаи реальных течений вязкой жидкости. Силы вязкости мало существенны вдали от обтекаемого тела, где они малы. Их влияние проявляется главным образом в тонком пограничном слое вблизи поверхности тела, где они велики. Они приводят к отрыву течения от тела. При этом вместо области застоя за телом возникает область интенсивного турбулентного движения. Наличие такой области и ведет к возникновению лобового сопротивления. При этом силы вязкости автоматически устраняют неоднозначность в положении линии отрыва, характерную для разрывных течений идеальных жидкостей. Чем уже область отрыва, тем меньше лобовое сопротивление. С целью

уменьшения лобового сопротивления самолетам, судам, автомобилям и прочим быстроходным самодвижущимся аппаратам придают «обтекаемую форму».

• § 101. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТИ
• 1. Отвлечемся на время от механизма возникновения силы F, с которой стационарный поток несжимаемой жидкости действует на неподвижное тело, и применим к этой проблеме методы теории размерности. Сила F зависит от формы и размеров тела, от ориентации его по отношению к потоку, от скорости потока v (на «бесконечности»), а также от свойств жидкости. Ориентацию крыла самолета принято характеризовать углом атаки, т. е. углом между плоскостью крыла и направлением полета. Не будем вводить явно такие параметры, предполагая, что мы имеем дело с телами не только геометрически подобными, но и подобно расположенными. Свойства жидкости характеризуются ее плотностью р и вязкостью т]. Таким образом, должна существовать функциональная связь между величинами F, v, р, т|, S, где 5 — характерная площадь поперечного сечения тела. Корень квадратный из нее VS = / может служить характерным линейным размером тела. Из этих пяти величин можно составить две независимые безразмерные комбинации. За таковые можно принять —V^- и число Рейнольдса Re = Согласно правилу

pv S Л

размерности одна из этих комбинаций является функцией другой. В результате получим

F = -^5C(Re), (101.1)

или

F_x = ^SC_x(Re), (101.2)

F_v = ^5C_y(Re). (101.3)

Безразмерные коэффициенты C_x(Re) и C_v(Re) называются соответственно коэффициентами лобового сопротивления и подъемной силы. Оба они являются функциями числа Рейнольдса и зависят от формы тела и его ориентации по отношению к потоку. Теоретическое вычисление этих коэффициентов затруднительно, они обычно определяются опытным путем.

• 2. При больших числах Рейнольдса лобовое сопротивление F_x обусловлено почти исключительно разностью давлений. Если обтекаемое тело имеет сзади заостренные края, то отрыв течения за телом происходит в одном и том же месте, положение которого не зависит от скорости потока. (Примером может служить пластинка, поставленная перпендикулярно к направлению потока. Отрыв течения происходит на ее краях.) В этих случаях коэффициент лобового сопротивления приблизительно постоянен, а само лобовое сопротивление пропорционально квадрату скорости v. Понять это проще всего, если воспользоваться идеализированной картиной разрывного течения (рис. 265). Действительно, если при всех скоростях отрыв течения происходит в одном и том же месте, то характерная площадь поперечного сечения 5 не зависит от скорости. С другой стороны, разность давлений перед и за телом по закону Бернулли равна Угрг². Отсюда и получается формула (101.2) с постоянным коэффициентом С_х. При больших скоростях v порядка скорости звука и выше коэффициенты С_х и С_у зависят не только от числа Рейнольдса Re, но и от числа Маха М.
• 3. Рассмотрим теперь случай малых чисел Рейнольдса. В этом случае основной интерес представляет сила лобового сопротивления F_x. Инерция, а с ней и плотность жидкости не играют существенной роли, сила F_x определяется почти исключительно вязкостью. Поэтому плотность р должна выпадать из формулы (101.2). Это будет тогда и только тогда, когда коэффициент лобового сопротивления обратно пропорционален числу Рейнольдса, т. е.

С = А

^х Re’

где А — безразмерная постоянная. Подставляя выражение для Re, получим

F_x = Ai]lv. (101.4)

Эта формула справедлива при малых числах Рейнольдса (Re«l), так как она выведена в предположении, что влияние инерции жидкости пренебрежимо мало по сравнению с влиянием вязкости. Коэффициент А зависит от формы тела и его ориентации относительно потока. Его теоретическое вычисление довольно кропотливо и требует интегрирования уравнений движения вязкой жидкости. Джорджем Стоксом (1819—1903) было показано, что А = 6л, если за характерный размер / принять радиус шара а. Таким образом, получается формула Стокса

F_x = 6лг|йг. (101.5)

Так как формула (101.5) получила широкие применения в очень важных физических опытах (определение заряда электрона методом Милликена, броуновское движение и пр.), то имеет смысл более подробно выяснить на конкретных примерах границы ее применимости.

В опытах американского физика-экспериментатора Роберта Милликена (1868—1953) по определению заряда электрона формула Стокса (101.5) применялась к капелькам масла, падавшим в воздухе под действием силы тяжести. Если т — масса капли, то при установившемся равномерном па дении вес капли mg должен уравновешиваться силой вязкости 6лт]«щ а потому mg = 6nr)«t> (архимедовой подъемной силой пренебрегаем). Если р₀ — плотность масла, то масса капли т = ⁴/з л«³р₀. Используя это значение, находим сначала скорость капли v, а затем и число Рейнольдса

3

Р _pav _ 2 ^а PPpg

^е“ Ч “9 п² ’

где р — плотность воздуха. Условие применимости формулы Стокса Re « 1 дает ,

Подставляя сюда г| = 1,8• 10 ⁴ г/(с-см), р = 1,29-10 ³ г/см³, р₀ = 0,9 г/см³, найдем, что для применимости формулы Стокса должно выполняться условие «<<0,05 мм. Формулу можно применять для мельчайших капелек тумана. Однако о применении ее к каплям дождя, даже самым мелким, не может быть и речи.

В качестве второго примера возьмем капельки ртути, падающие в жидкости под действием собственного веса. По скорости установившегося падения капли можно вычислить вязкость жидкости. Это дает практический метод измерения вязкости. В рассматриваемом случае надо учитывать архимедову выталкивающую силу. Если р₀ — плотность ртути, р и q — плотность и вязкость исследуемой жидкости, то для применимости формулы Стокса необходимо выполнение условия

² (рр-р)р/

Для воды г| = 0,010 г/(с-см), и мы получаем «<<0,15 мм.

• § 102. ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ И ВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ
• 1. Все движения жидкостей подразделяются на потенциальные и вихревые. Рассмотрим поле скоростей жидкости v(r) в какой-то

фиксированный момент времени. Возьмем в жидкости произвольный замкнутый контур С и на нем установим положительное направление обхода (рис. 267). Пусть т — единичный вектор касательной, a ds — элемент длины контура, проведенные в положительном направлении. Интеграл

Г = ф v_x ds = ф (v ds) (102.1)

с с

называется циркуляцией вектора скорости по контуру С. Если циркуляция скорости по любовихревым.

му замкнутому контуру обращается в нуль, то движение жидкости на

зывается потенциальным. В противном случае движение называется

При этом предполагается, что область пространства, в которой течет жидкость, односвязна. Это значит, что любой замкнутый контур в такой области непрерывной деформацией может быть стянут в точку, не пересекая при этом обтекаемые тела. Если же область не односвязна (например, жидкость, обтекающая тор), то приведенные определения необходимо дополнить следующими замечаниями. В качестве С следует брать не все контуры, а только произвольные замкнутые контуры, которые непрерывной деформацией могут быть стянуты в точку, не выходя при этом за границы жидкости. Важным случаем может служить так называемое плоское течение, являющееся идеализацией действительных течений. Пусть обтекаемое тело является бесконечно длинным цилиндром с произвольным поперечным сечением, а

жидкость течет перпендикулярно к оси Рис. 268 этого цилиндра. Тогда достаточно ограни

читься рассмотрением течения в одной из плоскостей, перпендикулярных к той же оси. Течение в этой плоскости и называется плоским. Оно будет потенциальным, если циркуляция скорости обращается в нуль по любому замкнутому контуру, не охватывающему обтекаемый цилиндр, например контур (рис. 268). Но циркуляция по контуру С, окружающему цилиндр, может и не обращаться в нуль. Нетрудно показать, что при потенциальном течении циркуляция Г будет одной и той же для всех замкнутых контуров, обходящих вокруг цилиндра один раз. Если Г Ф 0, то говорят о потенциальном течении с циркуляцией.

2. Определение потенциального течения совершенно аналогично определению консервативных сил (см. § 24). Поэтому при потенциальном течении линейный интеграл j (ve/s), взятый вдоль незамк-АВ

ну той кривой, соединяющей точки А и В, зависит только от положения крайних точек этой кривой А и В, но не зависит от формы самой кривой АВ. Рассуждая так же, как в случае потенциальной энергии, можно ввести функцию координат <р, через которую скорость v выражается формулой

v = grad

• (102.2)
• (см. § 29). Функция <р называется потенциалом скоростей.

Примером потенциального течения может служить течение жидкости вдоль параллельных прямых линий с постоянной скоростью. Можно показать, что всякое течение идеальной жидкости, возник шее из состояния покоя под действием консервативных сил, является потенциальным.

3. Примером вихревого движения может служить плоское тече

ние жидкости, когда частицы последней вращаются по концентрическим окружностям с одной и той же угловой скоростью со (рис. 269). Циркуляция скорости по окружности радиуса г в этом случае равна Г = 2лгг = 2лг²со, ее отношение _____

к площади контура лг² будет Г/(лг²) = 2со, у

т. е. не зависит от радиуса г. Если угловая ско- / / у—'х рость вращения зависит от радиуса г, то вместо / / /

отношения Г/(лг²) берут его предел при г—*0. / / /

Ясно, что этот предел равен удвоенному значе- \___/ у j

нию угловой скорости, с которой вращаются у

частицы жидкости вблизи оси О. Этот предел ----

называется вихрем или ротором скорости v, точнее, проекцией ротора на направление, пер- Рис. 269 пендикулярное к плоскости контура. Вообще,

для произвольного движения ротор скорости v определяется своими проекциями на произвольное направление следующим образом. Берется произвольный бесконечно малый контур с площадью AS и внешней нормалью п. Проекция вектора rot v на направление нормали п определяется соотношением

rot,, v = lim (102.3)

А5-*0

где Г — циркуляция вектора v вдоль рассматриваемого контура.

4. В качестве второго примера рассмотрим плоское течение жидкости параллельно оси X, когда скорость потока меняется в поперечном направлении по линейному закону v_x = ау (рис. 270). Чтобы убедиться в вихревом характере течения, возьмем прямоугольный контур ABCD со сторонами, параллельными координатным осям. Циркуляция скорости по этому контуру будет

Г = (х₂ - хЦ (_V1 - v₂) = -а(х₂ - хЦ (у₂ - уЦ.

Ее отношение к площади контура AS = (х₂ — хЦ (у₂ — уЦ, или ротор скорости v будет

rot_ v = —а,

или

rot. v = —

dv_x

ay'

(102.4)

Если v_x меняется с координатой у не по линейному закону, а произвольно, то формула (102.4) остается верной, однако rot, v становится функцией координаты у.

Заметим еще, что в разбираемом примере скорость v можно представить в виде векторной суммы двух векторов Vj и v₂ с компонентами

^— 2 ^— 2 ^Vlx ~ 2 ^— 2

а_

2

X,

а_

2

Вектор Vj представляется векторным произведением

а г, _л а . а.

Vi = - 2 [kr] = - yi - - xj.

Поэтому движение со скоростью v_t может быть интерпретировано как вращение вокруг оси Z с угловой скоростью со = — к. Компоненты

Рис. 270

же вектора v₂ могут быть получены из потенциала скорости Ф = у ху по формулам

V = V = ^2х Эх’ ²У ду'

Значит, движение со скоростью v₂ является потенциальным. Можно в общем виде показать, что произвольное движение жидкости можно разложить на вращение и потенциальное течение, причем угловая скорость вращения и ее направление в пространстве могут непрерывно меняться от точки к точке.

Тангенциальный разрыв может рассматриваться как пример вихревого течения. В вихревом характере движения в этом случае можно убедиться совершенно так же, как при разборе последнего примера. Распадаясь, тангенциальный разрыв переходит в вихревое турбулентное движение.

• § 103. ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ И ЯВЛЕНИЕ ОТРЫВА
• 1. При больших числах Рейнольдса силы вязкости вдали от поверхности обтекаемого тела не играют существенной роли. Здесь они малы по сравнению с силами, обусловленными разностями давлений. Ими можно пренебречь и считать жидкость идеальной. Не так, однако, обстоит дело вблизи поверхности обтекаемого тела. Силы вязкого трения вызывают прилипание жидкости к поверхности обтекаемого тела, т. е. удерживают частицы жидкости в состоянии покоя, несмотря на наличие градиента давления в направлении по тока жидкости. Отсюда следует, что вблизи поверхности тела силы вязкого трения того же порядка, что и силы разности давлений. Чтобы это было так, скорость жидкости должна очень быстро нарастать при удалении от поверхности тела. Это быстрое нарастание происходит в тонком приповерхностном слое жидкости, называемом пограничным слоем. Теория пограничного слоя была создана в основном Л. Прандтлем. Дадим качественное представление о некоторых выводах этой теории.
• 2. Толщина пограничного слоя б относится к числу не вполне четко определенных понятий, так как граница слоя со стороны жидкости не является резко очерченной. Толщина слоя зависит не только от свойств жидкости, но и от формы поверхности обтекаемого тела. Она не остается постоянной на поверхности тела, а возрастает в направлении потока от передней части тела к задней. Поэтому о точном выражении для б говорить не приходится. Речь может идти только об оценке. Толщину пограничного слоя легко оценить, если заметить, что в нем силы вязкости и силы, обусловленные разностями давлений, по порядку величины одинаковы. Оценим сначала силу вязкого трения /_тр, действующую на единицу объема жидкости в пограничном слое. Градиент скорости жидкости поперек течения в пограничном слое порядка г/б. Вязкая сила, действующая на площадку S пограничного слоя, будет ~i]St’/6, а сила, действующая на единицу объема,

, __ _v_

•'тр^ Sd ^— §2-

Оценим теперь силу разности давлений / , также отнесенную к единице объема жидкости. Она равна /_дав = — grad Р (см. § 90). Изменения давления поперек пограничного слоя малы, да и вообще не играют роли в рассматриваемом вопросе, — нас интересует только градиент давления в направлении потока. Его можно оценить, рассматривая внешний поток жидкости, т. е. поток вне пограничного слоя. К этому потоку применимо уравнение Бернулли Р = Pq— ^!/2 pt'², из которого следует grad Р = — (р/2) grad г»². Значит, по порядку величины сила f_a3LB^pv²/l, где I — характерный линейный размер обтекаемого тела. Приравнивая обе силы / ^и /_дав, получаем после выполнения элементарных арифметических действий

(103.1)

V ри или

(103.2)

Например, для шара диаметром D = 10 см в потоке воздуха, движущегося со скоростью V = 30 м/с, число Рейнольдса равно

Re = vD/v = 2-10⁵ (кинематическая вязкость воздуха при 20 °C v = 0,15 см²/с), а толщина пограничного слоя d » D/VRe 0,2 мм.

3. При малых значениях числа Рейнольдса порядка единицы и меньше соображения, на которых основан вывод формулы (103.2), неприменимы. Тем не менее и в этих случаях формула (103.2) приводит к качественно верному выводу, что толщина пограничного слоя становится порядка размеров тела. При таких условиях говорить о пограничном слое уже не имеет смысла. Представление о пограничном слое непременимо также и к стационарному ламинарному течению жидкости по трубе. Причина этого в том, что при таком движении силы вязкости уравновешиваются градиентами давлений не только вблизи стенок трубы, но и во всем объеме жидкости. И действительно, согласно формулам (97.2) и (97.3), скорость жидкости в круглой трубе определяется выражением

Профиль скорости совершенно не зависит от вязкости жидкости, а следовательно, и от числа Рейнольдса. Если пользоваться представлением о пограничном слое, то следует сказать, что пограничный слой заполняет всю трубу, каковы бы ни были значения числа Рейнольдса. Ио в таких условиях понятие пограничного слоя становится бессодержательным. Поэтому в дальнейшем такие случаи не рассматриваются, а речь идет о потоке жидкости, обтекающем тело, причем предполагается, что числа Рейнольдса велики.

• 4. Поскольку в пограничном слое скорость меняется в направлении, перпендикулярном к слою, движение жидкости в пограничном слое является вихревым. А всякое вихревое движение содержит вращение, с которым связан момент импульса (см. § 102, п. 4).
• 5. Если бы пограничный слой, образующийся в результате действия сил вязкости, не отрывался от тела, то изучение движения жидкости можно было бы производить в предположении ее идеальности. Влияние пограничного слоя свелось бы к некоторому увеличению эффективных размеров тела. Именно так ведет себя пограничный слой на передней части тела, обращенной к потоку жидкости. Однако на задней части тела пограничный слой в большинстве случаев время от времени отрывается от поверхности обтекаемого тела. В этих случаях предположение о полном отсутствии сил вязкости приводит к результатам, совершенно не согласующимся с действительностью. Отрыв пограничного слоя приводит к качественным изменениям всей картины обтекания тела.

Почему же происходит отрыв пограничного слоя и к каким последствиям он приводит? Благодаря силам вязкости частицы жидкости в пограничном слое движутся медленнее, чем во внешнем потоке. Во внешнем потоке имеется разность давлений, вызывающая ускорение или замедление потока. Такая же разность давлений должна существовать и в пограничном слое, так как разность давлений между границами слоя пренебрежимо мала (в противоположном случае частицы жидкости в пограничном слое имели бы ускорения, перпендикулярные к поверхности тела). Во внешнем потоке, обтекающем переднюю часть тела, давление падает в направлении движения жидкости. Следовательно, то же самое будет и в пограничном слое. Сила разности давлений направлена вдоль по течению. Поэтому не только во внешнем потоке, но и в пограничном слое скорости частиц жидкости увеличиваются, что позволяет им продолжать движение по поверхности тела, несмотря на действие сил трения. Не то происходит в потоке, обтекающем заднюю часть тела. Здесь давление возрастает в направлении потока. Движение замедляется как во внешнем потоке, так и в пограничном слое. А так как в пограничном слое частицы движутся медленнее, чем во внешнем потоке, то при достаточном замедлении последнего они могут остановится и даже начать движение в обратную сторону. В результате около поверхности обтекаемого тела возникнет возвратное движение жидкости, несмотря на то, что внешний поток продолжает по-прежнему двигаться вперед. Новые массы жидкости, подтекающие к месту возникновения возвратного течения, также сначала останавливаются, а затем начинают двигаться назад. (При недостаточно сильном замедлении внешнего потока возвратное движение пограничного слоя может и не возникнуть.) Количество заторможенной жидкости между поверхностью тела и внешним потоком быстро увеличивается, возвратное движение распространяется все шире и шире и, наконец, совершенно оттесняет внешний поток от поверхности тела. Возникает отрыв течения от обтекаемого тела. Получающаяся поверхность разрыва неустойчива и быстро свертывается в вихрь. При этом часть заторможенной жидкости оказывается вовлеченной в область вихря, а самый вихрь уносится течением.

6. Все эти стадии образования вихря хорошо видны на рис. 271 а, б, в на котором представлены шесть последовательных фотографий потока воды, обтекающего неподвижный цилиндр ^[12]). Для того чтобы линии тока сделать видимыми, поверхность текущей воды обсыпалась порошком алюминия. В первый момент вокруг цилиндра возникало потенциальное течение, линии тока которого, расходившиеся перед цилиндром, вновь смыкались позади него. Дальнейшие фотографии показывают, как меняется последующее течение жидкости. На последних трех фотографиях видно, что за цилиндром образуются два вихря. Сначала один из них, а затем и другой отрываются от цилиндра

и уносятся потоком жидкости. Уносимые вихри сменяются новыми, попеременно возникающими в каждом из двух потоков, отрывающихся сверху и снизу от поверхности обтекаемого тела. Все эти вихри уносятся от тела с одинаковой скоростью. Такая система вихрей называ-

в

Рис. 271

стся вихревой дорожкой Кармана по имени ученого Кармана (1881 — 1963), теоретически изучившего се. Она представлена на рис. 272 и 273. Первый рисунок представляет картину течения в системе отсчета, в которой цилиндр неподвижен, а жидкость течет слева направо; второй — в системе отсчета, в которой неподвижна нсвозмущенная жидкость, а цилиндр движется справа налево. Скорость, с которой уносятся вихри, меньше скорости потока, так как в вихрях собираются как раз те частицы жидкости, которые тормозились при обтекании тела. Поэтому импульс, уносимый потоком жидкости вместе с движущимися в ней вихрями, меньше импульса, который приносит поток, натекающий на тело. Это уменьшение импульса потока жидкости проявляется в возникновении силы лобового сопротивления, действующей на тело в направлении потока.

7. Из изложенного видно, что представлением о пограничном слое можно пользоваться только на передней части тела, простирающейся до того места, в котором происходит отрыв течения от поверхности тела (это место называется линией отрыва). Начиная с этого места за

Рис. 272

Рис. 273

телом возникает область течения, длина которой обычно намного превосходит характерные размеры самого тела (рис. 274). В эту область попадают частицы из пограничного слоя. Поэтому средняя скорость течения в ней меньше скорости набегающего потока, а само течение вихревое и, как правило, _____

турбулентное. Эта область назы- —»----------

объясняется та часть лобового сопротивления, которая обусловлена разностью давлений на переднюю и заднюю части тела. Чем шире область отрыва, т. е. чем шире след, тем больше при про-

Рис. 274

вастся следом. Наличием следа и —------- чих равных условиях лобовое со

противление. Существованием следа, как мы увидим в следующем параграфе, объясняется и возникновение подъемной силы.

• 8. При не очень больших числах Рейнольдса движение в пограничном слое является ламинарным. При увеличении числа Рейнольдса ламинарное течение становится неустойчивым и начинается турбулизация пограничного слоя. Она начинается с задней части пограничного слоя, примыкающей к линии отрыва, и постепенно распространяется на переднюю часть слоя. Таким образом, в передней части пограничный слой ламинарный, затем он переходит в турбулентный, а за линией отрыва образуется след. Для шара турбулизация пограничного слоя начинается при числах Рейнольдса
• 10⁵. Следствием турбулизации пограничного слоя является смещение линии отрыва к задней части тела и связанное с ним сужение следа. В результате коэффициент лобового сопротивления С_х и даже само лобовое сопротивление F_x уменьшаются. Это явление называется кризисом сопротивления. Кризис сопртивления может и не наступить, если с увеличением скорости течения линия отрыва не смещается. Тогда коэффициент сопротивления С_х становится не зависящим от числа Рейнольдса. Так будет, например, при обтекании пластинки с резкими краями, поставленной перпендикулярно к потоку. Здесь линия отрыва определяется чисто геометрическими соображениями и совпадает с краями пластинки.
• § 104. ПОДЪЕМНАЯ СИЛА КРЫЛА САМОЛЕТА
• 1. С явлением отрыва связано и возникновение подъемной силы. Нас будет интересовать главным образом подъемная сила, дей

ствующая на крыло самолета, хотя механизм возникновения подъ

емной силы в случае тел другой формы сохраняется тем же

самым. При полете самолета с постоянной скоростью его ориентация в пространстве остается неизменной. Это указывает на то, что при таком полете моменты всех внешних сил, действующих на самолет, уравновешиваются, а его момент импульса остается неизменным. Для упрощения будем рассматривать отдельное крыло, равномерно движущееся в воздухе и ориентированное перпендикулярно к плоскости рисунка (рис. 275). Длину крыла будем считать бесконечно большой. Такое крыло называется крылом бесконечного размаха. Удобно перейти к системе отсчета, связанной с крылом, поместив начало координат в одну из точек крыла, например в его центр масс С. Понятно, что эта система отсчета будет инерциальной.

Таким образом, мы предполагаем, что крыло неподвижно, а течение воздуха плоское. Невозмущенный поток, конечно, будет равномерным. Во избежание недоразумений все моменты импульса, о которых говорится ниже, будет брать относительно точки С. Момент импульса самого крыла равен нулю, и о нем в дальнейшем можно не говорить.

• 2. Для возникновения подъемной силы необходимо, чтобы крыло было несимметрично или несимметрично расположено относительно горизонтальной плоскости, в которой оно движется. При движении круглого неврашающегося цилиндра, например, никакой подъемной силы возникнуть не может. Поэтому мы предполагаем, что указанной симметрии нет. Напомним теперь, что в пограничном слое скорости частиц воздуха возрастают при удалении от по верхности крыла. Благодаря этому движение в пограничном слое вихревое, а потому содержит вращение. Сверху крыла вращение совершается по часовой стрелке, а снизу — против (если поток жидкости натекает слева направо). Допустим, что в результате отрыва какая-то масса воздуха, ранее находившаяся в пограничном слое снизу от крыла, унесена потоком в виде одного или нескольких вихрей. Обладая вращением, эта масса унесет и связанный с ней момент импульса. Но общий момент импульса воздуха не может измениться. Если отрыв пограничного слоя сверху от крыла не произошел, то для сохранения момента импульса воздух во внешнем потоке должен начать вращаться вокруг крыла по часовой стрелке. Иными словами, во внешнем потоке вокруг крыла должна возникнуть циркуляция скорости воздуха по часовой стрелке, накладывающаяся на основной поток. Скорость потока под крылом уменьшится, а над ним — увеличится. К внешнему потоку применимо уравнение Бернулли. Из него следует, что в результате циркуляции давление под крылом возрастет, а над ним — уменьшится. Возникшая разность давлений проявляется в подъемной силе, направленной вверх. Наоборот, если унесенные вихри образовались из частиц пограничного слоя сверху крыла, то возникнет циркуляция против часовой стрелки, а «подъемная» сила будет направлена вниз.
• 3. Для уяснения явления полезно рассмотреть тонкую пластинку, поставленную на пути потока идеальной жидкости. Если пластинка ориентирована вдоль потока, то критические точки, в которых скорость жидкости обращается в нуль, находятся на краях А и В (рис. 276 а). Если пластинка поставлена перпендикулярно к потоку, то обе критические точки смещаются к центру пластинки, а скорость течения достигает максимума на краях пластинки А и В (рис. 276 б). Если же пластинка поставлена наклонно к потоку (рис. 276 в), то критические точки К_х и К₂ занимают промежуточные положения между центром пластинки и ее краями. Скорость течения по-прежнему максимальна на краях пластинки. В окрестности критической точки К₂ она больше снизу, чем сверху, так как нижний поток расположен значительно

б

Рис. 276

в

ближе к краю В пластинки, чем верхний к краю А. Такая же картина течения образуется в начальный момент и при течении вязкой жидкости.

4. Так и в случае крыла самолета поток воздуха под крылом в начале движения огибает заднюю кромку крыла и встречается

Рис. 277

вдоль линии KD с потоком, огибающим крыло сверху. Здесь образуется поверхность раздела, свертывающаяся в дальнейшем в вихрь, причем вращение происходит против часовой стрелки (рис. 277 а и б). Все это видно на рис. 278, 279, 280 (фотографии), причем первые два рисунка изображают течение в системе

Рис. 278

Рис. 279

отсчета, в которой неподвижно крыло, а последний — в системе отсчета, в которой неподвижна нсвозмущенная жидкость. Вихри уносят момент импульса, а вокруг крыла образуется циркуляция по часовой стрелке. Возрастание скорости течения над крылом и уменьшение се под крылом приводят к смещению линии отрыва, пока она не достигнет нижней кромки крыла (рис. 281). Если бы

Рис. 280

Рис. 281

не было сил вязкости, то дальнейшее образование вихрей, а с ним и циркуляции вокруг крыла прекратились бы. Силы вязкости меняют дело. Благодаря им циркуляция вокруг крыла постепенно затухает. Линия отрыва смещается от кромки крыла вверх, т. е. вновь появляются условия для возникновения вихрей. Появляющиеся вихри вновь усиливают циркуляцию и возвращают линию отрыва к кромке крыла. При постоянной скорости движения самолета описанный процесс носит регулярный характер — вихри периодически отрываются от задней кромки крыла и поддерживают практически постоянную циркуляцию.

5. Зависимость подъемной силы от циркуляции скорости была установлена независимо друг от друга Н. Е. Жуковским и Кутта. Их формула относится к крылу бесконечного размаха и дает значение подъемной силы, отнесенное к единице длины такого крыла. Формула предполагает, что крыло движется равномерно в идеальной жидкости, и вокруг него установилась циркуляция скорости постоянной величины.

Таким образом, в системе отсчета, в которой крыло неподвижно, движение жидкости потенциально, но с циркуляцией. В идеальной жидкости циркуляция практически может быть любой, никак не связанной со скоростью потока, углом атаки и прочими параметрами. Однако вязкость, хотя бы и предельно малая, приводит к однозначной зависимости циркуляции от этих параметров.

При этом сама циркуляция от вязкости практически не зависит. Поэтому формула Жуковского—Кутта дает хорошее приближение для подъемной силы крыла также и в воздухе, обладающем вязкостью.

6. Приведем простейший вывод формулы Жуковского—Кутта, из которого с особой отчетливостью выяснится, почему для возникновения подъемной силы существенна циркуляция. Допустим, что поток жидкости простирается во все стороны до бесконечности. Как и раньше, будем предполагать, что невозмущенный поток горизонтален; ось X направлена вдоль потока, а ось Y — вертикально вверх (перпендикулярно к нему).

Пусть крыло К помещено в начале координат (рис. 282). Поместим над крылом и под ним бесконечное множество в точности таких же крыльев, находящихся на равных расстояниях друг от друга. Пусть вокруг каждого крыла возбуждена такая же циркуляция, как и вокруг крыла К. Тогда установившееся течение жидкости будет строго периодично по у. Если расстояние между соседними крыльями очень велико по сравнению с поперечными размерами крыла, то введение добавочных крыльев может исказить течение в непосредственной близости крыла К только пренебрежимо мало. Существенные изменения произойдут лишь вдали от крыла К. Проведем прямолинейный контур ABCD, горизонтальные стороны которого проходят посередине между соседними крыльями. Пусть длина его AD бесконечно велика по сравнению с высотой. На боковых сторонах АВ и CD скорость v слагается из горизонтальной скорости v_OT невозмущенного потока и вертикальной скорости v', обусловленной циркуляцией. За положительную цир-

Рис. 282

куляцию примем циркуляцию по часовой стрелке. При такой циркуляции на стороне АВ скорость v' будет направлен вверх (положительна), а на CD — вниз (отрицательна). Рассмотрим жидкость в прямоугольном параллелепипеде с основанием ABCD и единичной высотой, перпендикулярной к плоскости рисунка. Через время dt жидкость, находившаяся в параллелепипеде, переместится в объем А'В'С'D'. Рассчитаем приращение импульса ее d. При стационарном течении это приращение будет равно разности в один и тот же момент времени между импульсом жидкости в новых частях пространства, которые она заняла за время dt, и импульсом в тех частях пространства, из которых она ушла за то же время. Но ввиду полной периодичности картины движения в направлении оси Y импульсы в объемах АА'М и ВВ'N в точности одинаковы. Одинаковы и импульсы в объемах MDD’ и NCC'. Поэтому искомое приращение импульса d найдется, если из импульса в объеме ССD'D вычесть импульс в объеме АА'В'В. Каждый из этих объемов равен lv_m dt, где Z — длина стороны АВ = CD; горизонтальные скорости одинаковые в обоих объемах, а вертикальные скорости v' отличаются знаками. Поэтому приращение получает только вертикальная составляющая импульса, и это приращение равно

dl_y = —2Zv_copv' dt.

Но 2Zv' = Г есть циркуляция скорости v' по контуру ABCD, так как стороны AD и ВС никакого вклада в циркуляцию не дают. Скорость v' на этих сторонах одна и та же, и при обходе по контуру ABCD они проходятся в противоположных направлениях. Величина Г есть в то же время циркуляция по контуру ABCD полной скорости v = Vco + v', так как очевидно, что постоянный член v._x никакого вклада в циркуляцию внести не может. Таким образом,

di_у = —Г pv«, dt.

Приращение импульса жидкости равно импульсу внешних сил, действующих на нее. Из них силы давления, действующие на рассматриваемую массу жидкости на поверхности ABCD, можно не принимать во внимание, так как равнодействующая всех таких сил давления равна нулю. Остается единственная сила, с которой крыло действует на жидкость. Она равна и противоположна по знаку подъемной силе F_y. Применяя теорему об импульсе силы, получаем

/?, = Грг.. (104.1)

Из вывода ясно, что под Г следует понимать циркуляцию по контуру ABCD. Но для потенциального течения контур циркуляции у можно провести произвольно. Важно только, чтобы он охватывал крыло К и не охватывал другие крылья. Взяв в качестве у произвольный контур, будем удалять в бесконечность все остальные крылья, не трогая при этом сам контур у. Тогда в пределе мы придем к случаю единственного крыла, обтекаемого потоком жидкости. В этом предельном случае результат (104.1) сохраняет силу. Формула (104.1) и есть формула Жуковского—Кутта.

• § 105. ЭФФЕКТ МАГНУСА
• 1. Если неподвижный круглый цилиндр обтекается равномерным потоком воздуха, перпендикулярным к его оси, то вследствие симметрии возникает только лобовое сопротивление, но никакой подъемной силы не появляется. Если, одна

ко, цилиндр привести во вращение, то ^MF

появляется подъемная сила, перпенди

кулярная к направлению внешнего по- -----__

тока, и цилиндр отклоняется в сторону. -----*? у

Это явление называется эффектом -----*- /

Магнуса (по имени немецкого физика _____?

Генриха Магнуса (1802—1870), учено- ----- /

го, открывшего и исследовавшего это -----? у

явление экспериментально). Допустим _ж ---

сначала, что цилиндр только вращает- _{Рис 2}83

ся с постоянной скоростью, например,

по часовой стрелке (рис. 283). Из-за трения приходит в движение и окружающий воздух. Образуется пограничный слой. Движение в пограничном слое вихревое, оно слагается из потенциального движения, на которое накладывается вращение. Ввиду того, что скорость воздуха убывает наружу, вращение в пограничном слое про исходит против часовой стрелки, т. е. противоположно вращению самого цилиндра. При больших числах Рейнольдса ламинарное движение в пограничном слое неустойчиво (см. § 99) и должно переходить в турбулентное. Но и в турбулентном пограничном слое вращение частиц воздуха в основном должно происходить противоположно направлению вращения цилиндра. Допустим теперь, что вращающийся цилиндр обдувается равномерным потоком воздуха слева направо. Сверху цилиндра направление потока совпадает с направлением вращения цилиндра, а снизу — противоположно ему. Частицы в пограничном слое сверху цилиндра ускоряются потоком, что препятствует отрыву пограничного слоя. Наоборот, снизу поток тормозит движение в пограничном слое и способствует его отрыву. Отрывающиеся части пограничного слоя уносятся потоком в виде вихрей, в которых направление вращения происходит против часовой стрелки. Вследствие этого вокруг цилиндра возникает циркуляция скорости в противоположном направлении, т. е. в том же направлении, в каком вращается цилиндр. Вместе с циркуляцией появляется и подъемная сила, направленная вверх. При изменении направления вращения цилиндра на противоположное подъемная сила также меняет направление на противоположное. Разумеется, и в этом случае (для бесконечно длинного цилиндра) величина подъемной силы определяется формулой Жуковского—Кутта (104.1).

2. Эффект Магнуса можно продемонстрировать, поместив прямой круглый цилиндр в вертикальном положении на легкую тележку, стоящую на горизонтальных рельсах. Цилиндр приводится во вращение маленьким электроматорчиком и обдувается потоком воздуха. Если поток воздуха направить перпендикулярно к рельсам, то тележка начинает катиться по ним.

То же происходит, если поток воздуха направлен под углом к рельсам. Можно даже заставить тележку катиться «против ветра» под острым углом. При перемене направления вращения цилиндра тележка катится в противоположную сторону.

Вот другая демонстрация того же эффекта. На легкую картонную катушку наматывается лента, другой конец которой прикрепляется к длинной палке. Катушка кладется в горизонтальном положении на стол. Если быстро дернуть за палку, то катушка начинает вращаться и одновременно приобретает горизонтальную скорость. Из-за появляющейся подъемной силы катушка взмывает вверх (рис. 284 а). Если намотать ленту так, как показано на рис. 284 б, то «подъемная сила» изменит направление и будет прижимать катушку к столу.

Бумажный цилиндр, скатившийся с наклонной плоскости, при дальнейшем падении отклоняется назад. Аналогично ведет себя теннисный мяч после «резаного» удара, который сообщает ему вращение. Вот эти явления могут служить иллюстрацией эффекта Магнуса.

3. Флеттнер предложил использовать эффект Магнуса для приведения в движение корабля энергией ветра. Вместо парусов он установил цилиндры (роторы), приводимые в быстрое вращение с помощью моторов. На концах цилиндров помещались выступающие круглые диски (как у катушки) для уменьшения вредного засасывания воздуха в область потока с пониженным давлением. Испытания показали техническую пригодность таких роторных кораблей. Однако в экономическом отношении они оказались менее выгодными, чем обычные моторные суда, а потому не получили распространения.

ПРИЛОЖЕНИЕ

ЕДИНИЦЫ И РАЗМЕРНОСТИ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН В СИ

Определения единиц физических величин для основных (выделенных полужирным шрифтом) и дополнительных единиц СИ. Внесистемные единицы, допустимые к применению наравне с единицами СИ, отмечены кружком

Величина

Единица

ПРИЛОЖЕНИЕ 545

546 ПРИЛОЖЕНИЕ

ПРИЛОЖЕНИЕ

548 ПРИЛОЖЕНИЕ

ПРИЛОЖЕНИЕ 549

550 ПРИЛОЖЕНИЕ

ПРИЛОЖЕНИЕ

552 ПРИЛОЖЕНИЕ

ПРИЛОЖЕНИЕ 553

Аристотель 69

Архимед 12, 476, 477, 481

Атвуд 201

Бернулли Даниил 490, 493, 496, 499, 508, 521, 523, 524, 526, 531, 537 Бессель 383

Бойль 454, 470

Браге Тихо 321

Брагинский 397

Вентури 493

Верн Жюль 296

Гаген 507

Гайзенберг 48

Галилей 12, 89-103, 227, 372, 383

Гамильтон 170, 238

Гаусс 22

Гельмгольц 330

Гук 79, 216, 405, 410-413, 421, 422 Гюйгенс 12, 192, 193, 198, 222-224, 231, 263

Даламбер 520, 522

Дезорм 494

Дикке 395, 397

Евклид 21, 22

Жолли 325

Жуковский 186—192, 295, 364

Кавендиш 324

Карман 534

Кеплер 12, 321, 322, 324, 332, 333, 343, 352, 355, 467

Кёниг 137, 206

Клаузиус 148

Клеман 494

Коперник 71, 72, 342, 371, 380

Кориолис 362, 369, 381, 382, 400

Крылов 68

Кулон 83, 107

Кутта 539, 541

Лавуазье 104

Лаплас 417, 455

Лебедев 93

Лейбниц 49

Ле Шателье 291

Ломоносов 104

Лоренц 98, 102, 142

Магнус 541, 542

Максвелл 269

Мариотт 454, 470

Мах 401, 513

Мещерский 120

Мёссбауэр 403

Ньютон 12-19, 49, 68, 69, 76, 78, 79, 80, 84-87, 96, 103, 112, 133, 172, 173, 185, 211, 213, 219, 324, 326, 333, 345, 353, 356, 369, 385, 389, 392, 393, 454, 455, 457, 491

Обербек 202

Панов 397

Паскаль 468

Паули 157

Пито 495

Пифагор 339

Планк 48, 462

Прапдтль 496, 531—533

Пуазейль 506—510

Пуапсо 313, 317

Пуассон 414, 422, 447

Резерфорд 342

Рейнольдс 513, 514, 517, 519, 520, 525, 526

Саузерне 395

Сперри 304

Стокс 526, 527

Струхаль 513

Тейлор 466

Титьенс 533

Томсон Вильям 392

Торричелли 496

Флеттнер 543

Фруд 513—516

Фуко 298, 300-305, 380, 383, 384

Циолковский 121, 122, 135

Эйлер 258-260, 475, 480

Эйнштейн 12, 13, 28—31, 103, 326, 397-401

Этвеш 393, 394

Юнг 410, 411, 412, 422, 453-455, 465, 466

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

Автопилот 299

Аддитивность массы 104

Адиабатический инвариант 234

• — коэффициент 414
• — модуль 414
• — процесс 234

Акселерометр 83

Амплитуда колебаний 78

— прилива 385

Барометрическая формула 485

Безразмерные комбинации 463

Бинормаль 43

Ватт 130

Вектор 53, 55

• — аксиальный 57, 62
• — площади 61
• — полярный 62

Векторное произведение 63

Величины основные (первичные) 456

— производные (вторичные) 456

Вес тела 373

Взаимные векторы 65

Взаимодействие прикосновением 92

Вириал сил 148

Вихревая дорожка Кармана 534

Вихрь 533

Водоизмещение 479

Водомер 493

Воздушная подушка 109

Возможные перемещения 174

Волчок 278

• — китайский 294
• — опрокидывание 294

Время 25

• — единое 28
• — местное 27

Выпрямляющий момент 478

Высота однородной атмосферы 485

Вязкость 499

• — динамическая 508
• — кинематическая 508

Гармонический осциллятор 217

Гармоническое колебание 215

Герполодия 317

Гигантские шаги 208

Гирогоризонт 299

Гидродинамика 469

Гидродинамическое подобие 513

Гидростатика 473

Гидростатический парадокс 481

Гироскоп 278

• —, вершина 281
• —, геометрическая ось 278
• —, опрокидывание 301
• —, ось фигуры 278
• —, приближенная теория 284
• — свободный 281
• — симметричный 278
• —, точка опоры 278
• —, точная теория 305
• —, уравновешенный (астатический)
• 279, ’ 298

Гироскопические явления 278

Гироскопический компас 278, 299, 301,

303

Главная нормаль 42

Главные оси 313

Год звездный 45

Год тропический 26, 45

Годограф 39

Гравитационная постоянная 323, 326

Гравитационное смещение спектраль

ных линий 401

Гравитационный заряд 392

Градиент 170, 171, 474

Движение 12

• — абсолютное 366
• — быстрое 13
• — винтовое 252
• — вихревое 527
• — возвратное жидкости 533
• — инфинитное 147, 334, 335
• — медленное 13
• — относительное 357
• — переносное 357
• — по инерции 69
• — равномерное 36
• — равноускоренное 37
• — свободное 69
• — ультрарелятивистское 134
• — финитное 147

Действие 84

— на расстоянии 90, 327

Деформации малые 405

• — неоднородные 422
• — однородные 422
• — пластические (остаточные)— 404
• — упругие 404

Джоуль (единица работы) 130

Дина 81

Динамика 68

Динамический (скоростной) напор 495

Длина движущегося стержня 31

Жуковского скамья 186

Закон Архимеда 477

• — всемирного тяготения 323
• — Гука 79, 405, 410
• — Кеплера второй 321, 343
• — — первый 321, 343
• — — третий 321, 343
• — Ньютона второй 68, 77
• --первый 68, 69
• --третий 68, 84
• — Паскаля 468, 469
• — площадей 181
• — подобия течений 513
• — Рейнольдса 518
• — сложения скоростей нерелятивистский 99
• — — — релятивистский 135
• — сохранения веса 104
• — — вещества 104
• --импульса 75, 86
• — — массы 104
• — — массы—энергии 105
• — — момента импульса 178
• — — энергии 144, 156
• — эквивалентности инертной и гра

витационной масс 392

Законы трения 105

Замедление нейтронов 164

Замкнутая система 73

Зонд 495

Идеальная жидкость 472

Идеально твердое тело 66, 242

— упругое тело 405

Изгиб 426

Изображающая точка 306

Изолированная система 74

Изотермическая атмосфера 485

Изотермический коэффициент 414

— модуль 414

Изотропия пространства 211

Изохронность колебания 217

Импульс 48, 59, 75

• — вращательный 186
• — поля 93
• — силы 112, 114
• — системы материальных точек 112
• — тела 104

Инвариант 57

Инвариантность уравнений 57

Инверсия 20

Инертность 73

Искусственная вертикаль 299

— тяжесть 375

Искусственный горизонт 299

Капелыю-жидкие среды 469

Карданов подвес 278, 279

Касательные силы внутреннего трения 500

Квазистатический процесс 412

Килограмм 74

Кинематика 32

Классический подход 15

Ковариантность уравнений 56

Количество материи 68

Компоненты вектора 55

Конус герполодии 317

— полодии 317

Космическая скорость вторая 122, 348

• — — первая 122, 347
• — — третья 122, 348, 349

Коэффициент внутреннего трения 501

• — жесткости 79
• — Пуассона 414
• — сжимаемости 469
• — сопротивления трубы 520
• — трения 108, 110
• — упругости 79

Кризис сопротивления 535

Критерий подобия Рейнольдса 514

— — Фруда 514

Критическая длина 432

• — скорость 518
• — точка 494

Кручение 422

Линия отрыва 524

• — тока 488
• — центров 158

Лобовое сопротивление 521, 525

Макроскопические тела 13

Малая вода 385

Малые возмущения 437

Масса 68, 73

• — гравитационная 391
• — инертная 73, 392
• — переменная 119
• — покоя 75
• — приведенная 117
• — присоединенная 522
• — релятивистская 75
• — тяжелая 392

Материальная точка 33

Машина Атвуда 201

Маятник баллистический 153

Маятник гироскопический 287

• — — , приведенная длина 221
• — конический 309
• — математический 221
• — физический 220
• — — , взаимные точки 222
• — — , приведенная длина 221
• — — , сопряженные точки 222
• — — , точка подвеса 220
• — — , центр качания 222
• — Фуко 380
• — циклоидальный 222

Мгновенная ось вращения 246

Мгновенное вращение 246

Метагалактика 22, 123

Метацентр 478

Метацентрическая высота 478

Метод последовательных приближе

ний 378

— принципов 12

Метр 27

Механика 12

• — квантовая 15
• — Ньютона 15
• — релятивистская 14
• — системы 34
• — точки 34

Механическое подобие 512

Мировой эфир 91

Модуль всестороннего сжатия 418

• — кручения 226, 422
• — одностороннего растяжения 419
• — сдвига 421
• — Юнга 410

Моль 454

Момент импульса относительно оси 184

• — — — точки 177
• — инерции относительно оси 185
• — — — точки 194
• — — поперечного сечения 427
• — — — — корабля 479
• — силы относительно оси 184
• — — — точки 176, 177

Набла-оператор 170

Направление отвеса 373

Напряжение 406

Напряжение нормальное 406

— тангенцальное 406

Натяжение 409

Начальная скорость 37

— фаза 215

Начальные условия 94

Невесомость 375

Независимость действия сил 83

Неизменная плоскость 316

Нейтральная линия 426

Нейтральное сечение 426

Нейтрино 157

Несжимаемая жидкость 470

Ньютон (единица силы) 81

Область застоя 109, 524

Обобщенные координаты 66

— скорости 66

Обобщенный закон Галилея 371

Обратная задача механики 369

Объемная плотность силы 475

• — — упругой энергии 413, 416,
• 418, 421, 422

Одновременность 31

Однорельсовая железная дорога 304

Однородность времени 211

— пространства 211

Односвязная область 528

Одностороннее растяжение 418

— сжатие 418

Оператор Гамильтона 170

Основное уравнение гидродинамики

идеальной жидкости 475

— — гидростатики 455

Ось изгиба 426

Отвесное направление 373

Отклонение падающих тел от направле

ния отвеса 377

Отклоняющая сила 307

Отлив 385

Относительное сжатие 410

• — — , поперечное 413
• — удлинение 410

Отражение в начале координат 20

Парадокс Даламбера 522

Параметрические колебания 237

Периметрическое движение гироскопа 296

Период колебания 216

Перманентные оси вращения 314

Плечо силы 183

Плоское движение 252

— течение 529

Плотность истинная 52

• — линейная 451
• — средняя 51

Поверхность уровня 170

Пограничный слой 531

Подвес бифилярный 224

— трифилярный 226

Подъемная сила 521, 525

Поле 91

Поле гравитационное 399

— скоростей 497

Полевое взаимодействие 92

Полная вода 385

Полное давление 495

Полный напор 495

Полодия 317

Полюс 315

Постоянная Кеплера 322

— Планка 48

Потенциал скоростей 529

Потенциальная кривая 147

— яма 147

Потенциальное движение 527

— течение с циркуляцией 529

Потенциальный барьер 147

Правило буравчика 20

• — параллелограма 53
• — размерности 464
• — Фуко 300

Предел упругости 404

Предельная нагрузка 432

Преобразование Галилея 99

• — Лоренца 99
• 11рецессия быстрая 309
• — вынужденная 285
• — медленная 309
• — псевдорегулярная 290
• — регулярная 289
• — свободная 282

Прикладной час 386

Прилив 385

Приливообразующий потенциал 387

Приливы большие (сизигийные) 390

• — квадратурные 390
• — малые 390

Принцип Ле Шателье 291

• — Маха 401
• — неопределенностей 48
• — относительности 102
• — — Галилея 100
• — — Эйнштейна 103
• — суперпозиции гравитационных полей 323
• — — малых возмущений 441
• — — — деформаций 412
• — — скоростей 441
• — — смещений 441
• — — упругих напряжений 441
• — эквивалентности гравитационных

сил и сил инерции 399

Прицельное расстояние 342

Простое колебание 215

Противодействие 84

Прямая задача механики 369

Псевдовектор 62

Псевдоскаляр 62

Пульверизатор 493

Пульсары 210

Работа 129

• — на конечном перемещении 129
• — элементарная 129

Радиус инерции 264

— качения 264

Размерность 457

Разрывные течения 520

Расход жидкости 507

Реакция связей 80

Ротор вектора 529

Сальто 187

Свободные оси вращения 314

Связи 65

— идеальные 174

Сдвиг 420

Секунда 25

Сила 68, 69, 76

• — инерции 356
• — — Кориолиса 365
• — — переносная 365
• — — поступательная 365
• — — центробежная 365
• — Лоренца 142
• — приливообразующая 387
• — равнодействующая 82
• — реактивная 120
• — результирующая 180
• — сопротивления среды 109
• — центральная 138

Силовой центр 139

Силы активные 84

• — близкодействия 90
• — внешние 85
• — внутренние 85
• — всемирного тяготения 323
• — вязкости 500
• — гироскопические 142, 294
• — гравитационные 323
• — диссипативные 142
• — консервативные 141
• — массовые 407, 472
• — неконсервативные 142
• — объемные 407, 472
• — пассивные 85
• — поверхностные 472
• — трения 106
• — электромагнитные 70
• — ядерные 70

Система единиц LMT 458

Система единиц LMT1 458

• --Международная (СИ) 81
• --МКСА 458
• --СГС 81, 458
• — отсчета гелиоцентрическая 71
• -- земная 71
• — — инерциальная 71, 400
• — — Коперника 71
• — — лабораторная 159
• — — неподвижная 356
• — — пространственная 19
• — — пространственно-временная
• 26
• — — центра масс 159

Скаляр 53, 57

— истинный 62

Скалярное произведение 57, 63, 64

Скоростная точка 39, 40

Скоростной (динамический) напор 495

Скорость абсолютная 357

• — газовой струи 120
• — звука 454
• — истинная 35
• — — , вектор 39
• — круговая 337
• — мгновенная 36
• — — , вектор 39
• — начальная 37
• — относительная 358
• — параболическая 337
• — переносная 357
• — распространения крутильных колебаний 450
• — — поперечных возмущений 448, 451
• — — — — в натянутом шнуре 451
• — — продольных возмущений 448
• — секториальная 181
• — средняя 39
• — угловая 38
• — — , вектор 248

Слабые взаимодействия 70

След 535

Сложение векторов математическое 57

• — — физическое 57
• — вращений 249
• — сил 81

Смешанное произведение 64

Сплюснутость Земли 483

Статическая теория приливов 389

Статически неопределенные систе

мы 244

Степени свободы 65

Степени свободы твердого тела 66

Сутки звездные 25

Сутки солнечные 25

Тангенцальные разрывы 520

Твердое тело 242

• — — активное 84
• — — пассивное 84

Тела аморфные 472

• — анизотропные 405
• — изотропные 405

Тензор 311

• — инерции 311
• — упругих напряжений 408

Теорема вириала 148

• — Гюйгенса 222
• — Гюйгенса—Штейнера 193
• — Кёнига 137
• — Кориолиса 362
• — о движении центра масс 115, 116
• — Эйлера 258

Теория подобия 459

— размерности 458

Тепловое равновесие 485

Течение ламинарное 507, 516

— турбулентное 508, 516

Точка поворота 147

Трение внешнее 106

• — внутреннее 106, 500
• — жидкое 106
• — качения 106
• — покоя 107
• — скольжения 106
• — сухое 106
• — сцепления 107

Триангуляция 21

Трубка Вентури 493

• — Пито 495
• — Прандтля 496
• — тока 488

Угловой поворот 254

Угол атаки 525

— сдвига 421

Удар абсолютно неупругий 151

• — — упругий 157
• — высокий 272
• — нецентральный 161
• — низкий 272
• — нормальный 272
• — с накатом 272
• — с оттяжкой 272

Ударные волны 437

Универсальная газовая постоянная 454

Упругие постоянные 404

Уравнение Бернулли 490

Уравнение движения 77, 357

Уравнение Клапейрона 484

• — Мещерского 120
• — моментов 178
• — — относительно движущегося начала 201
• — состояния 471
• — Эйлера 475

Ускорение 36

• — , вектор 39
• — абсолютное 358
• — касательное 44
• — Кориолиса 362
• — нормальное 44
• — относительное 358
• — переносное 358
• — свободного падения 373
• — угловое 39
• — — , вектор 248
• — центростремительное 40, 363

Ускорители на встречных пучках 153

Устойчивость равновесия 176

Фаза 215

Физически бесконечно малые величины 51

Формула Жуковского—Кутта 541

• — Ньютона для скорости звука 454
• — Пуазейля 507
• — размерности 458, 460
• — Стокса 526
• — Торричелли 496
• — Циолковского нерелятивистская 121
• — — релятивистская 121

Фотонная ракета 115

Центр инерции 115

• — карданова подвеса 279
• — качания 222
• — масс 115, 116
• — пловучести 478
• — сил 139
• — тяжести 116
• — удара 270

Циклическая частота 215

Циркуляция скорости 527