Непрерывность элементарных функций

Основные элементарные функции:

• • —степенная;
• • а^х, (а > 0, а Ф1) — показательная;
• • log_aх, (а > О, а 1) — логарифмическая;
• • sin х, cos х, tg х, ctg x — тригонометрические;
• • arcsinx, arccosx, arctgx, arcctgx — обратные тригонометрические.

Определение: Элементарной называется функция, которая получается из основных элементарных функций путем конечного числа композиций и четырех арифметических операций.

Теорема: Всякая элементарная функция непрерывна во всех точках своей области определения.

Доказательство следует из утверждений:

• 1) основные элементарные функции непрерывны в своей области определения;
• 2) арифметические действия над непрерывными функциями дают непрерывные функции;
• 3) композиция непрерывных функций есть непрерывная функция;
• 4) функция, обратная непрерывной, является непрерывной.

Степенная функция

Покажем, что эта функция непрерывна:

у = х”еС(/?).

Дадим приращение значению аргумента функции х + Дх, тогда значение функции получит приращение:

у + Ду =(х+Дх)”;

Ду = (х+Дх)" - у = (х+Ах)" - X^я;

Ду = х" + их^Дх + ”⁽” —х"~²Дх² +...+ Дх" - х" = 2!

= их"^-1 Дх + ^П(П ~ ¹⁾-х"-²Дх² +...+ Лх" >0.

2!

Следовательно, степенная функция непрерывна.

Показательная функция

Покажем, что эта функция непрерывна:

y = a^xtC(R).

Дадим приращение значению аргумента функции х+Дх, тогда значение функции получит приращение:

у + Ду = а^х+Лх;

Ду = _а^х+^ -у = а^х+*-а^х = а^х(а^ -1);

lim Ду = lim а^х -1) = а^х (а⁰ -1) = а -1) = а^х • 0 = 0.

Дг->0 Дх->0

Следовательно, показательная функция непрерывна.

Пример:

_Л г й"-¹

Вычислить lim----.

^х->° X

а^х-1

lim-----

г

— неопределенность вида «ноль на ноль».

Сделаем замену:

а^х -1 - у => а'-1 + у => х = log_a (1 + у); х—>0 => у —>0.

.. а^х-1 у .. 1 .. 1 1

lim----= hm---------= hm-----------= lim---------_r =----.

_x ^ofog/l+y) >-ol._{log (1 + y)} ^>_>0 log_a (14-y)⁷ log_ae

У

Тригонометрическая функция

Покажем, что эта функция непрерывна:

у = sinxeC(/?).

Дадим приращение значению аргумента функции хч-Дх, тогда значение функции получит приращение: у + Ду = sin(х + Дх):

. . . . . _ . х + Дх-х х + Дх + х _ . Дх ( Дх

Ду = sin (х + Дх) — sin х = 2 • sin--cos---------= 2 • sin cos x ч

2 2 2 I 2

limДу = lim 2-sin--cos хч--l = 0-cosx = 0.

Дх->0 Ax-»ol 2 k 2 J J

Следовательно, тригонометрическая функция непрерывна.