Синтез устройств управления

Управление объектами без запаздывания

Рассмотрим задачу управления линейным объектом, если неизменяемая часть описывается дифференциальным уравнением второго порядка

х"+a2x'+а{х =-Ьи . (4.1)

Обозначим х - X', х' - х2 и вместо (4.1) будем рассматривать систему

dx,

  • --L = Х2> dt 2
  • (4-2)

tZx2 ,

—- = -а2х2 - - bu

dt

где ah а2, b - постоянные величины, Ь > 0. Пусть в нашем распоряжении имеется информация о величине ошибки и о знаке некоторой линейной комбинации ошибки и ее производной. Для различных технологических процессов коэффициенты а и а2 могут оказаться такими, что при имеющейся информации за счет использования линейного закона управления не удается обеспечить устойчивого движения в системе, не говоря уже о качественных показателях переходного процесса.

Задача синтеза регулятора с перестраиваемой структурой, для рассматриваемого объекта, состоит в выборе каждой из структур регулятора (или в простейшем случае значений коэффициентов передачи а и 0) и последовательности их изменения. Для синтеза будем использовать метод фазового пространства, описанный выше.

Для этой цели рассмотрим фазовые портреты линейных систем второго порядка. Выберем одну из структур регулятора таким образом, чтобы при ней в фазовой плоскости существовала траектория, соответствующая устойчивому вырожденному движению (область 5, рис. 3.1). Пусть эта структура имеет место при Ч7 = 0. Из характеристического уравнения системы р22р + (а} +60) = 0 следует, что такое 0<О всегда найдется. Фазовый портрет будет иметь вид, представленный на рис. 3.5, б. Во втором и четвертом квадранте расположена траектория с устойчивым вырожденным движением, которая является прямой с угловым коэффициентом X, равным отрицательному корню характеристического уравнения. Выберем вторую линейную структуру таким образом, чтобы корни характеристического уравнения р22р + (а1 + Ьа) = 0 были комплексными. Очевидно, что такое а > 0 всегда найдется. Пусть вторая структура также неустойчива (область 3, рис. 3.1).

Разобьем фазовую плоскость на два листа (рис. 3.5, а), границами которых являются прямые х, = 0 и прямая S , заданная уравнением

s = х2 - Ах, = 0 ,

которая является траекторией с устойчивым движением для одной из структур. Если состояние системы таково, что изображающая точка находится на листе I, то необходимо обеспечить ее движение по раскручивающимся спиралям, а на листе II - по кривым гиперболического типа. Изображающая точка, двигаясь из любого начального положения по участкам неустойчивых траекторий, всегда попадает на прямую 5 (из листа I - за один интервал, из листа II - за два интервала) и затем, двигаясь по S , асимптотически приближается к началу координат.

Таким образом, закон управления принимает вид

и = Тх,, (4.3)

где

Гаприх,^>0,

[Р при Х,5 < О,

s = х2 Хх,.

Подводя итог, напомним, что коэффициенты аир должны выбираться таким образом, чтобы линейная структура, соответствующая Т = а, была колебательной, а линейная структура, соответствующая Т = р, имела устойчивое вырожденное движение. Коэффициент X, характеризующий скорость затухания этого устойчивого движения, определяет величину 5 в логическом законе изменения структуры.

Как видно из (4.3), для реализации синтезированного закона управления необходима информации о величине ошибки и о знаке линейной комбинации ошибки и ее производной, которой мы и располагаем.

Таким образом, в классе систем с переменной структурой всегда можно обеспечить устойчивость системы второго порядка без введения воздействия по производной на вход неизменяемой части системы.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ   След >