Тождественное равенство функций

Определение: Пусть функция у = /Дх) задана на множестве Х15 а функция g- f2(x) задана на множестве Х2, причем пересечение этих множеств А Х2 * 0 будет не пустое множество.

Функции у и g будем считать тождественно равными на множестве X , если их значения в каждой точке этого множества совпадают:

ЛОО = АО)-

Пример:

  • 1) У(х) = 1, /2 (х) = sin2 X + cos2 X =>/](%) = А (х)
  • (— оо, + °о ) ;
  • 2) У(х) = |х|, /2(х) = х=>/1(х) = /2(х) (0,+оо).

Арифметические операции над функциями

Пусть функция y = fi(x) задана на множестве Х{, а функция g = f2(x) задана на множестве Х2, причем пересечение этих множеств Х} А Х2 Ф 0 будет не пустое множество. Тогда под суммой этих двух функций понимается функция, заданная равенством ^(х) = /,(х) + /2(х), определенная на множестве х,Пх2.

Для вычисления значения функции ф{х} в точке х0 є Х( П Х2 необходимо сначала вычислить /,(х0), /20), а потом найти их сумму.

Аналогично определяются операции вычитания, умножения и деления функций.

Обратимая функция

Определение: Обратимая функция — это функция, которая принимает каждое свое значение в единственной точке области определения:

Vy є Y 3! х є X :х^>у.

Пример:

у - х2, D(f) -R — не является обратимой, т.к. у = 13Х] Ф х2 : Х; = 1 л х2 = -1.

Сложная функция

Определение: Пусть на множестве X задана функция у = /(х), и ее значения полностью заполняют множество Y, а на множестве Y задана функция ? = ф(у), со значениями на множестве Z, тогда этими функциями задается сложная функция z = ^(/(х)) на множестве X со значениями на множестве Z.

Получение сложной функции называют наложением или суперпозицией функций и обозначают: f °ф. Под суперпозицией функций понимают результат наложения или последовательного применения указанных функций в определенном порядке.

Пример:

Пусть у - tg х, z = In у => z = ln(fg х).

Обратная функция

Пусть на множестве X задана функция у = f(x), и ее значения полностью заполняют множество Y . будем считать, что функция у = f (х) отображает множество X на множество Y взаимно однозначно. Это означает, что каждому значению у є Y соответствует единственное значение х є X , т.е. функция У (л) — обратимая.

Тогда на множестве Y существует функция такая, что отображает множество Y на множество X, такая функция называется обратной функцией и обозначается х = /-1(у), график прямой и обратной функции — одна и та же кривая.

Пример:

Однако для обратной функции аргумент принято обозначать также через переменную х, а функцию — через переменную у .

В этом случае график обратной функции будет симметричен графику прямой функции относительно прямой у - X .

Определение: Определение обратной функции: функция f 1 :E(f) X называется обратной функцией для однолистной функции f :Х E(f), если Vy є E(f) = Y3!x є D(f) = Х:у = f(x)

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ   След >